Quadratische Funktionen ANALYSIS

Quadratische Funktionen

ANALYSIS Kapitel 3 MNProfil - gymnasiale Mittelstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

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Vorname:

13. Februar 2020

Uberblick ¨¨ uber die bisherigenAnalysis- Themen:

1 Funktionen (Grundlagen) 1.1 Einf¨uhrung

1.2 Zuordnung & Abh¨angigkeit 1.3 Beispiele

1.4 Funktionsgleichungen

1.5 Definitions- & Wertebereich &

die Verkn¨upfung von Funktionen 1.6 Darstellungsmethoden

1.7 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt 1.8 Funktionen & EXCEL

1.9* Das Auffinden von Nullstellen

1.10 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen 1.11 Funktionen &GeoGebra- einselbst¨andigesKennenlernen

2 Affine Funktionen

2.1 Einf¨uhrung -ein Leitprogramm

2.2 Die gegenseitige Lage affiner Funktionen 2.3 Abstandsbestimmungen

2.5 Funktionen &GeoGebra- einselbst¨andigesKennenlernen 2.5 Wer kann’s erkl¨aren ?

Inhaltsverzeichnis

3 Quadratische Funktionen 1

3.1 Repetition . . . 1

3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion . . . 11

3.2.1 Kurzeinf¨uhrung inGeoGebra . . . 12

3.2.2 Der Einfluss der Parameter . . . 18

3.3 Der Mini-Maxi-Satz & Anwendungen . . . 23

3.3.1 Die quadratische Erg¨anzung . . . 25

3.3.2 Anwendungen. . . 26

3.4 Die Symmetrieeigenschaft . . . 36

3.5 Die geometrische Bedeutung der Parabel . . . 37

3.6 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen . . . 38

3.7 Eine Aufgabe . . . 42

3.8 Meine Zusammenfassung. . . 49

3 Quadratische Funktionen

In diesem Kapitel wirst du einen weiteren Funktionstypkennenlernen:

Die quadratische Funktion.

Im ersten Abschnitt werdet ihr die im Zusammenhang mit Funktionen schon besprochenen Begriffe und Definitionenrepetierenund in einigen Aufgaben zur Anwendung bringen.

Im zweiten Abschnitt werden wir uns mit dem Graphen der quadratischen Funktion besch¨aftigen, insbesondere mit dem Einfluss der Parameter auf die Form des Graphen.

Im dritten Abschnitt werden wir denMini-Maxi-Satzund dieSymmetrieei- genschafteiner quadratischen Funktion kennenlernen und die erstenExtremal- aufgabenl¨osen.

Im vierten Abschnitt dieses Kapitels werden wir danndie quadratische Glei- chung & die quadratische Funktionin Zusammhang bringen und dieNullstellen diskutieren.

Anschliessend folgt eine etwas gr¨ossere Aufgabe, in welche wir unser bishe- riges Wissen und einge geometrische ¨Uberlegungen einbrigen werden.

3.1 Repetition

Wir beginnen mit der Wiederholung der wichtigsten Begriffe & Definitionen und werden in einem zweiten Teil an einigen Beispielen und Anwendungen die Begriffe vertiefen.

Erkl¨are/ definiere die folgenden Begriffe:

• f :A→Bheisst eine Funktion:⇔ . . .

heisst . . . und wird abgek¨urzt durch . . .

• Seif :A→Beine Funktion.

– Was ist einArgument? – Was ist eineNullstelle? – Was ist derAchsenabschnitt?

• Gib ein Beispiel einerFunktionsgleichung: . . .

– Bestimme die zugeh¨origeFunktionsvorschrift: . . . – Bestimme denFunktionswert an der Stellex=−5 : . . . – Berechnef(−5) : . . .

• Eine Funktionf :A→Bheisstaffin:⇔ . . .

Welche Eigenschaften einer affinen Funktion lassen sich direkt aus der Funktionsgleichung ablesen:

– – –

• F¨ur die graphische Darstellung einer Funktionf :A→Bben¨otigen wir –

–

∗

∗

∗

∗

und zum Schluss eine sehr wichtige Definition: graphf:= . . .

Wir kommen nun zu einigen Aufgaben und Anwendungen:

• DieUNITED NATIONS POPULATION DIVISION liefert das folgende Zahlenmaterial ¨uber die Bev¨olkerungsentwicklung in Europa:

Stelle die Tabelle auf der folgenden Seite graphisch dar und mache eine Prognose f¨ur die Entwicklung der Bev¨olkerungszahlen

– im Jahr 1982, – im Jahr 1940, – im Jahr 2010.

