Aufgabe A5.2 Die Entropie

Einf¨ uhrung in die Quantenmechanik und Statistik

Mehmet G¨und¨uz (mehmet.guenduez@rub.de) Mi. 8:15-9:45 Uhr in NB6/73 Mario H¨orbe (mario@tp4.rub.de) Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/73 Frederik Tenholt (ftenholt@tp4.rub.de) Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/173

Anwesenheits¨ ubung A5

Aufgabe A5.1 Der innere Drehimpuls (Spin) ...und dessen Eigenarten

Der Spin eines Teilchens wird h¨aufig als ein Anteil zu dessen klassischen DrehimpulsL~ missverstanden.

Spin stellt sich allerdings als eine unver¨anderliche, teilchen-intrinsische Gr¨oße heraus, wie etwa auch die Masse oder Ladung eines Teilchens.

(a) Widerlege die klassische Drehimpulsansicht des Spins, indem Du Dir das Elektron als eine endlich ausgedehnte Kugel mit Radius r_e vorstellst. Klassische Berechnungen dieses Elektronenradius ergeben

r_e= 1 4πε0

· e²

mec² . (1)

Mit welcher Tangentialgeschwindigkeit bewegt sich demnach ein Punkt auf dem Elektronen¨aquator?

Diskutiere auch die Schw¨achen dieses Elektronenmodells.

(b) Gibt es algebraische Analogien zwischen Drehimpuls und Spin?

(c) Der Drehimpulsoperator kommutiert mit dem Ort gem¨aß h Lˆ_i,xˆ_ji

= i~_ijkxˆ_k. Argumentiere, warum im Gegensatz dazu gilt, dass [ˆs_i,xˆ_j] = 0 und somit keine Analogie zum Drehimpuls besteht.

(d) Suche eine Tabelle des Standardmodells aus dem Internet und mache Dich mit den dort aufge- listeten Teilchen vertraut. Welche Rolle spielt der Spin dieser Teilchen in Bezug auf deren Ein- sortierung in diverse Kategorien?

(e) Konstruiere aus den im Standardmodell gegebenen Quarks sowohl ein einfach positiv geladenes, als auch ein neutrales, m¨oglichst niederenergetisches Spin-¹₂-Teilchen. Welchen Namen w¨urdest Du diesen Teilchen geben?

Aufgabe A5.2 Die Entropie

Die Entropie wird h¨aufig als ein Maß f¨ur die Menge an unbekannter Information in einem System gehandhabt und ist durch

S =−k_BX

i

p_iln (p_i) (2)

definiert. Hierbei steht k_B f¨ur die Boltzmann-Konstante und p_i f¨ur die Wahrscheinlichkeit eines Mikrosystems, einen realisierbaren Zustand |Ψi einzunehmen.

(a) Gegeben seien drei nicht wechselwirkende (n¨aherungsweise ruhende) Elektronen in einem geschlosse- nen System mit homogenem MagnetfeldB~ mit je einem magnetischen Momentµ. Welche Gesamt- Spinkonfigurationen kann das System realisieren? Welcher Entropie entspricht dies?

(b) Es sein nun bekannt, dass das System eine Gesamtenergie von E = µB besitzt. Welcher En- tropie entspricht dies? Wie ¨andert sich das Ergebnis, wenn man w¨usste, dass dem System eine Gesamtenergie von E=−3µB innewohnte?

(c) Diskutiere m¨oglichst viele Implikationen des Entropie-Begriffs.

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