Statistische Physik

Sommer-Semester 2009

Theoretische Physik F

Statistische Physik

Dozent: Alexander Shnirman

Institut für Theorie der Kondensierten Materie

Mi 11:30-13:00, Lehmann Raum 022, Geb 30.22 Fr 09:45-11:15, Lehmann Raum 022, Geb 30.22

http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/theoF.SS09/

1) T. Fließbach, Statistische Mechanik.

2) L.D. Landau, E.M. Lifschitz, Band 5, Statistische Physik.

3) K. Huang, Statistical Mechanics.

4) L.E. Reichl, A Modern Course in Statistical Mechanics.

5) R. P. Feynman, Statistical mechanics.

6) Die Skripten von P. Wölfle, G. Schön, M. Vojta

Literatur

Zwei Hauptteile des Kurses

• Thermodynamik - axiomatisch, phänomenologisch

• Statistische Physik - mikroskopische

Begründung

Thermodynamik

Ein thermodynamisches System ist ein System mit makroskopisch vielen Freiheitsgraden.

√ N ≫ 1

Avogadro-Zahl Teilchen pro Mol

Thermodynamischer Limes

N → ∞ , V → ∞ , N

V = const.

N

= 6 , 023 · 10

Zustandsgrößen

Thermodynamischer Zustand ist vollständig bestimmt durch Angabe v o n w e n i g e n m a k r o s k o p i s c h e n Zustandsgrößen.

Intensiv: Druck P , Temperatur T , Chemisches Potential µ , ... ∝ N

Extensiv: Volumen V , Teilchenzahl N ,

Innere Energie U , Freie Energie F , Entropie S , ... ∝ N

Gleichgewicht

Thermodynamisches Gleichgewicht herrscht in einem System, wenn ein stabiler, zeitunabhängiger Zustand vorliegt.

Es existieren stationäre

Nichtgleichgewichtszustände!

Zustandsgleichung

Der Zusammenhang zwischen Zustandsgrößen im thermodynamischen Gleichgewicht wird

Zustandsgleichung genannt.

z.B. für das ideale Gas gilt

k

≈ 1 . 38 · 10

K

- Boltzmann-Konstante U = 3

2 N k

T P V = N k

T

Einatomiges Gas

Zustandsänderung

Eine thermodynamische Zustandsänderung kann im Gleichgewicht nur durch Änderung der Äußeren Bedingungen herbeigeführt werden.

Man unterscheidet:

a) quasistatische Zustandsänderungen: langsame Änderungen, so daß das System nahe am Gleichgewicht bleibt;

b) reversible Zustandsänderungen: Prozesse, die bei Zeitumkehr in den Ausgangszustand zurückführen;

c) irreversible Zustandsänderung: Prozesse, die bei Zeitumkehr in endlicher Zeit nicht zum Ausgangspunkt zurüuckführen

d) adiabatische Zustandsänderung: ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung e) isotherme, isobare, isochore, ... Zustandsänderungen:

T =const., P =const., V =const., ...

Reversible Prozesse

Thermodynamische Prozesse können reversibel verlaufen,

d.h. quasistatisch innerhalb der Menge der Gleichgewichtszustände.

Oder sie können irreversibel sein. Z.B. eine Relaxation zum

Gleichgewicht ist i.a. nicht als Kurve im Phasenraum darstellbar.

Differenziale von Zustandsgrößen sind vollständig

Für Zustandsgrößen (z.B. Freie Energie) gilt

!

1

dF =

!

2

dF oder

"

dF = 0 T

V

F = F ( T, V ) N = const.

dF =

! ∂F

∂T

"

V

dT +

! ∂F

∂V

"

T

dV = a dT + b dV

∂a

∂V = ∂b

∂T = ∂²F

∂V ∂T

Übung

Vom System geleistete Arbeit

δ W = P dV mechanische Arbeit

δ W = M d " B "

δ W = − Hd " M "

magnetische Arbeit

δ W - kein vollst¨ andiges Di ff erential

Es gibt keine Zustandsgr¨ oße W

0 Hauptsatz

Es gibt eine intensive Zustandsgröße "Temperatur", so dass Systeme, die miteinander im Gleichgewicht sind, denselben Wert der Temperatur haben.