Wir werden wieder etwas mathematischer:

• Gegeben sind die folgenden Funktionen:

f :R≥0→R, x7→ ¹₂x³−42, g:R→R<0, x7→5x

h:R→R, x7→x²−9x+ 20

Bestimme die folgenden Funktionswerte/ -gleichungen:

( DieFunktionsgleichungensind ohne Ber¨ucksichtung von Definitions- und Wer- tebereich zu erstellen.)

1. f(1) = 2. g(2) = 3. f◦g(−3) = 4. g◦f(4) = 5. f◦g(x) = 6. g◦f(x) = 7. g◦f◦g(x) =

und weiter

8. die Nullstellen vonh, 9. den Achsenabschnitt vonf, 10. den Schnittpunkt vongundh.

• Bestimme mit Hilfe der folgenden Darstellung der Funktionf(x) . . .

1. den Achsenabschnitt vonf, 2. die Nullstellen vonf, 3. f(4),

4. {x∈R|f(x) = 2}, 5. {x∈R|f(x)<−2}, 6. {(x/y)|y=f(x)}, 7. {(x/y)|x= 3}, 8. {(x/y)|y= 12}.

Verifiziere so weit wie m¨oglich Deine Resultate mit der folgendenFunkti- onsgleichungf¨urf:

f(x) = 0.1x⁴−0.45x³−1.5x²+ 3.95x−2.1

• Stelle die folgende Situation graphisch dar:

f(x) = 2x−1 , g(x) =−0.5x+ 2, P= (4/5)

- 6

1. Bestimme den SchnittpunktS vonf mit g.

2. Bestimme den Abstand vonS zur Geradenf, zurx-Achse, zur Geradeng, zury-Achse.

4. Bestimme den Abstand vonP zum Ursprung, zur Geradeng

5. Bestimme die Funktionsgleichung einer Geraden/ affinen Funktion, die . . .

(a) parallel zuf verl¨auft,

(b) parallel zuf und durchP verl¨auft, (c) f schneidet,

(d) f schneidet undg nicht schneidet,

(e) gschneidet und die x-Achse nicht schneidet,

(f) beide Koordinatenachse schneidet und durch den PunktP geht, (g) f undgschneidet und nicht durch P geht,

6. Bestimme den Fl¨acheninhalt des Dreiecks ∆ABC, mit

A=P , B= (N S(f)/0) und C= (6/..)∧C∈graph(g)

7. Stelle die Funktionenf(x) undg(x) und den PunktP nochmals gra- phisch dar und skizziere die folgenden Mengen in Deiner graphischen Darstellung :

(a) {(x/y)|d((x/y), P) = 4}

(b) {(x/y)|d((x/y),(−1/3))≤1,5}

(c) {(x/y)|d((x/y), x-Achse)>5}

- 6

8. Beweise, dass die Geradenf undg senkrecht zueinander stehen.

Zusammenfassung:

Die L¨osungen zur Repetition

3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion

Bevor wir uns mit dem Gaphen einerquadratischen Funktionbesch¨aftigen m¨ussen wir diese noch definieren:

Def.: Eine Funktionf :A→Bheisstquadratisch:⇔

Die zugeh¨orige Funktionsgleichung ist von der folgenden Form:

f(x) =ax²+bx+c mit a, b, c∈R, a6= 0.

Bem.: •

•

•

Um uns mit dem Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion und dem Einfluss der Parametera, bundc vertraut zu machen, werden wir die folgende freeware verwenden: GeoGebra

welche unter

www.geogebra.org zu finden ist.

3.2.1 Kurzeinf¨uhrung in GeoGebra

GeoGebraist eine kostenlose dynamische Mathematiksoftware, die f¨ur Sch¨ule- rInnen aller Altersklassen geeignet ist und auf allen Betriebssystemen l¨auft.

GeoGebraverbindet Geomterie, Algebra, Tabellen, Zeichnungen, Statistik und Analysis in einem einfach zu bedienenden Softwarepaket, das bereits mehrere Bildungssoftware Preise in Europa und den USA gewonnen hat.

Wir werden uns im Folgenden nur mit den M¨oglichkeiten von GeoGebra befassen, welche sich in den grundlegenden Arbeiten mit Funktion anwenden lassen.

