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Quadratische Funktion

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Academic year: 2021

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(1)

Quadratische Funktion

Der Graph einer quadratischen Funktion

x 7→ y = f (x) = ax

2

+ bx + c

= a(x − x

0

)

2

+ y

0

ist eine Parabel mit Scheitel (x

0

, y

0

) = (−b/(2a), −b

2

/(4a) + c).

1 / 4

(2)

Beweis

Umformung von

y = ax

2

+ bx + c durch quadratische Erg¨ anzung

y = a

x

2

+ b a x

+ c = a

x + b 2a

2

− b

2

4a + c , d.h.

y = a(x − x

0

)

2

+ y

0

mit

x

0

= b/(2a), y

0

= −b

2

/(4a) + c

2 / 4

(3)

Beispiel

Schr¨ ager Wurf mit Anfangsgeschwindigkeit v und Wurfrichtung (cos ϕ, sin ϕ)

parabelf¨ ormige Flugbahn:

y = x tan ϕ − g 2v

2

cos

2

ϕ x

2

mit g der Erdbeschleunigung

3 / 4

(4)

Herleitung durch ¨ Uberlagerung der gleichf¨ ormigen Bewegung mit Geschwindigkeit v und der beschleunigten Bewegung des freien Falls:

x(t ) = vt cos ϕ y(t ) = vt sin ϕ − 1

2 gt

2

Aufl¨ osen von x(t) nach t,

t = x(t) v cos ϕ , und Substitution in y -Komponente

y(x) = vx sin ϕ

v cos ϕ − gx

2

2v

2

cos

2

ϕ = x

tan ϕ − gx 2v

2

cos

2

ϕ

Wurfweite: y(x) = 0 (. . .) = 0 und nach Aufl¨ osen nach x x = 2v

2

cos

2

ϕ

g tan ϕ = v

2

g (2 cos ϕ sin ϕ) = v

2

g sin(2ϕ) maximal f¨ ur ϕ = π/4 = 45 b

◦

4 / 4

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