Konzept der Temperatur

Definiert durch Carnot-Prozess

Erster Hauptsatz

dU = δ Q − δ W + µ dN

Energiesatz, Äquivalenz von Arbeit und Wärme

δ Q - kein vollst¨ andiges Di ff erential Es gibt keine Zustandsgr¨ oße Q

Wärme ist eine Form von Energie

Zweiter Hauptsatz

Äquivalent: Für jedes thermodynamische System existiert eine (extensive) Zustandsgröße Entropie S. Die Entropie eines

abgeschlossenen Systems nimmt nie ab. Im thermodynamischen Gleichgewicht nimmt die Entropie S ihren Maximalwert

an.

Es gibt keine thermodynamische Zustandsänderung, deren einzige Wirkung darin besteht, da

(i) eine Wärmemenge einem Wärmespeicher entzogen und vollständig in Arbeit umgesetzt wird.

(ii) eine Wärmemenge einem kälteren Wärmespeicher entzogen und an einen wärmeren Wärmespeicher

abgegeben wird.

Wir definieren Entropie später

Dritter Hauptsatz

Eine Konsequenz des 3. Hauptsatzes ist, dass der absolute Nullpunkt nicht in einer endlichen Zahl von reversiblen Prozessen erreicht werden kann.

T lim → 0

S ( T ) = 0

Carnot-Prozess

Der folgende reversible Kreisprozess wird durchlaufen:

1. Das System ist in thermischem Kontakt mit dem Reservoir T2. Bei einem isothermen Prozess (hier Expansion des Gases) fließt die Wärme Q2 ins System.

2. Das System wird thermisch isoliert. Während eines adiabatischen Prozesses (hier weitere Expansion) sinkt die Temperatur von T2 nach T1.

3. Das System ist in thermischem Kontakt mit dem Reservoir T1. Bei einem isothermen Prozess (hier Kompression des Gases) fließt die Wärme Q1 aus dem System.

4. Das System wird thermisch isoliert. Während eines adiabatischen Prozesses (hier weitere Kompression) steigt die Temperatur von T1 nach T2.

Carnot-Prozess beim idealen Gas

U = 3

2 N k

T P V = N k

T

f¨ur 2 und 4 gilt

δQ = 0 → dU = −δW = −P dV f¨ur 1 und 3 gilt

T = const. → P V = const.

Carnot-Prozess: Wirkungsgrad

!

dU = 0

dU = δ Q − δ W

Zustandsgröße

∆ W = Q

+ Q

= | Q

| − | Q

| ∆ W =

!

P dV

Wirkungsgrad

η ≡ ∆ W

| Q

| = 1 − | Q

|

| Q

|

Carnot-Theorem

∆ W = Q

+ Q

= | Q

| − | Q

|

Wirkungsgrad

η ≡ ∆ W

| Q

| = 1 − | Q

|

| Q

|

Bei vorgegebenen Temperaturen T

und T

hat

keine Maschine einen höheren Wirkungsgrad als die Carnot-Maschine.

Beweis: Wenn es so eine Maschine gäbe, könnten wir damit die Carnot-Maschine als Wärmepumpe betreiben. Dies würde bedeuten, dass ohne Zufuhr äußerer Arbeit Wärme von der tieferen Temperatur T1 zur höheren T2 fließt.

Sommer-Semester 2009

Theoretische Physik F

Statistische Physik

Dozent: Alexander Shnirman

Institut für Theorie der Kondensierten Materie

Mi 11:30-13:00, Lehmann Raum 022, Geb 30.22 Fr 09:45-11:15, Lehmann Raum 022, Geb 30.22

http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/theoF.SS09/

Kelvin-Temperatur-Skala

Alle Carnot-Maschinen mit gleichen T>, T<

haben den gleichen Wirkungsgrad η(T>, T<)

1 − η(To, Tm) = Q⁴³ Q12

= f(To, Tm)

Q43 = −Q34

1 − η(T^m, Tn) = Q⁶⁵

Q⁴³ = f(T^m, Tn)

1 − η(To, Tn) = Q65

Q12

= f(To, Tn)

f (T

, T

) = f (T

, T

) · f (T

, T

)

Wir wählen ^{f ( T}

^{, T}

^{) = T}

T

= |Q

|

| Q

|

Entropie

Zustandsgröße Entropie

für Carnot-Prozess gilt

Q

T

+ Q

T

= 0

für beliebige reversible Kreisprozesse gilt

! δ Q

T = 0

dS = δ Q T

!

!

!

Entropie

Carnot-Prozess

dS = δ Q T

!

!

!

