Quadratische Funktionen
ANALYSIS Kapitel 3 SprachProfil - Mittelstufe KZN
Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch
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7. Januar 2017
Uberblick ¨¨ uber die bisherigenAnalysis- Themen:
1 Funktionen (Grundlagen) 1.1 Einf¨uhrung
1.2 Definitionen
1.3 Darstellungsmethoden
1.4 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt 1.5 Funktionen & EXCEL
1.6* Das Auffinden von Nullstellen 1.7 Funktionen &GeoGebra
1.8 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen
2 Affine Funktionen
2.1 Einf¨uhrung - ein Leitprogramm
2.2 Die gegenseitige Lage affiner Funktionen 2.3 Abstandsbestimmungen
2.4 Wer kann’s erkl¨aren ?
Inhaltsverzeichnis
3 Quadratische Funktionen 1
3.1 Repetition . . . 1
3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion . . . 11
3.2.1 Kurzeinf¨uhrung inGeoGebra . . . 12
3.2.2 Der Einfluss der Parameter . . . 18
3.3 Der Mini-Maxi-Satz & Anwendungen . . . 22
3.4 Die Symmetrieeigenschaft . . . 30
3.5 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen . . . 31
3.6 Eine Aufgabe . . . 35
II
3 Quadratische Funktionen
In diesem Kapitel wirst du einen weiteren Funktionstypkennenlernen:
Die quadratische Funktion.
Im ersten Abschnitt werdet ihr die im Zusammenhang mit Funktionen schon besprochenen Begriffe und Definitionenrepetierenund in einigen Aufgaben zur Anwendung bringen.
Im zweiten Abschnitt werden wir uns mit dem Graphen der quadratischen Funktion besch¨aftigen, insbesondere mit dem Einfluss der Parameter auf die Form des Graphen.
Im dritten Abschnitt werden wir denMini-Maxi-Satzund dieSymmetrieei- genschafteiner quadratischen Funktion kennenlernen und die erstenExtremal- aufgabenl¨osen.
Im vierten Abschnitt dieses Kapitels werden wir danndie quadratische Glei- chung & die quadratische Funktionin Zusammhang bringen und dieNullstellen diskutieren.
Anschliessend folgt eine etwas gr¨ossere Aufgabe, in welche wir unser bishe- riges Wissen und einge geometrische ¨Uberlegungen einbrigen werden.
3.1 Repetition
Wir beginnen mit der Wiederholung der wichtigsten Begriffe & Definitionen und werden in einem zweiten Teil an einigen Beispielen und Anwendungen die Begriffe vertiefen.
Erkl¨are/ definiere die folgenden Begriffe:
• f :A→Bheisst eine Funktion:⇔ . . .
Aheisst . . . und wird abgek¨urzt durch . . .
• Seif :A→Beine Funktion.
– Was ist einArgument? – Was ist eineNullstelle? – Was ist derAchsenabschnitt?
• Gib ein Beispiel einerFunktionsgleichung: . . .
– Bestimme die zugeh¨origeFunktionsvorschrift: . . . – Bestimme denFunktionswert an der Stellex=−5 : . . . – Berechnef(−5) : . . .
• Eine Funktionf :A→Bheisstaffin:⇔ . . .
Welche Eigenschaften einer affinen Funktion lassen sich direkt aus der Funktionsgleichung ablesen:
– – –
• F¨ur die graphische Darstellung einer Funktionf :A→Bben¨otigen wir –
–
∗
∗
∗
∗
und zum Schluss eine sehr wichtige Definition: graphf:= . . .
2
Wir kommen nun zu einigen Aufgaben und Anwendungen:
• DieUNITED NATIONS POPULATION DIVISION liefert das folgende Zahlenmaterial ¨uber die Bev¨olkerungsentwicklung in Europa:
Stelle die Tabelle auf der folgenden Seite graphisch dar und mache eine Prognose f¨ur die Entwicklung der Bev¨olkerungszahlen
– im Jahr 1982, – im Jahr 1940, – im Jahr 2010.
4
Wir werden wieder etwas mathematischer:
• Gegeben sind die folgenden Funktionen:
f :R≥0→R, x7→ 12x3−42, g:R→R<0, x7→5x
h:R→R, x7→x2−9x+ 20
Bestimme die folgenden Funktionswerte/ -gleichungen:
( DieFunktionsgleichungensind ohne Ber¨ucksichtung von Definitions- und Wer- tebereich zu erstellen.)
