F G mathphys-online

(1)

mathphys-online

G RENZWERTE

BEI GEBROCHENRATIONALEN F UNKTIONEN

16141210 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

2

1.5

1

0.5 0.5

1 1.5 2 2.5 3

Graph von f mit Epsilonstreifen und Asymptoten

x-Achse

y-Achse

(2)

Inhaltsverzeichnis

Kapitel Inhalt Seite

1 Einführung 1

2 Der Grenzwertbegriff 3

2.1 Anschauliche Formulierung 3

2.2 Mathematische Formulierung 3

2.2.1 Grenzwert für x gegen Unendlich 3

2.2.2 Rechenregeln für Grenzwerte für x gegen Unendlich 5 2.2.3 Grenzwert einer Funktion bei Annäherung an die Def.lücke 7

3 Aufgaben 9

Graphiken erstellt mit Mathcad 15

(3)

Grenzwerte bei gebrochenrationale Funktionen 1 Einführung

Bildet man den Quotienten der Terme zweier ganzrationaler Funktionen, so erhält man den Term einer gebrochenrationalen Funktion.

Definition

Eine Funktion der Art

f : D IR u( x )

x v( x ) 0

v( x )



 

 heißt gebrochenrationale Funktion,

wobei u(x) ein Polynom vom Grad m und v(x) ein Polynom vom Grad n ist.

Bezeichnung

m n (Zählergrad größer oder gleich Nennergrad): unecht gebrochenrationale Funktion m n (Zählergrad kleiner Nennergrad): echt gebrochenrationale Funktion

Beispiel 1

2

1 2 1

x 2 x x (x 2)

f (x) f (x)

(x 2) (x 2)

x 4

  

  

  

 ist ein

unecht gebrochenrationaler Funktionsterm.

Definitionsmenge: ^D^^{IR \}



^^{2; 2}



Stetige Fortsetzung: _{1_} x f (x)

x 2

  Vertikale Asymptote: A : x₁ 2

Stetig behebbare Definitionslücke: L( 2 / 0,5) Horizontale Asymptote: A : y (x)₂ _A 1

Nullstelle: x₀ 0

8 6 4 2 0 2 4 6 8

4

3

2

1 1 2 3 4 Graph von f1

x-Achse

y-Achse

Beispiel 2

2

2 2

x x 2 (x 1) (x 2)

f (x) f (x)

4 x 8 4 (x 2)

    

  

   ist

ein unecht gebrochenrationaler Funktionsterm.

Definitionsmenge: ^D^^{IR \ 2}

 

Vertikale Asymptote: A : x₁ 2

Schiefe Asymptote: 2 A

 

A : y (x) 1 x 3

 4  Nullstellen: x₁ 2; x₂ 1

8 6 4 2 0 2 4 6 8

4

3

2

1 1 2 3 4 Graph von f2

y-Achse

(4)

Beispiel 3

3 2

10 (x 2) f (x)

(x 3) (x 2) (x 4)

 

      ist ein echt gebrochenrationaler Funktionsterm.



^^{3; 2; 4}



Stetige Fortsetzung: _{3 _} 10 ₂ f (x)

(x 3) (x 4)

    Vertikale Asymptote mit VZW: A : x₁  3 Vertikale Asymptote ohne VZW: A : x₂ 4 Stetig behebbare Definitionslücke: L(2 / 1) Horizontale Asymptote: A : y (x)₃ _A 0

8 6 4 2 0 2 4 6 8

4

3

2

1 1 2 3 4 Graph von f3

x-Achse

y-Achse

Beispiel 4

2

4 2

(x 4) x (x 4) f (x)

(x 2) x (x 2)

   

     ist ein

unecht gebrochenrationaler Funktionsterm.



