Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke
Dipl.-Math. Olaf Weinmann
18. Dezember 2006 ¢¢AA¢¢AA ¢¢AA
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Analysis I 9. Übungsblatt Aufgabe 9.1 Die Abbildungf:R−→R sei fürx∈R durch
f(x) =
½ exp(x2cos(x2) sin(17·2x)) + 74 für x∈R\Q
0 für x∈Q
deniert. Berechnen Sie für a∈ R den Grenzwert limx→af(x) oder zeigen Sie, dass dieser nicht existiert.
Aufgabe 9.2 Es seienf undg stetige, reellwertige Funktionen auf dem IntervallI ⊂R. Ferner gelte f(x) =g(x) für x∈I∩Q. Zeigen Sie, dass f(x) =g(x) für allex∈I gilt.
Aufgabe 9.3 Es seien a, b∈Rmit a < b. Weiter seif: [a, b]−→Reine stetige Funktion für die f([a, b])⊂[a, b]gilt. Zeigen Sie, dassf mindestens einen Fixpunkt besitzt.
Aufgabe 9.4 Fürn∈Nseien die Funktionenfndurchfn(x) := 1+|x||x|nn (x∈R)deniert. Zeigen Sie:
(i) Die Folge (fn)n∈N konvergiert aufRnicht gleichmäÿig.
(ii) Für jede feste Zahlq >1 konvergiert die Folge(fn)n∈Ngleichmäÿig auf den Mengen {x:|x| ≥q} und
½
x:|x| ≤ 1 q
¾ .
Aufgabe 9.5 Malen Sie aus:
Die Bearbeitung dieses Blattes ist freiwillig. Punkte werden jedoch als Zusatzpunkte angerechnet. Abgabetermin:
Montag 08. Januar 2007, vor der Vorlesung in die Briefkästen bei F411.
Wir Wünschen Ihnen eine frohe Weihnacht und viel Erfolg im Neuen Jahr!
