a A , A k A = 0,...,4 A A A k 0 1 A 2 = 3 a 4 k − 1 k k

(1)

Hans Walser, [20150837]

Tangentenfünfeck 1 Worum geht es?

Zu fünf gegebenen Strecken gibt es im Prinzip genau ein passendes Tangentenfünfeck.

Ein Gelenkmodell aus fünf vorgegebenen Strecken hat also im Prinzip genau eine Tan- gentenfünfeckposition.

Es werden verschiedene Verfahren zur Konstruktion dieses Tangentenfünfeckes ange- geben. Wir arbeiten mit DGS (dynamische Geometrie Software), mit CAS (Computer- Algebra-System) und mit HOG (hands on geometry).

Bemerkung 1: Natürlich müssen die fünf Strecken die Fünfeckbedingung erfüllen. Jede Strecke muss kürzer sein als die Summe der vier anderen.

Bemerkung 2: Die Situation ist völlig anders als beim Tangentenviereck. Beim Tangen- tenviereck muss die alternierende Seitensumme verschwinden. Dann gibt es aber gleich unendlich viele Tangentenvierecke.

2 Vorbereitung

Es seien also fünf Strecken a_k,k=0,..., 4 (Indizes modulo 5), gegeben, welche die Fünfeckbedingung erfüllen.

Nun zeichnen wir ein beliebiges Fünfeck A₀A₁A₂A₃A₄ mit den vorgegebenen Seiten- längen A_k−1A_k=a_k (Indizes modulo 5). Dieses Fünfeck ist natürlich in aller Regel kein Tangentenfünfeck (Abb. 1). Ein Kreis, der drei aufeinanderfolgende Seiten berührt, berührt die übrigen Seiten nicht.

Abb. 1: Beliebiges Fünfeck mit vorgegebenen Seiten

A₀ A₁

A₂ A₃

A₄

a₁

a₂ a₀

a₄

a₃

(2)

Weiter wählen wir auf der Seite a₁ einen beliebigen Punkt P₁ und dazu einen Bogen P!₁P₂ mit P₂ auf der Seite a₂ dem Zentrum A₁ (Abb. 2).

Abb. 2: Startpunkt und Bogen

Und nun bögeln wir durch gemäß Abbildung 3. Wir erhalten einen Endpunkt P₆ auf der Seite a₁. Weiter zeichnen wir B₁ als Mittelpunkt der Strecke P₁P₆. Man beachte, dass

B₁ nicht der Mittelpunkt der Strecke A₀A₁ ist.

Abb. 3: Bogenfolge. Mittelpunkt

A₀ P₁ A₁

P₂

A₂ A₃

A₄

A₀ B₁ P₁ A₁

P₂ P₃

P₅

P₄

P₆

A₂ A₃

A₄

(3)

Wenn wir nun mit dem Punkt B₁ als Startpunkt die analoge Bogenfolge zeichnen, schließt sich die Figur (Abb. 4).

Abb. 4: Schließungsfigur

Die Schließungseigenschaft ist unmittelbar einsichtig. Sie hängt wesentlich davon ab, dass die Eckenzahl fünf eine ungerade Zahl ist. Die analoge Schließungsfigur ergibt sich bei jedem Vieleck mit ungerader Eckenzahl.

Die Leserin oder der Leser kann sich die Situation in Vielecken mit gerader Eckenzahl überlegen.

3 Was sollen diese Vorbereitungen?

Unser Fünfeck (Abb. 1 – 4) ist kein Tangentenfünfeck. Wenn wir uns aber nun ein ech- tes Tangentenfünfeck mit den Berührungspunkten B_k,k=0,..., 4 (Indizes modulo 5) vorstellen, sehen wir gleich, dass dort die entsprechende Schließungsfigur auch funktio- niert, da die beiden von einer Ecke ausgehenden Tangentenabschnitte jeweils gleich lang sind. Unsere Punkte B_k haben also die korrekte Position der Berührungspunkte.