Irreversible Prozesse

für Carnot-Prozess gilt

Q

T

+ Q

T

= 0

! δQ

T = 0

Für reversible Prozesse Für irreversible Prozesse

! δQ

T < 0 Der Wirkungsgrad ist schlechter

Irreversible Prozesse

! δQ

T = 0

Für reversible Prozesse

Für irreversible Prozesse

! δQ

T < 0

S(A) − S(B) =

B

!

A

δQ T

"

"

"

revers.

dS ≥

δ Q

Im allgemeinen gilt T

Für abgeschlossene Systeme gilt

dS = δ Q T

!

!

!

dS ≥ 0

Die Entropie S ist im Gleichgewicht maximal

Beispiel

U = 3

2 N k

T

T = const. → dU = 0

P V = N k

T

dU = δ Q − P dV = 0

dS = δQ

T = P

T dV = N k_B dV V

∆S_Gas = N k_B ln V₂ V₁

∆ S

+ ∆ S

= 0

Beispiel

U = 3

2 N k

T P V = N k

T

∆S_Gas = N k_B ln V₂ V₁

∆ U = 0 , ∆ Q = 0 , ∆ W = 0 T = const.

∆ S

= 0

δ Q = T dS

dU = δ Q − P dV + µdN

dS = 1

T dU + P

T dV − µ

T dN

S = S ( U, V, N )

1

T = ∂ S

∂ U

!

!

!

P

T = ∂ S

∂ V

!

!

!

µ

T = − ∂ S

∂ N

!

!

!

Fundamentale Relation der Thermodynamik

δ Q < T dS

revers. irrevers.

dS > 1

T dU + P

T dV − µ

T dN

F¨ ur gegebene U, V, N ist S maximal im Gleichgewicht

dS = 1

T dU + P

T dV −

µ

T dN

Fundamentale Relation der Thermodynamik

S ( λ U, λ V, λ N ) = λ S ( U, V, N )

d

dλ (λS) = S = d

dλ S(λU, λV, λN) ^λ=^→1 ∂S

∂U U + ∂S

∂V V + ∂S

∂N N

ST = U + P V − µN

Euler-Gleichung

dS = 1

T dU + P

T dV −

µ

T dN

Fundamentale Relation der Thermodynamik

ST = U + P V − µN

Euler-Gleichung

SdT − V dP + N dµ = 0

Gibbs-Duhem-Relation

Thermodynamische Potentiale

dU = T dS − P dV + µdN

U = U ( S, V, N )

T = ∂ U

∂ S

!

!

!

P = −

∂ U

∂ V

!

!

!

µ = ∂ U

∂ N

!

!

!

Innere Energie

Maxwell Relationen, z.B:

dU < T dS − P dV + µdN

∂T

∂V

!

!

!S,N

= −∂P

∂S

!

!

!V,N

∂T

∂N

!

!

!S,V

= ∂µ

∂S

!

!

!V,N

F¨ ur gegebene S, V, N ist U minimal im Gleichgewicht

Thermodynamische Potentiale

(Helmholtzsche) Freie Energie

dF = −SdT − P dV + µdN

S = − ∂ F

∂ T

!

!

!

P = − ∂ F

∂ V

!

!

!

µ = ∂ F

∂ N

!

!

!

F = F ( T, V, N )

dF < − SdT − P dV + µdN

F¨ ur gegebene T, V, N ist F minimal im Gleichgewicht

F = U − T S = − P V + µN

Thermodynamische Potentiale

Enthalpie

H = U + P V

dH = T dS + V dP + µdN

H = H ( S, P, N )

T = ∂ H

∂ S

!

!

!

V = ∂ H

∂ P

!

!

!

µ = ∂ H

∂ N

!

!

!

Thermodynamische Potentiale

(Gibbssche) Freie Enthalpie

G = H − T S = U + P V − T S dG = −SdT + V dP + µdN

S = − ∂ G

∂ T

!

!

!

V = ∂ G

∂ P

!

!

!

µ = ∂ G

∂ N

!

!

!

G = G ( T, P, N )

Thermodynamische Potentiale

Großkanonisches Potential

d Ω = −SdT − P dV − N dµ

Ω = Ω ( T, V, µ )

S = − ∂ Ω

∂ T

!

!

!

P = − ∂ Ω

∂ V

!

!

!

N = −

∂ Ω

∂ µ

!

!

!