Der Download: (Wir verwenden die Version Classic 5)

Die Startseite:

• Eingabe vonFunktionsgleichungenundhilfreiche Befehle:

1. Funktionswerte,

2. Bestimmung von NS,

3. Schnittpunkte,

4. Bestimmung vonStellen,

5. Extremas.

• Bearbeitungsm¨oglichkeiten:

– unter Bearbeiten -Eigenschaften. . .

– unter Einstellungen -Zeichenblatt/ Schriftgr¨osse. . .

– auf der Menuleiste -Texteingabe. . .

– kopieren, speichern & drucken

Aufgaben 3.1 Wir betrachten die folgenden Funktionen:

f(x) =√

x , g(x) =e^x , h(x) =−x²+ 2x+ 8 Stelle die Funktionen in einem Koordinatensystem gra- phisch dar, dabei sollen folgende Einstellungen vorgenom- men werden:

– Alle Graphen sollen die gleiche Linienst¨arke 5 und aber verschiedene Linienarten haben,

– Der Graph vonf(x)soll blau und in der gleichen Far- be fett und kursiv mit graph(f ) beschrieben sein, – Das gleiche f¨ur den Graphen von g(x) in violett und

den Graphen vonh(x)in gr¨un,

– Die Achsen sind anzuschreiben und die Einheiten in einem Abstand von 2 zu setzen,

– Das Koordinatengitter mit einem Abstand von 2 (in x−undy−Richtung) soll sichtbar sein,

– Die Funktionsgleichungen aller Funktionen sollen in der Darstellung vorkommen.

Abschliessend soll die graphische Darstellung in ein Exceldokument ein- gef¨uhrt werden, in welchem eine Wertetabelle zu den drei Funktionen schon vorkommt. (Einen sinnvollen Bereich f¨ur die Argumente in der Wer- tetabelle soll nach der graphischen Darstellung selber gew¨ahlt werden.)

Aufgaben 3.2 Stelle die folgenden Funktionen graphisch dar:

f(x) =x⁴+ 0.5x³−4.5x²−2x+ 2 g(x) = 0.5x²+ 1

und bestimme weiter (auf 3 Kommastellen genau)

1. die Schnittpunkte vonf mit g:

2. die Nullstellen vonf:

3. den Achsenabschnitt vong:

4. die folgenden Funktionswerte:

f(2) = . . . , f(−1.5) = . . . , f(3) = . . . g(2) = . . . , g(−4) = . . . , g(0) = . . .

5. die lokalen Extremas vonf(x):

6. die Stellen, an welcherg(x)ein Minimum hat,

7. die Stellen, an welchenf(x)den Wert -1 hat.

Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 0 (Zugeh¨orige L¨osungen)

• Arbeiten mitParameter und Schieberegler:

Um den Einfuss vonParametern(sog.Formvariablen) auf den Graphen zu untersuchen, gibt es beiGeoGebraden praktischenSchieberegler, welchen wir an einem und schon bekannten Beispiel einf¨uhren werden:

f(x) =ax+b mit a=

b =

3.2.2 Der Einfluss der Parameter

Wir verwenden f¨ur unsere ersten Untersuchungen nat¨urlich den Schieberegler von GeoGebra:

Aufgaben 3.3 Stelle die Funktion f(x) = x² graphisch dar und unter- suche den Einfluss der Parameter in den folgenden Funkti- onsvorschriften

x7→ax² , x7→x²+n , x7→(x−m)² x7→(x−m)²+n , x7→a(x−m)²+n

auf den Verlauf der Graphen, im Vergleich zu graph(f) und fasse in eigenen Worten den Einfluss der Parameter a, mund n auf den Graphen der Normalparabel zusam- men:

Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)

Wir wollen nun den Graphen einerallgemeinen quadratischen Funktiondis- kutieren und den folgenden Fragen nachgehen:

f(x) =ax²+bx+c hat was f¨ur eineF orm?

was f¨ur eineLage?

Auf Grund unserer Vorarbeit kennen wir dieFormundLagevon folgendem Funktionstyp:

f˜(x) =a·(x−m)²+n

Durch Termumformungen und Koeffizientenvergleich werden wir nun den Einfluss der Parametera, b und c auf den Graphen der allgemeinen quadrati- schen Funktion bestimmen:

f˜(x) =

=

=

= ax²+bx+c = f(x)

Zusammengefasst gilt:

Aufgaben 3.4

1. Gegeben ist f(x) = 3x²−5x+ 33.

Bestimme (a) die Form,

(b) den Scheitelpunkt, (c) das Maximum, (d) das Minimum.