Leider stimmt aber die Lage der Seiten noch nicht.

4 Etwas Rechnung

An dieser Stelle ist etwas Rechnung passend.

Zunächst definieren wir s als den halben Umfang:

s= ¹₂

(

a₀+a₁+a₂+a₃+a₄

)

⁽¹⁾

A₀ B₁ P₁ A₁

B₂ B₃ B₄

B₅

P₂ P₃

P₅

P₄

P₆

A₂ A₃

A₄

(4)

Weiter sei r₁=A₁P₁ der Radius des ersten roten Bogens in den Abbildungen 2 und 3.

Dann ist:

r₂ =a₂−r₁

r₃=a₃−r₂ =a₃−a₂ +r₁ r₄ =a₄ −r₃=a₄−a₃+a₂−r₁ r₅ =a₀−r₄ =a₀−a₄+a₃−a₂+r₁

(2)

Weiter ist:

A₁P₆ =a₁−r₅ =a₁−a₀+a₄−a₃+a₂−r₁ (3) Damit erhalten wir für den Mittelpunkt B₁ der Strecke P₁P₆:

A₁B₁= ¹₂

(

A₁P₁+A₁P₆

)

⁼ ¹₂

(

^−a0+a₁+a₂−a₃+a₄

)

⁼^s⁻^a0−a₃ (4) Der Radius r₁ fällt heraus, das heißt die Position des Punktes P₁ ist irrelevant.

Unter Verwendung von (4) kann der Punkt B₁ direkt konstruiert werden, ohne den Umweg gemäß Abbildung 3.

Analog finden wir:

A₁B₁=A₁B₂ =s−a₃−a₀ A₂B₂ =A₂B₃=s−a₄ −a₁ A₃B₃=A₃B₄ =s−a₀−a₂ A₄B₄ =A₄B₅ =s−a₁−a₃ A₀B₅ =A₀B₁=s−a₂−a₄

(5)

oder allgemein (Indizes modulo 5):

A_kB_k =A_kB_k+1=s−a_k+2−a_k+4 (6) Diese Formeln erinnern an die einschlägigen Formeln beim Dreiecksinkreis.

5 Tangentenfolge

Wir zeichnen eine Tangentenfolge wie folgt: Aus der Figur der Abbildung 3 überneh- men wir die Strecke A₀A₁ und darauf den Punkt B₁. In B₁ errichten wir die Senkrechte

(5)

zur Strecke A₀A₁ und wählen darauf einen Punkt M. Dann zeichnen wir den Kreis k mit Mittelpunkt M durch B₁ (Abb. 5). Die Strecke ist tangential an den Kreis k.

Abb. 5: Konstruktionsstart

Nun zeichnen wir von A₁ aus die zweite Tangente an den Kreis k. Darauf tragen wir von aus die Strecke ab und erhalten so den Punkt (Abb. 6).

Abb. 6: Erster Schritt

Den Berührungspunkt B₂ finden wir entweder durch Spiegeln von B₁ an der Strecke MA₁ oder mit einem Bogen gemäß Abbildung 6. Das ist nicht mehr der Punkt gleichen Namens wie in der Abbildung 4.

A₀A₁

A₀ B₁ A₁ M

k

A₁ a₂ A₂

k

A₀ B₁ A₁

B₂A₂ M

(6)

Nun fahren wir entsprechend weiter, bis wir zum Punkt A₅ gelangen (Abb. 7). Weiter geht es nicht mehr, da wir die Strecken a₁,...,a₅ aufgebraucht haben.

Abb. 7: Endsituation

Nun sollte aber A₅ auf A₀ zu liegen kommen, wie die Abbildung 8 suggeriert.

