Bestimmen von Gewinnmaximum, Gewinnschwelle und -grenze
Bestimme die Gewinnschwelle, -grenze und das Gewinnmaximum.
1. G(x) = -0,25x 3 + 12,75 x – 12,5
2. G(x) = - 0,6 x 3 - 20 x 2 + 5500 x - 25000 3. G(x) = - 0,01 x 3 + x 2 + 10 x - 200
4. G(x) = -0,5 x 3 - 5 x 2 + 80 x - 50 5. G(x) = - x 3 - 63 x 2 + 705 x - 1150 Beispiel:
1. G(x) = - 0,5 x 3 - 10 x 2 + 4500 x - 40000 Gewinnschwelle: G(x) = 0
- 0,5 x 3 - 10 x 2 + 4500 x – 40000 = 0
TR: 2nd Polysolve: x1= 10 (Gewinnschwelle); x2 = 80 (Gewinngrenze) Gewinnmaximum
1. Ableiten
G‘(x) = -1,5 x 2 - 20 x + 4500 G‘‘(x) = -3 x – 20
2. G‘(x) = 0 (Bedingung für eine Extremstelle und 1. Bedingung für einen Hochpunkt) -1,5 x 2 - 20 x + 4500 = 0 l : -1,5
x 2 + 13,33 x - 3000 = 0 Pq-Formel:
x1 = 48,51 und x2 = -61,84 (außerhalb des Definitionsbereiches) 3. G‘‘(x) <0 (2. Bedingung für einen Hochpunkt)
G‘‘(48,51) = ca. - 145 <0 => Hochpunkt
4. G(xHP) y- Koordinate des Hochpunktes (= maximaler Gewinn) G(48,51) = -0,5 * 48,533 – 10*48,532 (…) =97685,45
è Bei einer Menge von ca. 50 ME wird der maximale Gewinn erwirtschaftet. Er beträgt 97.685,45 GE.
