1. Aufgabe Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem − x

1. Aufgabe

Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem

−x³

48+y²x+ 2 = 0 x³−x+y³−y−1 = 0

(a) Wie ist die Jacobi-Matrix einer vektorwertigen Funktionf :Rⁿ →Rⁿ allgemein definiert?

(b) Wie lautet die Jacobi-Matrix für das gegebene Gleichungssystem?

(c) Ausgehend von der Näherungslösungx⁽⁰⁾= 0; y⁽⁰⁾= 1bestimme man mit Hilfe des Newton-Raphson Verfahrensx⁽²⁾undy⁽²⁾! (Wenn Sie korrekt rechnen, lassen sich auftretende lineare Gleichungssysteme

„einfach“ lösen) 2. Aufgabe

Gegeben ist das SystemAx=bund ein Startvektorx⁽⁰⁾.

A=





2 −1 0

−1 2 −1 0 −1 2



, b=



 1 0 0



, x⁽⁰⁾ =



 1 1 1



 .

(a) Formen Sie das lineare Gleichungssystem auf die Fixpunkt-Form um, die dem iterativen Jacobi- Verfahren entspricht.

(b) Berechnen Sie ausgehend von x⁽⁰⁾ iterativ Näherungslösungen x⁽¹⁾,x⁽²⁾ und x⁽³⁾ mit dem Jacobi- Verfahren.

(c) Ein Maß für die Güte der Näherungslösungx⁽ⁿ⁾ist die Norm des Residuums-Vektorsr⁽ⁿ⁾=b−Ax⁽ⁿ⁾. Berechnen Sier⁽⁰⁾,r⁽¹⁾,r⁽²⁾ und deren 1-Normen.

(d) Finden Sie die Jacobi-Matrix der Iterationsfunktion dieses Verfahrens, bestimmen Sie deren 1-Norm und erklären Sie, welche Bedeutung dieser Wert für die Konvergenz des Verfahrens hat.

1