Ω = F − µN = U − T S − µN = − P V

F¨ ur gegebene T, V, µ ist Ω minimal im Gleichgewicht

Sommer-Semester 2009

Theoretische Physik F Statistische Physik

Dozent: Alexander Shnirman

Institut für Theorie der Kondensierten Materie

Mi 11:30-13:00, Lehmann Raum 022, Geb 30.22 Fr 09:45-11:15, Lehmann Raum 022, Geb 30.22

http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/theoF.SS09/

Ω = Ω ( T, V, µ )

Großes Potential

Freie Enthalpie ^{G = G ( T, P, N )} Enthalpie ^{H = H ( S, P, N )} Freie Energie ^{F = F ( T, V, N )}

Wiederholung: Thermodynamische Potentiale U = U ( S, V, N )

Innere Energie

Response-Funktionen (lineare Antwort)

Wärmekapazität

δ Q = CdT = T dS

C

≡ T

! ∂ S

∂ T

"

x

x = V oder P

f¨ ur V = const. gilt S = −

∂ F

∂ T

!

!

!

C

≡ − T

! ∂

F

∂ T

"

V,N

f¨ ur P = const. gilt S = −

∂ G

∂ T

!

!

!

C

≡ − T

! ∂

G

∂ T

"

P,N

Andere Wärmekapazitäten: (siehe Blatt 2, Aufg.3) C

, C

Response-Funktionen (lineare Antwort)

Kompressibilität

κ

≡ − 1 V

! ∂V

∂P

"

y

y = T oder S

κ_T ≡ − 1 V

!∂V

∂P

"

T

= 1 n

! ∂n

∂P

"

T

= − 1 V

!∂²G

∂P ²

"

T

! " ! "

κ_S ≡ − 1 V

!∂V

∂P

"

S

= − 1 V

!∂²H

∂P ²

"

S

mit n = ^N

V und N = const.

Response-Funktionen (lineare Antwort)

Thermische Ausdehnung

α ≡

1 V

! ∂V

∂T

"

P

= 1 V

! ∂

∂ T

! ∂ G

∂ P

"

T

"

P

Magnetische Response-Funktionen

χ

=

! ∂ M

∂ B

"

T,S

Suszeptibilität

Temperaturkoeffizient der Magnetisierung

α

=

! ∂ M

∂ T

"

B

Relationen zwischen den Response-Funktionen

C

− C

= T V α

κ

≥ 0

Beispiel: Ideales Gas: α =

, κ

=

, C

− C

= N k

' (

C

− C

= T V α

χ

≥ 0

C

C

= χ

χ

siehe Übungen !

Stabilität

!!!!!!!!!!!

I J

!

Wir betrachten 2 Teilsysteme A, B getrennt durch eine thermisch leitende, bewegliche, durchlässige Wand.

U = U

+ U

= const .

V = V

+ V

= const . N = N

+ N

= const . S = S

+ S

T

= T

P

= P

µ

= µ

Der Austausch einer extensiven Variable zwischen 2 Teilsystemen führt dazu, dass im Gleichgewicht die konjugierte Variable in beiden Teilsystemen angeglichen ist.

Gleichgewicht

S maximal

dS = 0

“1.Ordnung”:

Konsequenz:

dS = 0

“2.Ordnung”:

d

S = 1 2

!

i=A,B

∂

S

∂U

i

( dU

)

= −

1 2 T

!

i=A,B

∂T

∂U

( dU

)

d ⁽²⁾ S < 0

C

=

! ∂ U

∂ T

"

V,N

≥ 0

⇒ 0 ≤

! ∂ U

∂ T

"

V,N

= − T

! ∂

F

∂ T

"

!()!

3

(

! --!67.-.!.7,.! 30,?>7+,!@+,!

analog folgt z.B.: und κ

≥ 0 _C

_≥ 0

Mischungsentropie und Gibb’sches Paradoxon

S ( U, V, N ) = N S

+ N k ln

! V N

"

U N

#

$

Entropie eines idealen Gases

! ∂S

∂V

"

U,N

= P

T ⇒ P V = N kT

Beweis:

! ∂S

∂U

"

V,N

= 1

T ⇒ U = f

2 N kT

Mischungsentropie und Gibb’sches Paradoxon

!!!!!

% %

J "

E EE

EE E

E

E E E E

E

E E

E

E E E

E

E E

E

+ +

+ +

+ + +

+

+ +

+ +

+

+ +

+ + +

+ +

!

