Rentenrechnung 5
Kai Schiemenz Finanzmathematik Ihrig/Pflaumer Oldenburg Verlag
50.Am 01.01.1990 wurde ein Sparkonto von 1000 € eröffnet. Das Guthaben wird vierteljährlich mit 1 % verzinst.
a.Wie hoch ist das Guthaben am 01.01.2000, wenn aa. alle Gutschriften auf dem Konto bleiben
unterj hrige Verzinsung mit Zinseszins K
n= K
0⋅ q
∗m⋅n=K
0⋅ q
NN=m ⋅ n N=
m=Anzahl der Zinsperioden n=Laufzeit
aa)
K
10= 1000 ⋅1,01
4⋅10= 1488,86Ū
ab. an jedem Jahresende 5% des verzinsten Kapitals abgehoben werden?
unterj hrige Verzinsung mit Zinseszins mit j hrlicher Aussch ttung
K
n= K
0⋅ q
n⋅ (Abzinsfaktor) K
1= 1000 ⋅1,01
4⋅ 0,95
K
2= K
1⋅1,01
4⋅ 0,95 = 1000 ⋅1,01
4⋅2⋅ 0,95
2K
3= K
2⋅1,01
4⋅ 0,95 = 1000 ⋅1,01
4⋅3⋅ 0,95
3...
K
10= K
9⋅1,01
4⋅ 0,95 = 1000 ⋅1,01
4⋅10⋅ 0,95
10= 891,44Ū
b.Nach wie vielen Jahren ist der Kontostand zum ersten Mal geringer als 500 € wenn an jedem Jahresende 5 % des verzinsten Kapitals abgehoben werden?
K
n= K
0⋅ q
n⋅ (Abzinsfaktor)
500 = 1000 ⋅1,01
4⋅n⋅ 0,95
n= 1000 ⋅ (1,01
4⋅ 0,95)
nAufl sen nach n 1
2 = (1,01
4⋅ 0,95)
n− ln(2) = ⎡⎣ 4ln(1,01) + ln(0,95) ⎤⎦⋅ n n = − ln(2)
4 ln(1,01) + ln(0,95)
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ n = 60,316
n = 61 Jahre
Effektivzins nach Preisangabenverordnung
• 50. Ein Kredit über R0€ soll in 12 nachschüssigen Monatsraten zu r € zurückbezahlt werden. Wie hoch ist der Effektivzins nach PAngV?
• 51. Ein Kredit über 1000 € mit einer Laufzeit von 12 Monaten wird gewährt. Wie hoch muß die nachschüssige Monatsrate sein, damit sich der Effektivzins nach PAngV von 20% ergibt?
53. Jemand zahlt alle zwei Jahre nachschüssig 2.000 € auf sein Sparkonto ein, welche jährlich zu 3% verzinst wird. Wie hoch ist der gesparte Beitrag einschließlich Zinseszins am Ende des 10. Jahres?
Zweijahresrate wird in Einjahresrate umgerechnet R
n= r ⋅ q
n− 1
q − 1 Rentenendwert 2000 = r ⋅ 1,03
2− 1
0,03 r = 2000 ⋅ 0,03
1,03
−2− 1
r eingesetzt zur Berechnung des Rentenendwertes R
n= r ⋅ q
n− 1
q − 1 R
10= 2000 ⋅ 0,03
1,03
2− 1 ⋅ 1,03
10− 1
0,03 = 2000 ⋅ 1,03
10− 1
1,03
2− 1 = 11294,46Ū
54. Eine Bevölkerung von 80 Millionen, die aufgrund ihres niedrigen Geburtenniveaus jährlich um 1% sinkt, wobei der Einfachheit halber diskretes (negatives) Wachstum unterstellt wird, verzeichnet eine
Nettozuwanderung von 300.000 Personen pro Jahr. Die Geburtenraten der Zuwanderer und der einheimischen Bevölkerung seien gleich hoch.
Weiter wird unterstellt, dass die Zuwanderung jeweils am Ende eines Jahres erfolgt.
a. Wie hoch ist der gesamte Bevölkerungsbestand nach 50 Jahren?
P
1= q ⋅P
0+ r
P
2= q ⋅ P
1+ r = P
2= q
2⋅ P
0+ qr + r ...
P
n= q
n⋅P
0+ q
n−1r + ... + qr + r P
n= q
n⋅P
0+ r 1− q
n1− q
zinseszinsliche Verzinsung und nachsch ssiger Rente P
50= 0,99
50⋅ 80 + 0,3 ⋅ 1− 0,99
501− 0,99 = 60,25 (Millionen)
b. Nach wie viel Jahren hat sich der gesamte Bevölkerungsbestand halbiert?