2. Gegeben ist g(x) =−2x²+ 3x+ 12.

Bestimme

(a) das Maximum, (b) das Minimum,

(c) die Nullstellen, (d) den Achsenabschnitt.

3. Bestimme eine eigene quadratische Funktion:

h(x) = . . . und

(a) die Form,

(b) den Scheitelpunkt, (c) das Maximum, (d) das Minimum,

(e) den Definitionsbereich, (f) den Wertebereich, (g) die Nullstellen, (h) den Achsenabschnitt deinerquadratischen Funktion.

Aufgaben 3.5 Bestimme die charakteristischen Gr¨ossen der folgenden Funktionen

f(x) = 2x²+x+ 5 g(x) = −0.25x+ 3 h(x) = −0.5x²+ 6

und skizzieredie zugeh¨origen Graphen:

Kontrolliere deine L¨osungen mitGeoGebra.

Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 2

Aufgaben 3.6 Beweise, dass wenn mit unseren Bezeichnungena, bundm bekannt sind, die Funktionsgleichung noch nicht eindeutig bestimmbar ist.

3.3 Der Mini-Maxi-Satz & Anwendungen

Wir wollen uns in den folgenden zwei Kapiteln noch theoretisch mit zwei Ei- genschaften der quadratischen Funktion besch¨aftigen, die wir praktisch schon verwendet haben:

• Diey-Koordinate des Scheitelpunktes ist gleich dem Maximum/

Minimum der zugeh¨origen quadratischen Funktion:

• Der Graph einer quadratische Funktion ist achsensymmetrisch:

Satz.: (Der Mini-Maxi - Satz)

Eine quadratische Funktion f(x) =ax²+bx+c hat 1. mita >0 das Minimum c− b²

4a (an der Stelle x=−_2a^b) 2. mita <0 das Maximum c− b²

4a (an der Stelle x=−_2a^b)

Beweis : Wir werden die Beweise f¨ur 1. und 2.indirektf¨uhren, dass heisst, . . . .

1. Wir nehmen also an, dass c− _4a^b2 nicht das Minimum von f(x) ist.

⇒ ∃y∈ W(f) : y=f(x) < c− b² 4a

⇒ ∃x∈ D(f) : ax²+bx+c < c− b² 4a

⇔ a(x+ b

2a)²+c− b²

4a < c− b² 4a

⇔ a(x+ b

2a)² < 0

2. Beweis selbst¨andig die zweite Aussage des

Mini-Maxi - Satzes:

3.3.1 Die quadratische Erg¨anzung

Aufgaben 3.7 Untersuche und erkl¨are den Begriff der Quadratischen Erg¨anzung.

3.3.2 Anwendungen

1. Die Flugbahn einer Kanonenku- gel ist eine Parabel. Der Schei- telpunkt der Flugbahn hat die KoordinatenS = (400m/675m), der Abschusspunkt liegt in einer Felswand beiA= (200m/375m).

(a) Berechne die Gleichung der Flugbahn in der Formf(x) =ax²+bx+c.

(b) Bei welcherx-Koordinate f¨allt die Kugel ins Meer?

(c) Die Flugbahn wird parallel zury-Achse soweit nach oben verschoben, bis der Auftreffpunkt im Meer beix= 800m liegt.

Berechne die Hoheh⁰ des neuen AbschusspunktesA⁰.

(d) Stelle die beiden Flugbahnen in einem Koordinatensystem graphisch dar.

2. Wir betrachten die folgende Funktion:

f(x) =x²+x−6

• Bestimme das Maximum und das Minimum und die zugeh¨origen Ar- gumente f¨urx∈ D(f), mit

(a) D(f) =R (b) D(f) = [0,4]

(c) D(f) = [0,4[

(d) D(f) =]−5,¹₂[ (e) D(f) = [−5,5[

• Bestimme weiter einen Definitionsbereich f¨urf, so dassf (a) kein Maximum und kein Minimum,

(b) ein Maximum und kein Minimum,

(c) kein Maximum und ein Minimum hat.

• Bestimme in der Intervallschreibweise:

(a) {x∈ D(f)|f(x)>0}

(b) {x∈ D(f)|f(x)<0}

(c) {x∈ D(f)|f(x) = 0}

3. Wir gehen von folgender Situtation aus

und betrachten die RechteckeOQP R, wobei die EckeOim Ursprung, die EckeP auf demgraph(g) und das ganze Rechteck im 1. Quadranten liegen soll.

(a) Berechne den Fl¨acheninhalt des RechtecksOQP R, wenn der Punkt P die Koordinaten

i. (3 / ?) ii. (2.5 / ? ) iii. (x / ?) hat.