^^{2; 0; 2}



Stetige Fortsetzung: ₄ (x 4) x (x 4)₂ f (x)

(x 2) (x 2)

   

   

Vertikale Asymptote mit VZW: A : x₁  2 Vertikale Asymptote ohne VZW: A : x₂ 2 Stetig behebbare Definitionslücke: L(0 / 0) Horizontale Asymptote: A : y (x)₃ _A 1

8 6 4 2 0 2 4 6 8

4

3

2

1 1 2 3 4 Graph von f4

x-Achse

y-Achse

Feststellung:

Da bei diesen Funktionsgleichungen ganzrationale Terme im Nenner vorkommen, treten im Vergleich zu den bekannten ganzrationalen Funktionen völlig neue Eigenschaften auf.

Wir untersuchen:

 Definitionsmenge und Verhalten an den Definitionslücken

 Asymptoten

 Nullstellen

Vorgehensweise:

 Faktorisieren des Zähler– und des Nennerpolynoms.

 Festlegung des Definitionsbereichs und Kürzen, wenn möglich.

 Verhalten der Funktionswerte für x¥ bzw. xx₀⁺ und xx₀^-.

 Bestimmen der Nullstellen.

(5)

2 Der Grenzwertbegriff

2.1 Anschauliche Formulierung Horizontale Asymptote

Der Graph der Funktion f₁ nähert sich für wachsende IxI–Werte immer mehr der Geraden y₀ = g. Man sagt, die Funktion f₁ konvergiert gegen den Grenzwert g.

Schiefe Asymptote

Der Graph der Funktion f2 geht für wachsende x-Werte gegen Unendlich. Man sagt, die Funktion f2 ist bestimmt divergiert.

Stetig behebbare Definitionslücke

Die Funktion f1 hat bei linksseitiger und rechtsseitiger Annäherung an die Definitionslücke x0

den gleichen Funktionswert a. Man sagt, die Definitionslücke ist stetig behebbar.

Polstelle

Die Beträge der Funktionswerte der Funktionen f₁ und f₂ wachsen bei Annäherung an die Definitionslücke x₁=2 jeweils unbegrenzt. Man sagt, sie haben den (uneigentlichen) Grenz- wert Unendlich.

2.2 Mathematische Formulierung

2.2.1 Der Grenzwert einer Funktion f für x   Definition

a) Eine Funktion mit rechtsseitig unbeschränkter Definitionsmenge heißt konvergent gegen den Grenzwert g für x ,

wenn es zu jedem   0 genau eine reelle Zahl x_rechts gibt, sodass für alle xx_rechts gilt:

f(x)g   Schreibweise:

Für x gilt : f(x) g xlim f(x) g

     

b) Eine Funktion mit linksseitig unbeschränkter Definitionsmenge heißt konvergent gegen den Grenzwert g für x  ,

wenn es zu jedem   0 genau eine reelle Zahl x_links gibt, sodass für alle xx_links gilt:

f(x)g   Schreibweise:

x

Für x gilt : f(x) g lim f(x) g

       

(6)

Beispiel

Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm x f(x) x 2

 mit xIR \ {2}.

Zeigen Sie, dass die Funktion f sowohl für x  als auch für x   gegen den Grenz- wert g1 konvergiert. Bestimmen Sie allgemein die obere Grenze x_rechts und die untere Grenze x_links. Berechnen Sie die Grenzen für  ₁ 0, 4 und für  ₂ 0,2.

Allgemeine Berechnung eines -Streifens:

Vermutung: Grenzwert g1  zu zeigen : f(x)g  

x x x 2 2

x 2 1 x 2 x 2

          

  

rechts

1.Fall: x 2 2 2 (x 2) 2 2 x : 0

x 2

2 2 2 2

x Wähle also : x

               



   

  

 

links

2.Fall: x 2 2 2 (x 2) 2 2 x : 0

x 2

2 2 2 2

x Wähle also : x :

                  



    

  

 

Konkrete Werte:

1 0, 4 x (0, 4)r 7; x (0, 4)l 3

     

2 0,2 x (0,2)r 12; x (0,2)l 8

     

Alle Funktionswerte liegen, abhängig von der Breite , ab einer bestimmten Grenze im Inne- ren des Epsilonstreifens (Horizontalstreifens).