1. f(1) = 2. g(2) = 3. f◦g(−3) = 4. g◦f(4) = 5. f◦g(x) = 6. g◦f(x) = 7. g◦f◦g(x) =
und weiter
8. die Nullstellen vonh, 9. den Achsenabschnitt vonf, 10. den Schnittpunkt vongundh.
• Bestimme mit Hilfe der folgenden graphischen Darstellung der Funktion f(x) . . .
1. den Achsenabschnitt vonf, 2. die Nullstellen vonf, 3. f(4),
4. {x∈R|f(x) = 2}, 5. {x∈R|f(x)<−2}, 6. {(x/y)|y=f(x)}, 7. {(x/y)|x= 3}, 8. {(x/y)|y= 12}.
Verifiziere so weit wie m¨oglich Deine Resultate mit der folgendenFunkti- onsgleichungf¨urf:
f(x) = 0.1x4−0.45x3−1.5x2+ 3.95x−2.1
6
• Stelle die folgende Situation graphisch dar:
f(x) = 2x−1 , g(x) =−0.5x+ 2, P= (4/5)
- 6
1. Bestimme den SchnittpunktS vonf mit g.
2. Bestimme den Abstand vonS zur Geradenf, zurx-Achse, zur Geradeng, zury-Achse.
3. Bestimme{x|f(x) =g(x)}
4. Bestimme den Abstand vonP zum Ursprung, zur Geradeng
5. Bestimme die Funktionsgleichung einer Geraden/ affinen Funktion, die . . .
(a) parallel zuf verl¨auft,
(b) parallel zuf und durchP verl¨auft, (c) f schneidet,
(d) f schneidet undg nicht schneidet,
(e) gschneidet und die x-Achse nicht schneidet,
(f) beide Koordinatenachse schneidet und durch den PunktP geht, (g) f undgschneidet und nicht durch P geht,
6. Bestimme den Fl¨acheninhalt des Dreiecks ∆ABC, mit
A=P , B= (N S(f)/0) und C= (6/..)∧C∈graph(g)
8
7. Stelle die Funktionenf(x) undg(x) und den PunktP nochmals gra- phisch dar und skizziere die folgenden Mengen in Deiner graphischen Darstellung :
(a) {(x/y)|d((x/y), P) = 4}
(b) {(x/y)|d((x/y),(−1/3))≤1,5}
(c) {(x/y)|d((x/y), x-Achse)>5}
- 6
8. Beweise, dass die Geradenf undg senkrecht zueinander stehen.
Zusammenfassung:
10
3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion
Bevor wir uns mit dem Gaphen einerquadratischen Funktionbesch¨aftigen m¨ussen wir diese noch definieren:
Def.: Eine Funktionf :A→Bheisstquadratisch:⇔
Die zugeh¨orige Funktionsgleichung ist von der folgenden Form:
f(x) =ax2+bx+c mit a, b, c∈R, a6= 0.
Bem.: •
•
•
Um uns mit dem Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion und dem Einfluss der Parametera, bundc vertraut zu machen, werden wir die folgende freeware verwenden: geogebra
welche unter
www.geogebra.at www.geogebra.org zu finden ist.
3.2.1 Kurzeinf¨uhrung in GeoGebra
GeoGebraist eine kostenlose dynamische Mathematiksoftware, die f¨ur Sch¨ule- rInnen aller Altersklassen geeignet ist und auf allen Betriebssystemen l¨auft.
GeoGebraverbindet Geomterie, Algebra, Tabellen, Zeichnungen, Statistik und Analysis in einem einfach zu bedienenden Softwarepaket, das bereits mehrere Bildungssoftware Preise in Europa und den USA gewonnen hat.
Da wir die Grundanwendungen von GeoGebra im Bereich der Funktionen schon kennen, k¨onnen wir uns kurz halten . . . :
Der Download:
Die Startseite:
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• Eingabe vonFunktionsgleichungenundhilfreiche Befehle:
1. Funktionswerte,
2. Bestimmung von NS,
3. Schnittpunkte,
4. Bestimmung vonStellen,
5. Extremas.
• Bearbeitungsm¨oglichkeiten:
– unter Bearbeiten -Eigenschaften. . .