(b) F¨ur welche Lage vonP auf dem Graphen vong wird der Fl¨achenin- halt am gr¨ossten?

(c) Verallgemeinere die Situation und beweise, dass die Stelle f¨ur den gesuchten Punkt immer in der Mitte zwischen dem Ursprung und der Nullstelle liegt.

Wir wollen diese Anwendung noch etwas ausbauen und verwenden dazu die folgende graphische Darstellung einer quadratischen Funktionf:

(a) Bestimme die Nullstellen vonf.

(b) Zeichne ein Rechteck im 1. Quadranten mit dem Ursprung als ein Eckpunkt, unterhalb des Graphen vonf liegend und einem weiteren Eckpunkt auf dem Graphen vonf ein.

(c) Bestimme den maximalen Fl¨acheninhalt f¨ur ein solches Rechteck.

(d) Bestimme die L¨angen, f¨ur welche der Fl¨acheninhalt des Rechtecks gleich 50 ist.

(e) Bestimme die L¨angen, f¨ur welche der Fl¨acheninhalt des Rechtecks gleich 20 ist.

Aufgaben 3.8

• Bestimme die Funktionsgleichung einer nach oben ge¨offneten, breiten Parabel mit dem Scheitelpunkt im 3. Quadranten.

• Bestimme nun den maximalen Fl¨acheninhalt des im 3. Quadranten (wie in den vorherigen Aufgaben) eingepassten Rechtecks.

• Stelle weiter die Parabel und die Fl¨achenfunktion in einem Koordina- tensystem dar, interpretiere die Situation und formuliere eine eigene Frage, welche Du an einen Mitsch¨uler stellen und von diesem auch beantworten lassen sollst.

4. F¨ur welche zwei Zahlen, von denen die eine um 2 gr¨osser ist als die andere, ist das Produkt am kleinsten?

5. Aus einer dreieckigen Marmor- platte soll eine rechteckige Platte herausgesagt werden.

(a) Zeige mit Hilfe des Strahlensatzes, dass f¨ur die L¨angelund die Breite bdes Rechtecks folgendes gilt:

5l+ 7b= 350cm

(b) Wie m¨ussen L¨ange und Breite gewahlt werden, damit die rechteckige Platte den grosstm¨oglichen Flacheninhalt erh¨alt?

Wie gross ist dieser?

Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 3 (Zugeh¨orige L¨osungen)

Aufgaben 3.9 Geizige und Snobs beim Einkaufen

Zu einer Sportmesse werdenk0= 100000 Besucher erwartet. Der Autor Mike Velo stellt sein neues BuchFit ohne Chemie?vor.

Mike m¨ochte den Preis x des Buches so kalkulieren, dass seine Einnahmen E maximal werden. Dazu verwendet er die Funktionk:x7→k(x), die angibt, wie viele Besucher der Messe sein Buch kaufen.

(a) Zuerst nimmt Mike an, dasskbis zur Nullstelle eine lineare Funktion ist, f¨urx= 0 jeder das Buch nimmt und f¨urx≥50F rkeiner mehr sein Buch kauft.

F¨ur welches x= x0 ist E maximal und wie gross sind seine maximalen Einnahmen?

(b) Mikes Frau gibt zu bedenken, dass nicht nurGeiz-ist-geil-Kundendie Mes- se besuchen, sondern auch einige Snobs darunter sind, die eine Ware nur dann sch¨atzen, wenn sie auch teuer genug ist.

Gemeinsam entwickeln sie folgende K¨auferfunktion:

k(x) =k0−ax−b

x mita= 1200 1

F r undb= 400000.

F¨ur welchesx=x1 ist jetzt E maximal und wie gross sind die maximalen Einnahmen? VergleicheE(x1) mitE(x0).

Zeichne die Grafen der Funktionenk(x) undE(x) in geeigneten Einheiten.

Welche Definitionsmenge ist f¨ur knur sinnvoll?

(c) Versuche zu bestimmen, welche Annahmen der K¨auferfunktion aus Tei- laufgabe (b) zugrunde liegen.

...

Aufgaben 3.10 Ein rechteckiges Grundst¨uck mit einer Fl¨ache von A = 1⁰026m² hat den UmfangU = 130m.