(7)

2.2.2 Rechenregeln für Grenzwerte x   Satz

Gegeben sind die Funktionen u und v mit den Grenzwerten

xlim u(x) U

  und

xlim v(x) V

  .

Dann gilt:

(1)

xlim [ u(x) v(x) ] xlim u(x) xlim v(x) U V

       

(2)

xlim [ u(x) v(x) ] xlim u(x) xlim v(x) U V

       

(3) ^x

x x

x

lim u(x)

u(x) U

lim falls lim v(x) 0

v(x) lim v(x) V



 



  

(4) xlim [ k u(x) ] k lim u(x)x k U

       wobei k  IR konstant ist.

Beispiel 1

2

1 2

x 2 x f (x)

x 4

 

 mit ^D^^{IR \}



^^{2; 2}



. Es gilt: Zählergrad = Nennergrad.

 Ausklammern der höchsten Potenz von x oder Polynomdivision mit Rest.

Grenzwert:





0 2

2

1 2

IxI IxI IxI 2 IxI

2 2

0

2 2

x 1 1

x 2 x x x

lim f (x) lim lim lim 1

4 4

x 4 x 1 1

x x



   



 

   

  

   

    

(Regeln 1, 3 und 4)

Die Funktionswerte nehmen für x   monoton ab und sind nach unten beschränkt.

Die Funktionswerte nehmen für x   monoton zu und sind nach oben beschränkt.

Man sagt: Die Funktionswerte konvergieren gegen den Grenzwert g = 1.

Interpretation: Horizontale Asymptote y_A(x) = 1

Beispiel 2

2 2

x x 2

f (x)

4 x 8

  

 mit ^D^^{IR \ 2}

 

. Es gilt: Zählergrad = Nennergrad + 1.

 Polynomdivision mit Rest:

  ^ ^

 

2

1 3

x x 2 : 4 x 8 x

4 4

x 2 x 3 x 2 3 x 6

    

 



 

(8)

Grenzwert:



2

x 2 x x

0

für x

x x 2 1 3 1

lim f (x) lim lim x

für x

4 x 8 4 4 x 2

     



 

  



   

          

Der Graph der Funktion f nähert sich für x   dem Graphen von _A 1 3 y (x) x

4 4

  an.

Da die Beträge der Funktionswerte für x   bzw. x   unbeschränkt wachsen, sagt man: Die Funktionswerte divergieren bestimmt.

Interpretation: Schiefe Asymptote _A 1 3 y (x) x

4 4

 

Beispiel 3

3 2

x 1 f (x)

x 4

 

 mit ^D^^{IR \}



^^{2; 2}



. Es gilt: Zählergrad < Nennergrad.

 Ausklammern der höchsten Potenz von x.

Grenzwert:

 



0 0

2

2 2

3 2

IxI IxI IxI IxI

2

2 2

0

1 1 1 1

x 1 x x x x x

lim f (x) lim lim lim 0

4 4

x 4 x 1 1

x x

 

   



 

   

  

   

    

 

(Regeln 1, 3 und 4)

Die Funktionswerte nehmen für x   monoton ab und sind nach unten beschränkt.

Die Funktionswerte nehmen für x   monoton zu und sind nach oben beschränkt.

Man sagt: Die Funktionswerte konvergieren gegen den Grenzwert g = 0.

Interpretation: Horizontale Asymptote y (x)_A 0

Beispiel 4

3 2

4

x 5 x 3 x 9 f (x)

4 x 8

  

  mit ^D^^{IR \ 2}

 

. Es gilt: Zählergrad > Nennergrad +1.

 Polynomdivision mit Rest.