Betrachten wir zwei verschiedene Gase mit . Vor dem Entfernen der Trennwand sind die Volumina

und , danach ist es .

V

V

V = V

+ V

Expansionsentropie

∆ S

= N

k ln V

V

, i = 1 , 2

Mischungsentropie

∆ S = ∆ S

+ ∆ S

> 0

Mischungsentropie

∆ S = ∆ S

+ ∆ S

> 0

Nun enthalten und dasselbe Gas (ununterscheidbare Teilchen !!!) V

V

Gleichgewählte Anfangsbedingungen:

V

N

= V

N

= V

N , U

N

= U

N

= U N

∆S = S ( nach ) − S ( vor )

= S ( U, V, N ) − S ( U

, V

, N

) − S ( U

, V

, N

) = 0

Gibb’sches Paradoxon

Wahrscheinlichkeitstheorie

Stochastische Variable (diskret oder kontinuierlich) Zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ρ

X

erfüllt

Positivität und Norm.

ρ

≥ 0, ρ(x) ≥ 0 ^!

i

ρ

= 1 ,

"

dxρ ( x ) = 1

Mittelwert: ! X " = !

i

x

ρ

oder

"

dxxρ ( x )

n -tes Moment: ! X

" = !

i

x

ρ

oder

"

dxx

ρ ( x )

Standardabweichung: σ = !

! X

" − ! X "

Varianz: σ

Wahrscheinlichkeitstheorie 2

Binomial-Verteilung

-

!

!"!#

!"$

!"$#

!"%

!"%#

!"&

! % ' ( ) $!

!7-;

!!!!$&-JH&0)^W%E?%&),-4!QTE![!6!S]9!(!6!SX_!

ρ

( n ) = N !

n !( N − n )! p

q

!N

n=0

ρ^N(n) = (p + q)^N = 1

! n " =

!

n=0

nρ

( n ) = pN

σ

= !

! n

" − ! n "

= !

N pq

`TE!4EJY%![!4&)?!-_/X -, + !0!SX [ =!>

Wahrscheinlichkeitstheorie 3

Gauß-Verteilung

ρ^N (n) = 1

√2πσ^N exp

!

−1 2

(n − #n$)² σ_N²

"

aus Binomial-Verteilung für große ^{N, pN, qN}

! n " = pN

σ

= N pq

n kontinuierlich !!!

Wahrscheinlichkeitstheorie 4

Poisson-Verteilung

, B,C

!

!"!#

!"$

!"$#

!"%

!"%#

!"&

! % ' ( ) $!

5

!!!!!!!!!!!!!!!!M:233:,8L)%$)26/,7!<=%!&!G!"!

ρ

( n ) = a

e

n !

!N

n=0

ρ^N (n) = 1

! n " = a σ

= !

! n

" − ! n "

= !

! n " = √ a

aus Binomial-Verteilung für so dass ^{N → ∞ , p → 0 a = N p}

Wahrscheinlichkeitstheorie 5

Gauß-Verteilung für mehrere Variablen

ρ(x₁, . . . , x_N ) =

√det A

(2π)^N/2 exp



− 1 2

N

#

i,j=1

(x_i − a_i)A_ij(x_j − a_j)





ξ

= x

− a

A symm., positiv definit

! x

" = a

Sommer-Semester 2009

Theoretische Physik F Statistische Physik

Dozent: Alexander Shnirman

Institut für Theorie der Kondensierten Materie

Mi 11:30-13:00, Lehmann Raum 022, Geb 30.22 Fr 09:45-11:15, Lehmann Raum 022, Geb 30.22

http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/theoF.SS09/

Wiederholung: Stabilität

!!!!!!!!!!!

I J

!

Wir betrachten 2 Teilsysteme A, B getrennt durch eine thermisch leitende, bewegliche, durchlässige Wand.

U = U

+ U

= const .

V = V

+ V

= const . N = N

+ N

= const .

S = S

+ S

T

= T

P

= P

µ

= µ

Der Austausch einer extensiven Variable zwischen 2 Teilsystemen führt dazu, dass im Gleichgewicht die konjugierte Variable in beiden Teilsystemen angeglichen ist.

Gleichgewicht

S maximal dS = 0

dS = 1

T dU + P

T dV − µ

T dN

Konjugierte Variable

T

P µ

S V

N

Intensiv Extensiv

dF = − SdT − P dV + µdN

Stabilität: Thermischer Kontakt mit Reservoir

!!!!!!!!!!!