– unter Einstellungen -Zeichenblatt/ Schriftgr¨osse. . .
– auf der Menuleiste -Texteingabe. . .
– kopieren, speichern & drucken
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Aufgaben : Wir betrachten die folgenden Funktionen:
f(x) =√
x , g(x) =ex, h(x) =−x2+ 2x+ 8 Stelle die Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch dar, dabei sollen folgende Einstellungen vorgenommen werden:
– Alle Graphen sollen die gleiche Linienst¨arke 5 und aber verschiedene Linienarten haben, – Der Graph von f(x) soll blau und in der glei-
chen Farbe fett und kursiv mit graph(f) be- schrieben sein,
– Das gleiche f¨ur den Graphen vong(x) in violett und den Graphen vonh(x) in gr¨un,
– Die Achsen sind anzuschreiben und die Einhei- ten in einem Abstand von 2 zu setzen,
– Das Koordinatengitter mit einem Abstand von 2 (inx−undy−Richtung) soll sichtbar sein, – Die Funktionsgleichungen aller Funktionen sol-
len in der Darstellung vorkommen.
Abschliessend soll die graphische Darstellung in ein Exceldokument eingef¨uhrt werden, in welchem ei- ne Wertetabelle zu den drei Funktionen schon vor- kommt. (Einen sinnvollen Bereich f¨ur die Argumente in der Wertetabelle soll nach der graphischen Dar- stellung selber gew¨ahlt werden.)
Aufgaben : Stelle die folgenden Funktionen graphisch dar:
f(x) =x4+ 0.5x3−4.5x2−2x+ 2 g(x) = 0.5x2+ 1
und bestimme weiter (auf 3 Kommastellen genau) 1. die Schnittpunkte vonf mitg:
2. die Nullstellen vonf:
3. den Achsenabschnitt von g:
4. die folgenden Funktionswerte:
f(2) = . . . , f(−1.5) = . . . , f(3) = . . . g(2) = . . . , g(−4) = . . . , g(0) = . . .
5. die lokalen Extremas vonf(x):
6. die Stellen, an welcherg(x) ein Minimum hat,
7. die Stellen, an welchenf(x) den Wert -1 hat.
Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 0 (Zugeh¨orige L¨osungen)
16
• Arbeiten mitParameter und Schieberegler:
Um den Einfuss vonParametern(sog.Formvariablen) auf den Graphen zu untersuchen, gibt es beiGeoGebraden praktischenSchieberegler, welchen wir an einem und schon bekannten Beispiel einf¨uhren werden:
f(x) =ax+b mit a=
b =
3.2.2 Der Einfluss der Parameter
Wir verwenden f¨ur unsere ersten Untersuchungen nat¨urlich den Schieberegler vonGeoGebra:
Aufgaben : Stelle die Funktion f(x) = x2 graphisch dar und untersuche den Einfluss der Parameter in den folgen- den Funktionsvorschriften
x7→ax2 , x7→x2+n , x7→(x−m)2 x7→(x−m)2+n , x7→a(x−m)2+n auf den Verlauf der Graphen, im Vergleich zu graph(f) und fasse in eigenen Worten den Einfluss der Parametera, mundnauf den Graphen derNor- malparabelzusammen:
Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)
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Wir wollen nun den Graphen einerallgemeinen quadratischen Funktiondis- kutieren und den folgenden Fragen nachgehen:
f(x) =ax2+bx+c hat was f¨ur eineF orm?
was f¨ur eineLage?
Auf Grund unserer Vorarbeit kennen wir dieFormundLagevon folgendem Funktionstyp:
f˜(x) =a·(x−m)2+n
Durch Termumformungen und Koeffizientenvergleich werden wir nun den Einfluss der Parametera, b und c auf den Graphen der allgemeinen quadrati- schen Funktion bestimmen:
f˜(x) =
=
=
= ax2+bx+c = f(x)
Zusammengefasst gilt:
Aufgaben :
1. Gegeben ist f(x) = 3x2−5x+ 33.
Bestimme
(a) die Form,
(b) den Scheitelpunkt, (c) das Maximum, (d) das Minimum.
2. Gegeben ist g(x) =−2x2+ 3x+ 12.
Bestimme
(a) das Maximum, (b) das Minimum, (c) die Nullstellen.