  ^ ^

 

3 2 2

3 2

2 2

1 3 3

x 5 x 3 x 9 : 4 x 8 x x

4 4 4

x 2 x 3 x 3 x 3 x 6 x

3 x 9 3 x 6 3

      

 

 

  

 

  

(9)

Grenzwert:

3 2

2

IxI 4 IxI IxI

0

x 5 x 3 x 9 1 3 3 3

lim f (x) lim lim x x

4 x 8 4 4 4 4 x 8

  



 

 

  

         

 

Die Funktionswerte nehmen für x   monoton zu und sind nicht beschränkt.

Die Funktionswerte nehmen für x   monoton zu und sind nicht beschränkt.

Man sagt: Die Funktionswerte sind bestimmt divergent.

Interpretation: Asymptotische Kurve: _A 1 ² 3 3

y (x) x x

4 4 4

  

2.2.3 Der Grenzwert einer Funktion f für xx₀: Definition

Eine Funktion f(x) mit x  x₀, die beiderseits der Stelle x₀ definiert ist, hat den Grenzwert g für xx₀, wenn sich zu jeder Zahl   0 ein  > 0 so bestimmen lässt, dass

f(x)a   für alle xIR und xx0   Für den praktischen Nachweis wird folgende Schreibweise verwendet:

Linksseitiger Grenzwert (LGW): Für xx₀^ gilt: ₀

h 0

f(x) g lim f(x h) g

    

Rechtsseitiger Grenzwert (RGW): Für xx₀^: ₀

h 0

f(x) g lim f(x h) g

    

(10)

Beispiel

 

   

2

5 2 5

x x 2 x 2 x

f (x) f (x)

x 2 x 2

x 4

 

   

  



Definitionsmenge: DIR \ { 2; 2} Stetige Fortsetzung: _{5 _} x

f (x)

x 2

 

Verhalten an der Stelle x₁ 2:

Linksseitiger Grenzwert:

2

h 0

x 2

4

x 2 h 2 1

lim lim

x 2 2 h 2 4 2





 



  

  

    





Rechtsseitiger Grenzwert:

2

h 0

x 2

4

x 2 h 2 1

lim lim

x 2 2 h 2 4 2





 



  

  

    





Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen, sagt man, die Funktion konvergiert gegen den Grenzwert g = 1.

Interpretation: Stetig behebbare Definitionslücke (-2 / 0,5) Verhalten an der Stelle x₂ 2:

²

h 0 h 0

x 2

x 2 h 2 h

lim lim lim

x 2 2 h 2 h





 



 

   

   

²

h 0 h 0

x 2

x 2 h 2 h

lim lim lim

x 2 2 h 2 h





 



 

   

  

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert wächst jeweils über alle Grenzen. Man sagt, die Funktion ist bestimmt divergent.

Interpretation: Unendlichkeitsstelle (Polstelle) x = 2

(11)

2.2.4 Rechenregeln für Grenzwerte xx₀ Satz

Gegeben seien die Funktionen u und v mit den Grenzwerten

xlim u(x)x0 U

  und

xlim v(x)x0 V

  .

Dann gilt:

(1)

0 0 0

xlim [ u(x)x v(x) ] xlim u(x)x xlim v(x)x U V

       

(2)

0 0 0

xlim [ u(x) v(x) ]x xlim u(x)x xlim v(x)x U V

       

(3) ⁰

0 0

0

x x

x x x x

x x

lim u(x)

u(x) U

lim falls lim v(x) 0

v(x) lim v(x) V



 



  

(4)

0 0

xlim [ k u(x) ]x k lim u(x)x x k U

       wobei k  IR konstant ist.

2.2.5 Aufgaben Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm 3 x 2 f(x) x 1

 

 mit xIR \ { 1} . a) Bestimmen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs.

b) Bestimmen Sie die allgemeinen Bedingungen für den  – Streifen und die konkreten Werte für  ₁ 0,1 bzw .  ₁ 0,01.