I J

!

Wir betrachten 2 Teilsysteme A, B getrennt durch eine thermisch leitende, bewegliche, durchlässige Wand im Kontakt mit thermischem Reservoir.

V = V

+ V

= const . N = N

+ N

= const .

P

= P

µ

= µ

Gleichgewicht

T

T

= T

= T

S = S_A + S_B U = U_A + U_B

F = F

+ F

F minimal dF = 0

F = U − T S

dF = − SdT − P dV + µdN

“2.Ordnung”:

d

F > 0

Kompressibilität ^κ

^{= − 1}

V

! ∂ V

∂ P

"

T

> 0

dF = − SdT − P dV + µdN

d⁽²⁾F = −

!∂P

∂V

"

T ,N

dV ² + . . .

! ∂ P

∂ V

"

T ,N

< 0

F ist minimal

van-der-Waals-Gas

!

P + N

V

a

"

( V − N b ) = N k

T

Zustandsgleichung: wird mikroskopisch hergeleitet

Instabilität

Idee: Phasentrennung

!!!!!!!!!!!

I J

!

T T

= T

= T

P

= P

µ

= µ

F = F _A + F _B

V = V_A + V_B N = N^A + N^B

P = P ( T, µ )

Ω = F − µN = U − T S − µN = − P V

Ω = Ω ( T, V, µ ) = − V P ( T, µ )

Euler-Gleichung

Intensive Variable sind nicht unabhängig

P

(T, µ

) = P

(T, µ

)

µ ^A = µ ^B

P = const. im gemischtem Zustand

Maxwell-Konstruktion

Übung

µN = F + P V Euler-Gleichung

F ( V ) = F ( V

) −

!

V₀

P dV

dF = − SdT − P dV + µdN

Statistische Mechanik

• Klassische S.M. (etwas problematisch)

• Quantenmechanische S.M. (einfacher und

klar)

Wiederholung:

Wahrscheinlichkeitstheorie

Stochastische Variable (diskret oder kontinuierlich) Zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ρ

X

erfüllt

Positivität und Norm.

ρ

≥ 0 , ρ ( x ) ≥ 0 ^!

i

ρ

= 1 ,

"

dxρ ( x ) = 1

Mittelwert: ! X " = !

i

x

ρ

oder

"

dxxρ ( x )

n -tes Moment: ! X

" = !

i

x

ρ

oder

"

dxx

ρ ( x )

Standardabweichung: σ =

! ! X

" − ! X "

Varianz: σ

Binomial-Verteilung

-

!

!"!#

!"$

!"$#

!"%

!"%#

!"&

! % ' ( ) $!

!7-;

!!!!$&-JH&0)^W%E?%&),-4!QTE![!6!S]9!(!6!SX_!

ρ

( n ) = N !

n!(N − n)! p

q

ρ^N(n) = 1

√2πσ^N exp

!

−1 2

(n − #n$)² σ_N²

"

Gauß-Verteilung

ρ^N (n) = aⁿe^−a n!

Poisson-Verteilung

, B,C

!

!"!#

!"$

!"$#

!"%

!"%#

!"&

! % ' ( ) $!

5

!!!!!!!!!!!!!!!!M:233:,8L)%$)26/,7!<=%!&!G!"!

ρ(x₁, . . . , x_N) =

√detA

(2π)^N/2 exp



− 1 2

N

#

i,j=1

(x_i − a_i)A_ij(x_j − a_j)





Klassische Mechanik von N Teilchen

x = ( p, q ) = ( p

, . . . , p

, q

, . . . , q

)

Zustand von N Teilchen beschrieben durch 3N Koordinaten und 3N Impulse

6 N -dimensionaler Phasenraum Γ

Hamilton-Funktion ^{H ( p, q )}

Bewegungsgleichungen _{p ˙}

_{= −} ^{∂ H}

∂ q

, q ˙

= ∂ H

∂ p

˙

x = ( ˙ p , q ˙ ) - eindeutliche Funktion von x = ( p , q )

Trajektorien x ( t ) kreuzen sich nie

Erhaltungsgrößen

E = H ( p, q ) = const.