Abb. 8: Wunschtraum Es gibt zwei Möglichkeiten dazu.

k

A₀ B₁ A₁ B₂

B₃ B₄ B₅

A₂ A₃ A₄

A₅

M

k

A₀ B₁ A₁ B₂

B₃ B₄ B₅

A₂ A₃ A₄

A₅

M

(7)

6 Die Pyramide

Wir schneiden im Prinzip (bis auf eine Klebe- oder Fixierlasche) den gelben Sektor weg. Dann falten wir längs der schwarzen Linien MA_k und erhalten so den Mantel einer (unregelmäßigen) geraden Fünfkant-Pyramide. Das Bodenfünfeck dieser Pyramide ist das gesuchte Tangentenfünfeck.

Im Anhang ein Schnittmuster. Die Klebe- oder Fixierlasche ist lila getönt. Sie kommt unter die Seitenfläche MA₄A₅ zu liegen und kann entweder verklebt (irreversibel) oder mit einer Büroklammer fixiert werden. Im Unterricht ist die Fixation mit einer Büro- klammer zu empfehlen. Das Modell kann dann wieder auseinandergenommen werden.

Die Abbildung 9 zeigt die aus dem Schnittmuster im Anhang gebaute Pyramide. Das Bodenfünfeck ist aus der Sicht von oben gut zu erkennen. Allenfalls muss die Pyrami- denspitze mit dem Zeigefinger etwas nach unten gedrückt werden, damit sich das Bo- denfünfeck schön eben ausbildet. Die blauen Geraden sind Falllinien (Linien, auf denen es am steilsten hinuntergeht) der Seitenflächen der Pyramide.

Abb. 9: Pyramide

Die Projektionen des roten Kreises k und der blauen Bogen auf die Bodenebene sind keine Kreise, sondern Ellipsen. Der Inkreis des Tangentenfünfecks ist also nicht sicht- bar.

(8)

7 Einschiebekonstruktion

In der Abbildung 8 ist offensichtlich der Kreis k zu groß. Wir verkleinern ihn, indem wir den Punkt M nach unten schieben. Dies setzt DGS voraus. Die Abbildungen 10 und 11 zeigen zwei Zwischenstationen.

Abb. 10: Zwischenstation Der Radius des Inkreises wird dabei kleiner.

Abb. 11: Weitere Zwischenstation M

A₀ B₁ A₁ B₂

B₃ B₄

B₅

A₂ A₃ A₄

A₅

M

A₀ B₁ A₁ B₂

B₃ B₄

B₅

A₂ A₃ A₄

A₅

(9)

Die Abbildung 12 zeigt die Endlage, also das Tangentenfünfeck mit den gegebenen Seitenlängen.

Abb. 12: Tangentenfünfeck

8 Ortskurven

Bei unserem Einschiebeverfahren bleiben die Basispunkte A₀ und A₁ fest. Die übrigen Eckpunkte bewegen sich. Die Ortskurve des Punktes A₂ ist der Kreis um A₁ mit dem Radius a₂ (Zyan in Abb. 13).

Abb. 13: Kreis als Ortskurve

A₁ B₁

B₂ B₃ B₄

B₅

A₂ A₃

A₄

A₅= A₀ M

A₁

A₂ A₃ A₄

A₀ A₅

M

B₁

(10)

Die Ortskurve von A₃ resultiert aus einer Überlagerung zweier Kreisbewegungen (Blau in Abb. 14). Sie hat einen Doppelpunkt.

Abb. 14: Überlagerung zweier Kreisbewegungen A₁

A₂ A₃ A₄

A₀ A₅

M

B₁

(11)

Die Ortskurve von A₄ resultiert aus einer Überlagerung dreier Kreisbewegungen (Dun- kelgrün in Abb. 15). Sie hat einen Dreifachpunkt und einen Doppelpunkt.

Abb. 15: Überlagerung dreier Kreisbewegungen A₁

A₂ A₃ A₄

A₀ A₅

M

B₁

(12)

Die Ortskurve von A₅ ist gar eine Überlagerung von vier Kreisbewegungen (Lila in Abb. 16). Sie hat einen Vierfachpunkt und einen Dreifachpunkt.

