Ein derartiger Typ ist etwa eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Diese hat die Form

Tutorium 27.03.2020

Heutiges Thema sind gewisse Typen von gew¨ ohnlichen Differentialglei- chungen. Generell ist zu sagen, dass es bei Differentialgleichungen von großer Bedeutung ist, den jeweiligen Typ zu erkennen, weil es dann oft entsprechende L¨ osungsmethoden gibt.

Ein derartiger Typ ist etwa eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Diese hat die Form

y

= f (x)g(y)

Wir erhalten konstante L¨ osungen y = y

falls g(y

) = 0 . Ansonsten betrachten wir die Umformung

dy

dx

= f (x)g(y) ⇒

= f (x)dx ⇒ R

g(y)

= R

f (x)dx

woraus wir eine implizite Darstellung der L¨ osungskurven erhalten.

Beispiel. y

= xy

Die konstante Funktion y = 0 ist L¨ osung. F¨ ur y 6= 0 erhalten wir R

y

= R

xdx ⇒ ln |y| =

+ C ⇒ y = ±e

e

⇒ y = Ke

2 2

Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung hat die Form y

+ f (x)y = g(x) (inhomogene Differentialgleichung)

Die zugeh¨ orige homogene Differentialgleichung y

+ f (x)y = 0 hat die allgemeine L¨ osung

y

= Ke

, K ∈ R

Die allgemeine L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung setzt sich

zusammen aus der allgemeinen L¨ osung der homogenen Gleichung und einer

speziellen (oder partikul¨ aren) L¨ osung der inhomogenen Gleichung. Diese

kann mittels Variation der Konstanten oder per Ansatz gefunden werden.

1. Beispiel 18c) y

−

y = (x + 2)

Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit f (x) = −

und g(x) = (x + 2)

.

y

= Ke

= Ke

= Ke

= K (x + 2)

Bei der Variation der Konstanten verwenden wir den Ansatz y

= K(x)(x + 2)

und setzen diesen in die inhomogene Gleichung ein.

K

(x + 2)

+ 4K(x + 2)

−

K(x + 2)

= (x + 2)

Es verbleibt K

(x + 2)

= (x + 2)

bzw. K

= x + 2 ⇒ K =

+ 2x

Damit ist y

= (

+ 2x)(x + 2)

und die allgemeine L¨ osung der inhomogenen Gleichung lautet

y = K (x + 2)

+ (

+ 2x)(x + 2)

, K ∈ R

2. Bemerkung.

Bei linearen Differentialgleichungen h¨ oherer Ordnung mit konstan- ten Koeffizienten wird wiederum zuerst die allgemeine L¨ osung der zugeh¨ origen homogenen Differentialgleichung bestimmt (mittels des Exponentialansatzes y = e

).

Danach bestimmt man eine spezielle L¨ osung der inhomogenen Glei- chung mittels Erraten, Ansatz oder Variation der Konstanten.

Details siehe Vorlesung.

3. Beispiel 19b)

2y

+ 2y

+ 3y = 0 bzw. y

+ y

+

y = 0

Dies ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Der Exponentialansatz y = e

liefert die charakteristische Glei- chung λ

+ λ +

= 0 .

Die Nullstellen sind λ

= −

± i

√5 2

.

Gem¨ ass der Diskussion in der Vorlesung bilden dann die Funktionen e

cos

√5

2

x und e

sin

√5

2

x ein sogenanntes Fundamentalsystem.

Die allgemeine L¨ osung ist daher y = C

e

cos

√5

2

x + C

e

sin

√5

2

x , C

, C

∈ R

4. Beispiel 19h)

y

− 3y

+ 2y = 14 sin 2x − 18 cos 2x

Wir bestimmen zuerst die allgemeine L¨ osung der homogenen Glei- chung. Die charakteristische Gleichung ist

λ

− 3λ + 2 = 0 ⇒ λ

=

±

⇒ λ

= 2 , λ

= 1

Die Funktionen y

= e

und y

= e

bilden ein Fundamentalsystem, folglich ist

y

= C

e

+ C

e

die allgemeine L¨ osung der homogenen Gleichung.

Um eine spezielle L¨ osung der inhomogenen Gleichung zu bestimmen, treffen wir den Ansatz

y

= A sin 2x + B cos 2x

und setzen diesen in die inhomogene Gleichung ein.

y

= 2A cos 2x − 2B sin 2x , y

= −4A sin 2x − 4B cos 2x

−4A sin 2x−4B cos 2x−3(2A cos 2x−2B sin 2x)+2(A sin 2x+B cos 2x) = 14 sin 2x − 18 cos 2x

(−2A + 6B) sin 2x + (−6A − 2B) cos 2x = 14 sin 2x − 18 cos 2x Koeffizientenvergleich liefert −2A + 6B = 14 , −6A − 2B = −18 Damit ist A = 2 , B = 3 und y

= 2 sin 2x + 3 cos 2x

Die allgemeine L¨ osung ist y = C

e

+ C

e

+ 2 sin 2x + 3 cos 2x .

5. Bemerkung.)

F¨ ur die Differentialgleichung y

− 2y

+ y = 0 erhalten wir die charak- teristische Gleichung λ

− 2λ + 1 = 0 und folglich λ

= 1 .

Wenn eine Nullstelle mehrfach auftritt, sprechen wir von innerer Resonanz . In obigem Fall erhalten wir f¨ ur die doppelte Nullstelle +1 die zugeh¨ origen Funktionen e

, xe

als Fundamentalsystem.

Die allgemeine L¨ osung ist also y = C

e

+ C

xe

.

Betrachten wir nun die Gleichung y

− 3y

+ 2y = e

+ sin x . Von vorher wissen wir, dass die allgemeine L¨ osung der homogenen Gle- ichung durch y

= C

e

+ C

e

gegeben ist.

Der Summand e

der rechten Seite ist allerdings eine L¨ osung der homogenen Gleichung. Dieses Ph¨ anomen heißt ¨ außere Resonanz.

In diesem Fall muss der ¨ ubliche Ansatz f¨ ur den Summanden e

, der Ae

w¨ are, modifiziert werden zu Axe

!

F¨ ur den zweiten Summanden sin x liegt keine ¨ außere Resonanz vor, deshalb ist der korrekte Ansatz zur Bestimmung einer speziellen L¨ osung

y

= Axe

+ B cos x + C sin x .

In diesem Fall muss der ¨ ubliche Ansatz mit x

multipliziert werden, also

y

= Ax

e

+ B cos x + C sin x .

6. Beispiel 19n)

y

+ y =

. Die rechte Seite ist g(x) =

Die charakteristische Gleichung ist λ

+ 1 = 0 ⇒ λ = ±i .

Die Funktionen y

(x) = cos x und y

(x) = sin x bilden ein Funda- mentalsystem, folglich y

= C

cos x + C

sin x .

F¨ ur die rechte Seite steht kein ”¨ ublicher” Ansatz zur Verf¨ ugung, de- shalb bestimmen wir eine spezielle L¨ osung mittels Variation der Kon- stanten.

Dabei ist y

= C

(x)y

(x) + C

(x)y

(x) , wobei C

(x) = − R

∆

dx , C

(x) = + R

∆

dx , ∆ =

y

y

y

y

∆ =

y

y

y

y

=

cos x sin x

− sin x cos x

= 1 C

(x) = − R

cosx

dx = − R

tan xdx = ln | cos x|

C

(x) = R

cosx

dx = x

Damit ist y

= ln | cos x| · cos x + x sin x und

y = C

cos x + C

sin x + ln | cos x| · cos x + x sin x , C

, C

∈ R