1 2 P
0Bedingung
{ = q
n⋅ P
0Abzinsung
1 2 3 + r 1− q
n1− q
Re nte
1 2 4 4 3
40 = 0,99
n⋅ 80 + 0,3 1− 0,99
n1− 0,99 n = ln0,2
ln0,99
n = 160,14 (Jahre)
c. Gegen welche Zahl wird der gesamte Bevölkerungsbestand langfristig streben?
P
n= q
n⋅ P
0+ r 1− q
n1− q
n→∞
lim P
n= r 1
1− q = 0,3 1
1 − 0,99 = 30 (Millionen)
d. Wie hoch müsste der Zuwanderungsstrom jährlich sein, damit die Bevölkerungszahl bei 80 Millionen bleibt?
P
1= 0,99 ⋅ P
0+ r 80 = 0,99 ⋅ 80 + r
r = 0,8 (Millionen)
e. Wie hoch müsste der Zuwanderungsstrom jährlich sein, damit die Bevölkerungszahl nach 50 Jahren 70 Millionen beträgt?
P
n= q
n⋅ P
0+ r 1− q
n1 − q
70 = 0,99
50⋅ 80 + r 1− 0,99
501− 0,99 r = 0,547 (Milllionen)
Effektivzins nach Preisangabenverordnung
55.Ein Wertpapier, welches 100 € kostet, wird nach einem Monat für 101 € verkauft. wie hoch ist die Effektivverzinsung nach
– a. PAngV?
– b. AIBD?
56.Jemand spart 1000€ jährlich vorsschüssig 10 Jahre lang. Danach kann aus dem angesammelten Kapital jährlich eine ewige nachschüssige Rente von 1000€ gezahlt werden. Wie hoch ist der für beide Rentenzahlungen gleich Zinsfuß?
Vorsch ssige Rente (Rentenendwert) R
N =r⋅qqn−1
q−1 Ewige Rente nachsch ssig (Barwert) R
0= rq−
1
r⋅qqn−1
q−
1
nachsch ssigeRente
1 2 4 4 3
= r
q−
1
ewig nachsch ssige Rente
{
1000q
q10−1
q−1
=1000
q−
1
q=
1,0683 bzw. p=6,83%
57.Sie wollen alle zwei Jahre einen Preis von 10.000 € (vorschüssig) für außerordentliche Leistungen auf dem Gebiet der Finanzmathematik aussetzen. Welches Kapital müssen Sie bei einem Jahreszinsfuß von 6%
bereitstellen?
R
0= (R
0− 10000) ⋅ q
n(R
0− 10000) ⋅1,06
2− (R
0− 10000) = 10000
R
0= 90906,15Ū
58. Jemand erhält alle 5 Jahre eine Rente in Höhe von 20.000€. Die erste Rentenzahlung fällt in genau drei Jahren an. Berechnen sie den
Rentenbarwert dieser Rente, falls diese Zahlung
a. 10 mal geleistet werden. Der Zinssatz betrage 5 % p.a.
Rentenbarwert R0=Rn
qn (Addieren der Rentenzahlungen) R0=20000
1,053 +20000
1,058 +....+20000 1,0548
=20000⋅ 1
1,053 1+ 1 1,051⋅5+ 1
1,052⋅5+...+ 1 1,059⋅5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Vereinfachung der Rechnung durch Zusammenfassung 9-mal 5-j hrige Rente
1 4 4 4 4 4 42 4 4 4 4 4 43 Nebenrechnung:
1+ 1 q5+ 1
q2⋅5+ 1
q3⋅5+...+ 1
q(n−1)⋅5 =1+α + α2+...+αn−1
=αn−1 α −1=
1 q5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n
−1 1 q5−1
= 1−q5n
q5n 1−q5
q5
= q5 q5n
q5n−1 q5−1= 1
q5n−5 q5n−1
q5−1
R0=20000 1 1,053
1 1,0545
1,0550−1 1,055−1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=72850,17Ū
58. Jemand erhält alle 5 Jahre eine Rente in Höhe von 20.000€. Die erste Rentenzahlung fällt in genau drei Jahren an. Berechnen sie den
Rentenbarwert dieser Rente, falls diese Zahlung
b. ewig geleistet werden. Der Zinssatz betrage 5 % p.a.
Ewige Rentenzahlungen
lim
n→∞ q5n−51 q 5n−1 q5−1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ewige 5-j hrige Rente
1 4 42 4 43
=
lim
n→∞ q51−1 q 5nq5n−5 1 q5n−5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧⎨
⎪
⎩⎪
⎫⎬
⎪
⎭⎪= q5 q5−1
R0=20000 1 1,053
1,055
1,055−1=79809,89Ū