Abb. 16: Überlagerung von vier Kreisbewegungen

Der Vierfachpunkt liegt genau im Punkt A₀. Das heißt aber, dass unser Problem vier Lösungen hat, da es vier Möglichkeiten gibt, in denen A₅ mit A₀ zusammenfällt. Wie sehen diese vier Lösungen aus?

A₁

A₂ A₃ A₄

A₀ A₅

M

B₁

(13)

9 Die vier Lösungen

Die Abbildung 17 zeigt die vier Situationen, in denen der Punkt A₅ mit A₀ zusammen- fällt. Die Abbildung 17a entspricht dem Beispiel der Abbildung 12. Der Umlaufsinn der Eckpunkte ist positiv. Die Abbildung 17b zeigt eine Sternlösung mit positivem Umlauf- sinn. Auf einem vollen Rundgang längs der Seiten wird der Inkreis zweimal umrundet.

Die Abbildungen 17c und 17d zeigen symmetrische Lösungen zu den Lösungen der Abbildungen 17b und 17a. Der Umlaufsinn ist negativ.

Die Sternlösungen sind unregelmäßige Pentagramme.

Abb. 17: Die vier Lösungen

10 Gelenkmodell

Wir bauen ein Gelenkmodell mit

a₀ =10, a₁=9, a₂ =8, a₃ =7, a₄ =6 (7) A₁

A₂

A₃

A₄

A₀ A₁

A₂ A₃ A₄

A₀

A₁ A₂

A₃

A₄

A₀ A₁

A₂

A₃ A₄

A₀

a) b)

d) c)

(14)

Die Abbildung 18a zeigt das Gelenkmodell. In der dargestellten Position ist es offensichtlich kein Tangentenfünfeck.

Abb. 18: Gelenkmodell

Mit (5) können wir auch die Position der Berührungspunkte im Tangentenfünfeckfall ausrechnen. In der Abbildung 18b sind diese Berührungspunkte markiert.

Die Tangentenfünfeck-Position finden wir indem das Gelenkmodell über einen Kegel stülpen bis zum Anschlag (Abb. 19).

Abb. 19: Tangentenfünfeck

Wir sehen, dass unsere theoretisch berechneten Berührungspunkte durchaus am richti- gen Ort sind.

(15)

11 Rechnerische Lösung

Bei gegebenen Seitenlängen des Fünfeckes können wir mit (5) die Positionen der Be- rührungspunkte auf den Seiten berechnen. Somit fehlt nur noch der Inkreisradius r. Die Abbildung 20 gibt die dazu nötigen Angaben.

Abb. 20: Beschriftungen und Angaben

Es ist:

tan

( )

^α₂⁰ ⁼ ^s−a²^r^−a⁴^{, tan}

( )

^α²¹ ⁼ ^s−a³^r^−a⁰^{, tan}

( )

^α²² ⁼ ^s−a^r⁴^−a¹^,

tan

( )

^α₂³ ⁼ ^s−a⁰^r^−a²^{, tan}

( )

^α²⁴ ⁼ ^s−a¹^r^−a³ ⁽⁸⁾

Wegen der Innenwinkelsumme 3π im Fünfeck ergibt sich aus (8):

arctan _s−a^r

2−a₄

( )

⁺^arctan

(

^s−a³^r^−a⁰

)

⁺^arctan

(

^s−a^r⁴^−a¹

)

⁺

+arctan _s−a^r

0−a₂

( )

⁺^arctan

(

^s−a¹^r^−a³

)

⁼ ³²^π ⁽⁹⁾

Das ist eine Gleichung für r, die wir mit CAS lösen.