3. Bestimme eine eigene quadratische Funktion:
h(x) = . . . und
(a) die Form,
(b) den Scheitelpunkt, (c) das Maximum, (d) das Minimum,
(e) den Definitionsbereich, (f) den Wertebereich, (g) die Nullstellen, (h) den Achsenabschnitt.
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Aufgaben : Bestimme diecharakteristischen Gr¨ossender folgen- den Funktionen
f(x) = 2x2+x+ 5 g(x) = −0.25x+ 3 h(x) = −0.5x2+ 6
undskizzieredie zugeh¨origen Graphen:
und kontrolliere deine L¨osungen mitGeoGebra.
Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 2 (Zugeh¨orige L¨osungen)
3.3 Der Mini-Maxi-Satz & Anwendungen
Wir wollen uns in diesem Kapitel theoretisch mit zwei Eigenschaften der qua- dratischen Funktion besch¨aftigen, die wir praktisch schon verwendet haben:
• Diey-Koordinate des Scheitelpunktes ist gleich dem Maximum/
Minimum der zugeh¨origen quadratischen Funktion:
• Der Graph einer quadratische Funktion ist achsensymmetrisch:
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Satz.: (Der Mini-Maxi - Satz)
Eine quadratische Funktion f(x) =ax2+bx+c hat 1. mita >0 das Minimum c− b2
4a (an der Stelle x=−2ab ) 2. mita <0 das Maximum c− b2
4a (an der Stelle x=−2ab )
Beweis : Wir werden die Beweise f¨ur 1. und 2.indirektf¨uhren, dass heisst, wir gehen davon aus, dass die Aussage des Satzes falsch ist und werden dann zeigen, dass dies nicht sein kann.
1. Wir nehmen also an, dass c− 4ab2 nicht das Minimum von f(x) ist.
⇒ ∃y∈ W(f) : y=f(x) < c− b2 4a
⇒ ∃x∈ D(f) : ax2+bx+c < c− b2 4a
⇔ a(x+ b
2a)2+c− b2
4a < c− b2 4a
⇔ a(x+ b
2a)2 < 0
2. Analog wird auch die zweite Aussage desMini-
Maxi - Satzesbewiesen:
Anwendungen :
1. Wir betrachten die folgende Funktion:
f(x) =x2+x−6
• Bestimme das Maximum und das Minimum und die zugeh¨origen Ar- gumente von f¨urx∈ D(f), mit
(a) D(f) =R (b) D(f) = [0,4]
(c) D(f) = [0,4[
(d) D(f) =]−5,12[ (e) D(f) = [−5,5[
• Bestimme weiter einen Definitionsbereich f¨urf, so dassf (a) kein Maximum und kein Minimum,
(b) ein Maximum und kein Minimum,
(c) kein Maximum und ein Minimum hat.
• Bestimme in der mathematisch beschreibenden Form:
(a) {x∈ D(f)|f(x)>0}
(b) {x∈ D(f)|f(x)<0}
(c) {x∈ D(f)|f(x) = 0}
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2. Von zwei Zahlen ist bekannt, dass die eine um 8 gr¨osser ist ald die andere.
(a) Gib das Produkt dieser Zahlen als eine Funktion an:
(b) Skizziere den zugeh¨origen Graphen:
3. Wir gehen von folgender Situtation aus
und betrachten die RechteckeOQP R, wobei die EckeOim Ursprung, die EckeP auf demgraph(g) und das ganze Rechteck im 1. Quadran- ten liegen soll.
i. Berechne den Fl¨acheninhalt des Rechtecks OQP R, wenn der PunktP die Koordinaten
A. (3 / ?) B. (2.5 / ? ) C. (x / ?) hat.
ii. F¨ur welche Lage vonPauf dem Graphen vongwird der Fl¨achen- inhalt am gr¨ossten?
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Wir wollen diese Anwendung noch etwas ausbauen und verwenden dazu die folgende graphische Darstellung einer quadratischen Funktionf:
(a) Bestimme die Nullstellen vonf.
(b) Zeichne ein Rechteck im 1. Quadranten mit dem Ursprung als ein Eckpunkt, unterhalb des Graphen vonf liegend und einem weiteren Eckpunkt auf dem Graphen vonf ein.
(c) Bestimme den maximalen Fl¨acheninhalt f¨ur ein solches Rechteck.
