Aufgabe 1. Sei F eine QBF. Wandeln Sie F in eine ¨ aquivalente QBF F

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Strukturelle Komplexit¨ atstheorie WS 2020/21

Ubungsblatt 10 ¨

Aufgabe 1. Sei F eine QBF. Wandeln Sie F in eine ¨ aquivalente QBF F

um, die keine Quantoren mehr enth¨ alt. Wie groß ist |F

| im Vergleich zu |F |?

Aufgabe 2. Das japanische Spiel Go-Moku wird auf einem 19x19 großen Spielbrett gespielt. Die Spieler platzieren abwechselnd Marker O bzw. X . Der Spieler, der als erstes f¨ unf Marker nebeneinander in einer Zeile, Spalte oder Diagonale hat, gewinnt.

Wir verallgemeinern dieses Spiel nun auf ein n × n großes Spielbrett f¨ ur n ∈ N . Wir schreiben im Folgenden n f¨ ur die Menge {0, . . . , n − 1}. Eine Konfiguration eines Spiels f¨ ur ein n × n großes Spielbrett besteht aus einer Abbildung von n × n auf {O , X , ⊥}, wobei ⊥ daf¨ ur steht, dass das Feld nicht besetzt ist, und aus einem Bit aus {1, 2}, das sagt, welcher Spieler gerade dran ist. Die Menge aller Konfigurationen bezeichnen wir mit C , also

C = [

n∈N

(n

→ {O , X , ⊥}) × {1, 2}.

Sei C

die Menge aller Konfigurationen dieses Spiels, in der Spieler 1 gerade dran ist, und Spieler 1 eine Gewinnstrategie hat. Das heißt, dass Spieler 1 immer die M¨ oglichkeit hat, zu gewinnen, egal welche Z¨ uge Spieler 2 macht.

Zeigen Sie, dass C

in PSPACE liegt.

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