A₁ B₁

B₂ B₃ B₄

B₅

A₂ A₃

A₄

A₅= A₀

r

r r r

r

α₀ 2

α₁ 2

α₂ 2 α₃

2

α₄ 2

s−a₂−a₄

s−a₃−a₀ s−a₄ −a₁ s−a₀−a₂

s−a₁−a₃

(16)

Im allgemeinen Fall ergibt sich eine sehr lange Formel für r. Daher im Folgenden nur der numerische Fall (7) unseres Gelenkmodells der Abbildungen 18 und 19.

restart:

a[0]:=10; a[1]:=9; a[2]:=8; a[3]:=7; a[4]:=6;

a[5]:= a[0]: a[6]:= a[1]:

s:=1/2*(a[0]+a[1]+a[2]+a[3]+a[4]);

glg:=sum(arctan(r/(s-a[k mod 5]-a[(k+2) mod 5])), k=0..4)=3/2*Pi;

r=solve(glg, r);

Wir erhalten:

Abb. 21: Ergebnis

12 Konstruktion

Die Abbildung 22 skizziert die Konstruktion des Inkreisradius r und damit des Tangen- tenfünfeckes. Dabei wird verwendet, dass die Zahlen 41 = 25 + 16 und 17 = 16 + 1 bei- de Summen von Quadraten sind.

(17)

Abb. 22: Konstruktion

Das Resultat stimmt mit dem Resultat der Abbildung 19 überein.

Und die Sternlösung?

In einem Pentagramm ist die Innenwinkelsumme nur π. Wir haben die Gleichung (9) entsprechend zu modifizieren (Abb. 23).

a₀

a₀ a₁

a₁ a₂

a₂ a₃

a₃ a₄

a₄

A₁ B₁

B₂ B₃

B₄

B₅

A₂ A₃

A₄

A₅= A₀

r r

r

(18)

Abb. 23: Modifikation für Pentagramm Die Abbildung 24 zeigt die zugehörige Konstruktion.

Abb. 24: Pentagramm-Stern

Die Abbildung 25 zeigt das entsprechende Gelenkmodell auf dem Kegel. Die Berüh- rungspunkte sind dieselben wie in der Abbildung 19.

a₀ a₁ a₂ a₃ a₄

r r

a₀ a₁

a₂ a₃ a₄

A₁ B₁

B₂

B₃ B₄ B₅

A₂

A₃ A₄

A₅= A₀

r

(19)

Abb. 25: Weihnachten kommt bestimmt

13 Kommentare zu den Konstruktionsverfahren

Einschiebelösungen oder Überstülpungen sind keine Lösungen im klassischen Sinn

„mit Zirkel und Lineal“. Aber bereits Archimedes hat für die Winkeldrittelung eine Ein- schiebelösung gefunden. Das Schnittmuster der Abbildung 8 und im Anhang ist zwar mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Aber das Ausrichten der Pyramide auf eine ebene Grundfläche ist ebenfalls nur eine Einschiebelösung.

Das Pyramidenverfahren ist für die Sternlösung ungeeignet, weil sich die Seitenflächen der Pyramide gegenseitig durchdringen müssten.

14 Ausblick

Bei Tangentenvielecken muss die Parität der Eckenzahl unterschieden werden.

14.1 Ungerade Eckenzahl

Die für das Tangentenfünfeck beschriebenen Verfahren lassen sich auf Tangentenviel- ecke mit ungerader Eckenzahl übertragen. Es gibt dabei noch weitere Sternlösungen.

Bei sieben Ecken etwa kann der Inkreis zweimal oder gar dreimal umrundet werden.

14.2 Gerade Eckenzahl

Eine notwendige aber (mit Ausnahme des Tangentenvierecks) nicht hinreichende Be- dingung ist das Verschwinden der alternierenden Seitensumme. Wenn diese Bedingung aber erfüllt ist gibt es für ein Gelenkmodell gleich unendlich viele Positionen mit einem Inkreis.

Die Abbildung 26 zeigt exemplarisch zwei verschiedene gleichseitige Tangentensechs- ecke.

(20)

Abb. 26: Tangentensechsecke gleicher Seitenlänge Anhang

Schnittmuster für die Fünfkant-Pyramide