(d) Bestimme die L¨angen, f¨ur welche der Fl¨acheninhalt des Rechtecks gleich 50 ist.
(e) Bestimme die L¨angen, f¨ur welche der Fl¨acheninhalt des Rechtecks gleich 20 ist.
3. Aus einer dreieckigen Marmor- platte soll eine rechteckige Platte herausgesagt werden.
(a) Zeige mit Hilfe des Strahlensatzes, dass fur die Langelund die Breite bdes Rechtecks folgendes gilt:
5l+ 7b= 350cm
(b) Wie m¨ussen Lange und Breite gewahlt, damit man die rechteckige Platte den grosstm¨oglichen Flacheninhalt erh¨alt? Wie gross ist die- ser?
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Aufgaben : Ein rechtekiges Grundst¨uck mit einer Fl¨ache von A= 10026m2 hat den UmfangU = 130m.
1. Berechne die L¨ange & Breite des Grundst¨uckes.
2. Optimiere L¨ange & Breite so, dass bei gleichem Umfang der Fl¨acheninhalt maximal/minimal wird.
3. Vermutung einer Verallgemeinerung?
Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 3 (Zugeh¨orige L¨osungen)
3.4 Die Symmetrieeigenschaft
Wir wollen nun noch die schon im letzten Abschnitt erw¨ahnte Eigenschaft der Symmetrie beweisen:
Satz: (Symmetrieeigenschaft)
Eine quadratische Funktion f(x) =ax2+bx+c ist symmetrisch bzgl. der Achse x=−2ab .
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3.5 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen
Wir wollen in diesem Abschnitt unsere Kenntnisse aus den Kapiteln L¨osen von Gleichungen
Grundlagen der Funktionen mit den Erkenntnissen, welche wir in diesem Kapitel
Die quadratische Funktion
schon gewonnen haben, zusammentragen, um uns ein Bild von einer quadrati- schen Funktion und der Lage und Anzahl ihrer Nullstellen zu machen.
Wir gehen aus, von der quadratischen Funktion f(x) = . . . .:
• x∈ D(f) heisst eine Nullstelle vonf :⇔
• wir suchen somit die L¨osungen von welcher Gleichung?
• also einer Gleichung von welchem Typ:
• die wir l¨osen k¨onnen mit
• und die zugeh¨orige L¨osungsmenge welche M¨achtigkeit haben kann?
• unter welchen Bedingungen:
• und verteilt sind diese L¨osungen
Graphischer & algebraischer Zusammenhang:
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Aufgabe : Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den ent- sprechenden Graphen zu:
f(x) =−2x2+ 2x+ 12 g(x) = (x+ 2)(x−3) h(x) = (x−2)(x+ 3) i(x) = (x−1)2 j(x) = (−x+ 1)2
Zusammenfassung:
Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 4 (Zugeh¨orige L¨osungen)
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3.6 Eine Aufgabe
Hausaufgabe : Bereite die folgenden Fragen und Aufgabenstellun- gen 1. - 6. vor, d.h.:
• . . . ¨uberlege, ob Du die Frage/ Aufgabe ver- standen hast,
• . . . schreibe auf, was Du nicht verstanden hast,
• . . . notiere was zu tun ist, um Deine Unklarhei- ten zu beseitigen,
• . . . formuliere einen L¨osungsansatz, einen L¨osungsweg.
Gegeben sind die Parabel f(x) =−2x2+ 6x+ 20 &
die Gerade g(x) = 2x+ 14 1. Skizziere die Situation.
2. Spiegle den Graphen vonf an derx-Achse und bestimme die neue Funk- tionsgleichung in der Form f2(x) =a2x2+b2x+c2.
3. Der Graph vonf wird verschoben, so dass der ScheitelpunktSdie Koor- dinaten (4/4) hat.
Bestimme die neue Funktionsgleichung f3(x) =a3x2+b3x+c3.
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4. Spiegle den Graphen vonf an dery-Achse und bestimme die neue Funk- tionsgleichung in der Form f4(x) =a4x2+b4x+c4.
5. Bestimme die Schnittpunkte vonf mitg.
6. Bestimme die Funktionsgleichung der zugparallelen Geradenh(x), welche den Graphen vonf nur ber¨uhrt.
Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 5 (Zugeh¨orige L¨osungen)
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