Energie

Gesamtimpuls

Gesamtdrehimpuls Möglicherweise

P

L

6 N − 1 - dimensionale Oberfl¨ ache

Gibbs-Ensemble (Gesamtheit)

Gibbs-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum

ρ ( x , t )

dx ≡ C

d

p d

q

dx und ρ - dimensionsloss

C_N = 1

(2π!)^3N Quantenmechanisch

!

dx ρ( x ) = 1

Mittelwert einer physikalischen Größe

O ¯ =

!

dx O ( x ) ρ ( x )

Zeitentwicklung

ρ ( x , t )

d

dt ρ ( x , t ) = ∂

∂ t ρ ( x , t ) + ˙ x · ∇ ρ ( x , t ) = 0

d dt

!

V₀

dx ρ(x, t) =

!

V₀

dx ∂

∂t ρ(x, t)

einerseits

anderseits _dt^d

!

V0

dx ρ(x, t) = −

!

S0

dS · x˙ ρ(x, t) = −

!

V0

dx ∇ · [ ˙xρ(x, t)]

V0 beliebig → ^∂

∂t ρ(x, t) = −∇ · [ ˙xρ(x, t)]

aus der Hamilton-

Gleichungen folgt ^{∇ · x˙ =}

3N

!

j=1

" ∂

∂q_j q˙_j + ∂

∂p_j p˙_j

#

=

3N

!

j=1

" ∂

∂q_j

∂H

∂p_j − ∂

∂p_j

∂H

∂q_j

#

= 0

d

dt ρ( x , t ) = 0

Liouville-Gleichung

d

dt ρ ( x , t ) = ∂

∂ t ρ ( x , t ) + ˙ x · ∇ ρ ( x , t ) = 0

Liouville-Operator

x˙ · ∇A =

3N

!

j=1

"

˙

q_j ∂A

∂q_j + ˙p_j ∂A

∂p_j

#

=

3N

!

j=1

" ∂H

∂p_j

∂A

∂q_j − ∂H

∂q_j

∂A

∂p_j

#

= {H, A}

i ∂

∂ t ρ = − i x ˙ · ∇ ρ = − i { H, ρ } = ˆ L ρ

LA ˆ ≡ − i { H, A }

Stationäre Lösung der Liouville-Gleichung

i ∂

∂ t ρ ( H ( x )) = 0 Übung

i ∂

∂ t ρ = − i { H, ρ } = ˆ Lρ

Definitionen

6N dimensionales Volumen im Phasenraum Γ mit H(x) < E wird mit Ω(E) bezeichnet

Oberfl¨ache von Ω(E) wird mit Σ(E) bezeichnet

Ω ( E ) =

!

dxθ ( E − H ( x ))

Σ ( E ) = d Ω ( E )

dE =

!

dx δ ( E − H ( x ))

Σ(E)dE - ”Zahl” der Zust¨ande mit Energie E < H(x) < E + dE

quantenmechanisch besser definiert

Fundamentales Postulat der

klassischen statistischen Mechanik (mikrokanonisches Ensemble)

ρ ( x )

=

f¨ ur E < H ( x ) < E + dE ρ ( x )

= 0 sonst

O ¯

= 1

Σ (E )dE

!

E<H<E+dE

dx O ( x )

Mittelwert einer physikalischen Größe

Ergoden-Hypothese

O ¯

= 1

Σ (E )dE

!

E<H<E+dE

dx O( x )

O ¯

= lim

T →∞

1 T

!

0

dt O ( x ( t ))

O ¯ _E = ¯ O _T

Sommer-Semester 2009

Theoretische Physik F Statistische Physik

Dozent: Alexander Shnirman

Institut für Theorie der Kondensierten Materie

Mi 11:30-13:00, Lehmann Raum 022, Geb 30.22 Fr 09:45-11:15, Lehmann Raum 022, Geb 30.22

http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/theoF.SS09/

Quantenstatistik

(Hilbert-Raum-Statisik)

1)Elemente des Hilbert-Raums | Ψ ! | Ψ ( t )! = e

i

! Ht

| Ψ (0)!

Reine Zustände

2)Stationäre Zustände H | Ψ

! = E

| Ψ

!

| Ψ

( t )! = e

| Ψ

!

3)Basis | Ψ ! = !

n

c

| Ψ

!

| Ψ ! = !

j

c

| j ! z.B.

! j | j

" = δ

orthonormierte Basis

!

j

| j !" j | = 1 vollständige Basis

O" = !Ψ|O|Ψ" = !

j,j^′

c^∗_jc_j′!j|O|j^′"

Reine Zustände

Schrödinger vs. Heisenberg Bild

| Ψ

( t )! = e

| Ψ

(0)!

