HUMBOLDT-UNIVERSIT ¨AT ZU BERLIN INSTITUT F ¨UR PHYSIK
Statistische Physik, WS 2014/15
Vorlesung: Prof. Dr. L. Schimansky-Geier Ubungen: B. Sonnenschein, Dr. A. Straube¨
URL:http://people.physik.hu-berlin.de/˜straube(→Teaching→WS 2014/15: StatPhys)
Ubungsblatt 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung-II¨
Ausgabe: 24.10.2014 Abgabe: bis zum Fr, 31.10. (Schubfach vor Raum NEW 15, 3’411)
1. Aufgabe (4 Punkte) Gesetz der großen Zahlen
Betrachten Sie einen “random walk” als Summe von N unabh¨angigen Schritten der L¨ange si, x= PN
i=1si. Nehmen Sie an, dass die Zufallsvariablen si von einander unabh¨angig sind und die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass die Zaufallsvariablen im Interval [si, si+dsi] liegen, als w(s1, s2, . . . , sN) ds1ds2. . .dsN = w1(s1)w2(s2). . . wN(sN) ds1ds2. . .dsN, mit Normie- rung R∞
−∞wi(si) dsi = 1, geschrieben werden kann. Zeigen Sie, dass f¨ur den Fall gleicher Verteilungen, wi(si) =w(si),
∆x
¯
x ∝ 1
√N ,
gilt, wobei (∆x)2 = (x−x)¯ 2 und die Mittelung einer Gr¨oße, f, im folgenden Sinne f¯=R∞
−∞f w(s1, s2, . . . , sN) ds1ds2. . .dsN zu verstehen ist.
2. Aufgabe (5 Punkte) Zentraler Grenzwertsatz
Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x) der Gr¨oße x = PN
i=1si f¨ur hinrei- chend großes N normalverteilt ist,
P(x) = 1
√2π∆xexp
−(x−x)¯ 2 2(∆x)2
.
Betrachten Sie den Fall gleicher Verteilungen, wi(si) = w(si) und nehmen Sie an, dass alle Momente von s existieren, sn =R∞
−∞snw(s) ds.
Hinweis: Gehen Sie davon aus, dassP(x) =R∞
−∞ds1w(s1). . .R∞
−∞dsNw(sN)δ
x−PN i=1si
und werte dieses Integral im Fourierraum aus.
3. Aufgabe (3 Punkte) Stirlingsche Formel Benutzen Sie die Darstellung
n! = Z ∞
0
xne−xdx= Z ∞
0
e−f(x)dx , f(x) =x−nlnx , um zu zeigen, dass f¨ur großes N n¨aherungsweise
n!≈√
2πn nne−n gilt.
Hinweis: Um das IntegralRb
a e−f(x)dxabzusch¨atzen, entwickeln Sief(x) n¨aherungsweise nahe am Minimum,f(x)≈f(x0)+(1/2)f′′(x0)(x−x0)2, wobeix0 die Gleichungf′(x0) = 0 erf¨ullt, und schieben Sie die Integrationsgrenzen a→ −∞ und b → ∞.
