Elementare rationale Integranden mit mehrfachen Polstellen
F¨urn∈Nist Z
(x−a)−n−1dx =−1
n(x−a)−n+c.
Bei mehrfachen komplex konjugierten Polstellen a±ib mit dem entsprechenden quadratischen Faktor q(x) = (x−a)2+b2 gilt
Z c(x−a) +d
q(x)n+1 dx =− c
2n q(x)n + d(x−a)
2b2n q(x)n + d(2n−1) 2b2n
Z dx q(x)n. Die Reduktion des Exponenten von q (n+ 1→n) erm¨oglicht eine
rekursive Berechnung der Stammfunktion.
Beweis
(i) Reelle Polstelle:
Substitution y =x−a,dx =dy Z
(x−a)−n−1dx= Z
y−n−1dy=−1
ny−n+c
(ii) Komplex konjugierte Polstellen, erster Term:
Substitution y = (x−a)2+b2,dx=dy/(2(x−a))
Z c(x−a)
((x−a)2+b2)n+1 dx = c 2
Z dy
yn+1 =− c 2nyn
= − c
2n((x−a)2+b2)n
(iii) Komplex konjugierte Polstellen, zweiter Term:
zu zeigen
Z ddx
q(x)n+1 = d(x−a)
2b2nq(x)n +d(2n−1) 2b2n
Z dx q(x)n
mit q(x) = (x−a)2+b2
Division durch d und Substitutiony = (x−a)/b,dy =dx/b
¨aquivalente Identit¨at
Z bdy
(b2y2+b2)n+1 = by
2b2n(b2y2+b2)n +2n−1 2b2n
Z bdy (b2y2+b2)n
bzw. nach Multiplikation mit b2n+1
Z dy
(y2+ 1)n+1 = y
2n(y2+ 1)n +2n−1 2n
Z dy (y2+ 1)n
Beweis durch partielle Integration des letzten Terms:
Z
1· 1
(y2+ 1)ndy
= y· 1 (y2+ 1)n +
Z
y· 1·2ny (y2+ 1)n+1dy
= y
(y2+ 1)n + 2n
Z dy (y2+ 1)n −
Z dy (y2+ 1)n+1
(y2 = (y2+ 1)−1) Aufl¨osen nachR
dy/(y2+ 1)n+1 behauptete Identit¨at
Beispiel
Berechnung von
Z 2x+ 1 (x2+ 9)2dx
Formel f¨ur Integranden mit mehrfachen komplex konjugierten Polstellen
Z c(x−a) +d
q(x)n+1 dx=− c
2n q(x)n + d(x−a)
2b2n q(x)n + d(2n−1) 2b2n
Z dx q(x)n mit q(x) = (x−a)2+b2
Einsetzen von a= 0, b= 3, c = 2, d = 1 und n= 1
− 2
2(x2+ 9) + x
18(x2+ 9) + 1 18
Z 1 x2+ 9dx Zusammenfassen der ersten beiden Terme und die Formel Z dx
= 1 arctan
x−a
+c mita= 0,b = 3