1. Berechne die L¨ange & Breite des Grundst¨uckes.

2. Optimiere L¨ange & Breite so, dass bei gleichem Um- fang der Fl¨acheninhalt maximal/minimal wird.

3. Vermutung einer Verallgemeinerung?

3.4 Die Symmetrieeigenschaft

Wir wollen nun noch die schon im letzten Abschnitt erw¨ahnte Eigenschaft der Symmetrie beweisen:

Satz: (Symmetrieeigenschaft)

Eine quadratische Funktion f(x) =ax²+bx+c ist symmetrisch bzgl. der Achse x=−_2a^b .

3.5 Die geometrische Bedeutung der Parabel

Wir verwenden hierf¨ur den folgenden Auszug

aus einer Repetitionsaufgabe zu den quadratischen Funktionen, von Bruno Wyrsch und Erich Huber, KS Seetal (Luzern)

Aufgaben 3.11 Uberpr¨¨ ufe den gemoetrischen Sachverhalt mit GeoGebra und beweise die Aussagen algebraisch.

3.6 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen

Wir wollen in diesem Abschnitt unsere Kenntnisse aus den Kapiteln L¨osen von Gleichungen

Grundlagen der Funktionen mit den Erkenntnissen, welche wir in diesem Kapitel

Die quadratische Funktion

schon gewonnen haben, zusammentragen, um uns ein Bild von einer quadrati- schen Funktion und der Lage und Anzahl ihrer Nullstellen zu machen.

Wir gehen aus, von der quadratischen Funktion f(x) = . . . .:

• x∈ D(f) heisst eine Nullstelle vonf :⇔

• wir suchen somit die L¨osungen von welcher Gleichung?

• also einer Gleichung von welchem Typ:

• die wir l¨osen k¨onnen mit

• und die zugeh¨orige L¨osungsmenge welche M¨achtigkeit haben kann?

• unter welchen Bedingungen:

• und verteilt sind diese L¨osungen

Graphischer & algebraischer Zusammenhang:

Aufgabe : Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den ent- sprechenden Graphen zu:

f(x) =−2x²+ 2x+ 12 g(x) = (x+ 2)(x−3) h(x) = (x−2)(x+ 3) i(x) = (x−1)² j(x) = (−x+ 1)²

Zusammenfassung:

Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 4

3.7 Eine Aufgabe

Hausaufgabe : Bereite die folgenden Fragen und Aufgabenstellun- gen 1. - 6. vor, d.h.:

• . . . ¨uberlege, ob Du die Frage/ Aufgabe ver- standen hast,

• . . . schreibe auf, was Du nicht verstanden hast,

• . . . notiere was zu tun ist, um Deine Unklarhei- ten zu beseitigen,

• . . . formuliere einen L¨osungsansatz, einen L¨osungsweg.

Gegeben sind die Parabel f(x) =−2x²+ 6x+ 20 &

die Gerade g(x) = 2x+ 14 1. Skizziere die Situation.

2. Spiegle den Graphen vonf an derx-Achse und bestimme die neue Funk- tionsgleichung in der Form f2(x) =a2x²+b2x+c2.

3. Der Graph vonf wird verschoben, so dass der ScheitelpunktSdie Koor- dinaten (4/4) hat.

Bestimme die neue Funktionsgleichung f3(x) =a3x²+b3x+c3.

4. Spiegle den Graphen vonf an dery-Achse und bestimme die neue Funk- tionsgleichung in der Form f4(x) =a4x²+b4x+c4.

5. Bestimme die Schnittpunkte vonf mitg.

6. Bestimme die Funktionsgleichung der zugparallelen Geradenh(x), welche den Graphen vonf nur ber¨uhrt.

Bemerkungen:

7. Bestimme die Stelle, an welcher der Graph vonf die Steigung 1 hat.

8. Bestimme den Scheitelpunkt vonf mit Hilfe einer Tangente.

9. Bestimme die SteigungkP vonf im PunktP= (1/y) und bestimme den PunktQ, in welchem f¨ur die Steigung folgendes gilt: kQ=−kP.

Aufgaben 3.12 Wir gehen von einer allgemeinen quadratischen Funtkion f(x) =ax²+bx+c aus.

Beweise, dass

1. wenn der Graph vonf an derx-Achse gespiegelt wird, die Funtkionsgleichung der gespiegelten Funktion von folgender Form ist:

f˜(x) =−ax²−bx−c

2. wenn der Graph vonf an dery-Achse gespiegelt wird, die Funtkionsgleichung der gespiegelten Funktion von folgender Form ist:

f˜(x) =ax²−bx+c

Analysis-Aufgaben:Quadratische Funktionen 5 (Zugeh¨orige L¨osungen)

3.8 Meine Zusammenfassung