Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 4 1. Bestimme k so, dass die folgenden Funktionen f(x) = 3x

Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 4

1. Bestimmekso, dass die folgenden Funktionen

f(x) = 3x²+kx+ 27 und g(x) = 6x²−5kx−k² keine, genau eine oder zwei Nullstellen haben.

2. Gegeben ist die folgende Funktion

f(x) = 5x²+ 25x−70 (a) Beweise, dass ˜x= 2 eine Nullstelle ist.

(b) Beweise, dass ˆx=−2 keine Nullstelle ist.

(c) Bestimme die zweite Nullstelle.

(d) Bestimme die dritte Nullstelle.

3. Bestimme die Gleichung einer quadratischen Funktion in der Form f(x) =ax²+bx+c

so, dass . . .

(a) die Funktion die Nullstellenx₁= 2 undx₂= 1 hat.

(b) die Funktion die Nullstellenx1,2=±3 hat.

(c) die Funktion die doppelte Nullstellex1=x2=−5 hat.

(d) die Funktion die Nullstellenx₁= 0, x₂= 3 undx₃= 6 hat.

4. Gegeben ist die folgende Gleichung:

ax²+bx+c= 0 (a) Beweise, dass x₁=−b+√

b²−4ac

2a eine L¨osung der Gleichung ist.

(b) Bestimme die zweite L¨osung x2 und beweise, dass sie auch wirklich eine L¨osung ist.

5. Zeige, dass folgende Gleichung richtig ist:

a(x−x1)(x−x2) =ax²+bx+c mit x1,2= −b±√

b²−4ac 2a

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6. Der Satz von Vieta

behauptet die folgenden Beziehungen zwischen den L¨osungen einer qua- dratischen Gleichung:

Seien x1 undx2 die L¨osungen einer quadratischen Gleichung der Form

ax²+bx+c= 0

dann bestehen die folgenden zwei Zusammenh¨ange:

i. x₁+x₂=−b a ii. x₁·x₂= c

a,

(a) Beweise denSatz von Vieta.

(b) Gegeben ist x²+ 4x+u= 0 mit x₁= 7

Bestimme den Parameteruund die zweite L¨osungx₂. (c) Gegeben ist f(x) =wx²+x+ 1

Bestimme den Parameter w so, dass die eine Nullstelle doppelt so gross wie die andere ist.

(Weitere Aufgaben hierzu: Nr. 116 - 123

aus den Aufgaben zum ThemaQuadratische Gleichungen)

7. Wir betrachten die folgende Funktion:

f(x) =−2x²+ 3x+ 6

(a) Bestimme die Stellenx₁ undx₂an welchen die Funktionf den Wert 4.5 hat.

(b) Zeige, dass die Funktionf nie den Wert 12 annehmen kann.

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