O

= const.

| Ψ

! = | Ψ

(0)! = const.

O

( t ) = e

O

e

− i ! ∂

∂ t O

( t ) = [ H, O

( t )]

! O ( t )" = ! Ψ

( t )| O

| Ψ

( t )" = ! Ψ

| O

( t )| Ψ

"

Observable

Gemischte Zustände

Quantenmechanische Gibbs-Gesamtheit

Wahrscheinlichkeit W

, dass das System im Zustand | Ψ

! ist

nicht unbedingt orthonormal

| Ψ

!

! O " = !

α

W

! Ψ

| O | Ψ

" = Tr(ρ O )

ρ ≡ !

α

W

| Ψ

"# Ψ

| Dichtematrix = Zustandsoperator

|Ψ^α! =

!

j

c_αj|j!

ρ = !

α,j,j^′

W

c

c

| j !" j

| = !

j,j^′

| j ! ρ

" j

|

ρ

= !

α

W

c

j

c

j^′

W_α > 0 , !

α

W_α = 1

Dichtematrix

ρ ≡ !

α

W

| Ψ

"# Ψ

| ^ρ = !

α,j,j^′

W

c

c

| j !" j

| = !

j,j^′

| j ! ρ

" j

|

ρ

= !

α

W

c

j

c

j^′

Eigenschaften: Hermitisch

Tr ρ = 1

Positiv definit

! Ψ |ρ| Ψ " ≥ 0 ∀ | Ψ "

ρ

= ρ

, ρ = ρ

Dichtematrix

ρ = ρ ^†

nicht unbedingt orthonormal

| Ψ

! ρ ≡ !

α

W

| Ψ

"# Ψ

|

Es existiert eine orthonormale Basis in der die Dichtematrix diagonal ist

ρ ≡ !

µ

W

| µ "# µ |

Schwankungen

!O

" − !O "

= Tr( ρO

) − (Tr ρO )

Enthält sowohl quantenmechanische als auch statistische Schwankungen

ρ

= ρ reiner Zustand

ρ

! = ρ gemischter Zustand

Zeitentwicklung

i! ∂

∂ t | Ψ ! = H | Ψ !

∂t [|Ψ!"Ψ|] = H|Ψ!"Ψ| −| Ψ!"Ψ|H

von Neumann- Gleichung = quantenmechanische Liouville-Gleichung

i ! ∂

∂ t ρ = [ H, ρ ] _i ^∂

∂ t ρ = − i { H, ρ }

klassisch

−i{H, . . . } → 1

! [H, . . . ]

−i! ∂

∂tO_H(t) = [H, O_H(t)]

vergleich mit

Fundamentales Postulat

Mikrokanonisches Ensemble

i ! ∂

∂ t ρ = [ H, ρ ] stationäre Lösung ^ρ

= ρ ( H )

H | Ψ

! = E

| Ψ

!

W

= ρ

= const. f¨ ur E < E

< E + dE W

= ρ

= 0 sonst

ρ ≡ !

n

W

| Ψ

"# Ψ

|

Sommer-Semester 2009

Theoretische Physik F Statistische Physik

Dozent: Alexander Shnirman

Institut für Theorie der Kondensierten Materie

Mi 11:30-13:00, Lehmann Raum 022, Geb 30.22 Fr 09:45-11:15, Lehmann Raum 022, Geb 30.22

http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/theoF.SS09/

Wiederholung:

Fundamentales Postulat der

klassischen statistischen Mechanik (mikrokanonisches Ensemble)

ρ ( x )

=

f¨ ur E < H ( x ) < E + dE ρ ( x )

= 0 sonst

O ¯

= 1

Σ ( E ) dE

!

E<H<E+dE

dx O ( x )

Mittelwert einer physikalischen Größe

Stationäre Lösung der Liouville-Gleichung

i ∂

∂ t ρ ( H ( x )) = 0

Mikrokanonisches Ensemble

i ∂

∂ t ρ = − i { H, ρ }

Wiederholung:

Fundamentales Postulat in der Quantenstatistik Mikrokanonisches Ensemble

i ! ∂

∂ t ρ = [ H, ρ ] stationäre Lösung ^ρ

= ρ ( H )

H | Ψ

! = E

| Ψ

!

W

= ρ

= const. f¨ ur E < E

< E + dE W

= ρ

= 0 sonst

ρ ≡ !

n

W

| Ψ

"# Ψ

|