Lösung zu Teilaufgabe a)





0

x x x

0

2 2

x 3 3

3 x 2 x x

lim lim lim 3

1 1

x 1 x 1 1

x x



  



 

   

     

    

, also Grenzwert g = 3

 horizontale Asymptote y = 3.

Lösung zu Teilaufgabe b)

3 x 2 3 x 2 3 x 3 1

3 ( )

x 1 x 1 x 1

              

  

Fallunterscheidung für den Betragsterm:

1. Fall: 1

0 x 1 0 x 1

x 1

       



1 1 1

( )  1 x x    x   

             

  

(12)

2. Fall: 1

0 x 1 0 x 1

x 1

       



rechts

1 1 1

( ) 1 x x x

x 1

   

            

  

Konkrete Werte:

1 links rechts

1 0,1 1 0,1

0,1; x (0,1) 11; x (0,1) 9

0,1 0,1

  

      

2 links rechts

1 0,01 1 0,01

0,01; x (0,01) 101; x (0,01) 99

0,01 0,01

  

      

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm

2

3 2

f(x) x

x 2 x 4 x 8

    mit xD. a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge und faktorisieren Sie den Funktionsterm.

b) Bestimmen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs.

c) Geben Sie Lage und Art der Nullstelle an und zeichnen Sie den Graphen von f mit allen Asymptoten.

Nennerfunktion: n(x)x³ 2 x² 4 x8; n(x)0  x³ 2 x²4 x 8 0 n(2)0  Polynomdivision:

x12

  ^ ^

 

3 2 2

3 2

2 2

x 2 x 4 x 8 : x 2 x 4 x 4 x 2 x

4 x 4 x 4 x 8 x

4 x 8 4 x 8

      

 



 



 

2 2

x 4 x 4 0  (x2) 0  x2  2

 Definitionsmenge: DIR \ { 2; 2} Faktorisierter Funktionsterm:

2 2

f(x) x

(x 2) (x 2)

   

Lösung zu Teilaufgabe b)

  

2 2

3 2

x x 3 x

2 3

0 0 0

x x 1

lim lim lim 0

2 4 8

x 2 x 4 x 8

x 1 x x x x 1 2 4 8

x x x

  

  

  

            

 

 

(13)

 Horizontale Asymptote y (x)_A 0 Verhalten an der Stelle x₁ 2:

⁴

2 x 2 2

0 4

lim x

(x 2) (x 2)







 

  

  

 

⁴

2 x 2 2

0 4

lim x

(x 2) (x 2)









 

  

  

 

 Vertikale Asymptote ohne Vorzeichenwechsel: x 2 Verhalten an der Stelle x₂ 2:

⁴

2 x 2 2

16 0

lim x

(x 2) (x 2)





 

  

  

 

⁴

2 x 2 2

16 0

lim x

(x 2) (x 2)





 

  

  

 

 Vertikale Asymptote mit Vorzeichenwechsel: x2 Lösung zu Teilaufgabe c)

Nullstelle: x₀ 0

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

3

2

1 1 2 3 Graph von f

x-Achse

y-Achse

(14)

Aufgabe 3

2 2

x 8

f(x) x 4

 

  mit xIR. a) Bestimmen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs.

b) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Symmetrie.

c) Bestimmen Sie die Nullstellen.

d) Der Graph von f hat an der Stelle x₀ 0 ein absolutes Maximum. Bestimmen Sie den Funktionswert und zeichnen Sie den Graphen.

e) Begründen Sie nur mithilfe bisheriger Ergebnisse, dass der Graph zwei Wendepunkte besitzen muss.





0

2 2

x 2 x x

2

2 0

1 8

8 x

x 1

x 8 x

lim lim lim 1

4

x 4

x 1 x 1 4

x



  



 

 

  

 

     

         

      

 

 

 Horizontale Asymptote y (x)_A 1. Lösung zu Teilaufgabe b)

2 2

( x) 8 x 8

f( x) f(x)

( x) 4 x 4

    

   

    Symmetrie zur y-Achse.

Lösung zu Teilaufgabe c)

Nullstellen: x²  8 0  x² 8  x₁ 2 2 ; x₂ 2 2 ; Lösung zu Teilaufgaben d) und e)

ymax f(0)2

G_f ist an x₀ 0 rechts- gekrümmt (Hochpunkt).

G_f ist streng monoton steigend für ^x^{  }



^{; 0}



und streng monoton fallend für ^x^



^0;^{ }



^.

Gf ist wegen der hori- zontalen Asymptote nach unten beschränkt.

10 5 0 5 10

2

1 1 2 3 Graph von f

x-Achse

y-Achse

Es muss also für x0 und für x0 jeweils einen Wendepunkt geben.

(15)

Aufgabe 4

3 2

2

x x 8 x

f(x) 2 x 6 x

 

  mit xD.

a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge und vereinfachen Sie den Funktionsterm.

b) Bestimmen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs und geben Sie die Art der Definitionslücken und die Asymptoten an.

c) Bestimmen Sie die Nullstellen.

d) Gegeben ist die Ableitungsfunktion mit

2

x 6 x 5 f '(x)

2 (x 3)

 

   . Bestimmen Sie Lage und Art der Extrempunkte mithilfe einer vollständigen Monotonietabelle.

e) Zeichnen Sie den Graphen von f mit allen Asymptoten und bisherigen Ergebnissen.

Nennernullstelle: 2 x² 6 x0  2 x (x 3)0  x₁0; x₂ 3;

Definitionsmenge: DIR \ {0; 3}

Vereinfachter Funktionsterm (stetige Fortsetzung):

 

   

2 2

x x x 8 x x 8

f _(x)

2 x x 3 2 x 3

    

 

   

Lösung zu Teilaufgabe b) Verhalten an der Stelle x₁0: Linksseitiger Grenzwert:

 

2

x 0

x x 8 8 4

lim^ ^ 2 x 3 6 3

    

  

 

2

x 0

x x 8 8 4

lim^ ^ 2 x 3 6 3

   

  

 stetig behebbare Definitionslücke 4 L 0 /

3

 

 

 

Verhalten an der Stelle x₂ 3:



4 2 x 3

0

x x 8

lim

2 x 3





    

 

  





4 2 x 3

0

x x 8

lim

2 x 3





    

 

  



 Vertikale Asymptote x3 mit Vorzeichenwechsel.

Zählergrad = Nennergrad +1  schiefe Asymptote

(16)

Polynomdivision mit Rest:

   

 

2

x x 8 : 2 x 6 1x 2 2 x 3 x

4 x 8 4 x 12

4

    

 



 

 Schiefe Asymptote _A 1

y (x) x 2

 2  Verhalten im Unendlichen:



x x

0

für x

1 2

lim f(x) lim x 2

für x

2 x 3

 



 

  

  

        

Lösung zu Teilaufgabe c)

Nullstellen: ² _{1/ 2} 1 1 4 1 ( 8) 1 33

x x 8 0 x

2 2

       

     

₁ 1 33 ₂ 1 33

x 3, 4; x 2, 4;

2 2

   

    

Lösung zu Teilaufgabe d)

2

x 6 x 5 f '(x)

2 (x 3)

 

  

Hor. Tangenten: f '(x)0  x²6 x 5 0  (x 1) (x  5)0  x_h11; x_h2 5 Monotonietabelle:

Extrempunkte:

f(1) 3 1,5

 2 ; Rel. Hochpunkt: H(1/ 1,5) f(5) 11 5,5

 2  ; Rel. Tiefpunkt: T(5 / 5,5)

(17)

Lösung zu Teilaufgabe e)

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

8

6

4

2 2 4 6 8 10 12

Graph von f

stetig behebbare Definitionslücke Nullstellen

Schiefe Asymptote Vertikale Asymptote rel. Hochpunkt rel. Tiefpunklt

Graph von f mit Asymptoten

x-Achse

y-Achse