Aufgabe 4.1: Magnetfeld einer rechteckigen Leiterschleife (10 Punkte)

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Klassische Elektrodynamik - Theoretische Physik II (WS 2015/2016) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus

Übung: Dr. B. Eichmann

Hausaufgaben 4 Ausgabe: [15.12.2015]; Abgabe: [12.01.2016]

Aufgabe 4.1: Magnetfeld einer rechteckigen Leiterschleife (10 Punkte)

Das im Jahre 1820 entdeckte Gesetz von Biot und Savart ist sehr nützlich bei der Berechnung von Magnetfeldern von stromdurchossenen Leitern. Es soll an Hand einfacher Stromkongu- rationen illustriert werden:

(a) Berechnen Sie das Magnetfeld im Zentrum eines quadratischen Leiters (der Kantenlänge 2R ), der von einem Strom I durchossen ist.

(b) Wie lautet das Magnetfeld im entsprechenden Punkt eines symmetrischen n -Ecks mit n gleichlangen Seiten (bei denen jeder Seitenmittelpunkt den Abstand R zum Ursprung hat)?

Zeigen Sie, dass sich im Grenzfall n → ∞ das Feld im Zentrum einer Kreisschleife (welches aus der Anwesenheitsübung bekannt ist als B ~ =

_Rc^2π

I ~ e

_z

) ergibt.

Aufgabe 4.2: Das magnetische Dipolmoment (10 Punkte)

Betrachten Sie eine homogen geladene Vollkugel (Radius R , Ladung Q ), deren Mittelpunkt im Ursprung liegt und die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die z− Achse rotiert.

(a) Bestimmen Sie das zugehörige magnetische Moment

(b) Berechnen Sie das magnetische Dipolfeld B ~

_dipol

(~ r) . Zeigen Sie, dass B

_dipol

rotationssym- metrisch in Bezug auf die z− Achse ist und dass die Feldstärke entlang der z− Achse genau doppelt so groÿ ist wie in der x − y− Ebene.

Aufgabe 4.3: Induktion in bewegter Leiterschleife (10 Punkte)

Gegeben sei ein konstantes homogenes Magnetfeld B ~ = B

0

~ e

z

im Bereich x ≥ 0 . Eine Leiter- schleife liegt in der x − y− Ebene und wird mit konstanter, nichtrelativistischer Geschwindigkeit

~ v = v ~ e

_x

in das Magnetfeld hinein bewegt.

(a) Berechnen Sie die induzierte elektrische Spannung im Fall einer rechteckigen Leiterschleife (der Seitenlänge l

₁

in x− Richtung und l

₂

Aufgabe 4.1: Magnetfeld einer rechteckigen Leiterschleife (10 Punkte)

Klassische Elektrodynamik - Theoretische Physik II (WS 2015/2016) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus

Übung: Dr. B. Eichmann

Hausaufgaben 4 Ausgabe: [15.12.2015]; Abgabe: [12.01.2016]

Aufgabe 4.1: Magnetfeld einer rechteckigen Leiterschleife (10 Punkte)

Das im Jahre 1820 entdeckte Gesetz von Biot und Savart ist sehr nützlich bei der Berechnung von Magnetfeldern von stromdurchossenen Leitern. Es soll an Hand einfacher Stromkongu- rationen illustriert werden:

(a) Berechnen Sie das Magnetfeld im Zentrum eines quadratischen Leiters (der Kantenlänge 2R ), der von einem Strom I durchossen ist.

(b) Wie lautet das Magnetfeld im entsprechenden Punkt eines symmetrischen n -Ecks mit n gleichlangen Seiten (bei denen jeder Seitenmittelpunkt den Abstand R zum Ursprung hat)?

Zeigen Sie, dass sich im Grenzfall n → ∞ das Feld im Zentrum einer Kreisschleife (welches aus der Anwesenheitsübung bekannt ist als B ~ =

I ~ e

) ergibt.

Aufgabe 4.2: Das magnetische Dipolmoment (10 Punkte)

Betrachten Sie eine homogen geladene Vollkugel (Radius R , Ladung Q ), deren Mittelpunkt im Ursprung liegt und die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die z− Achse rotiert.

(a) Bestimmen Sie das zugehörige magnetische Moment

(b) Berechnen Sie das magnetische Dipolfeld B ~

(~ r) . Zeigen Sie, dass B

rotationssym- metrisch in Bezug auf die z− Achse ist und dass die Feldstärke entlang der z− Achse genau doppelt so groÿ ist wie in der x − y− Ebene.

Aufgabe 4.3: Induktion in bewegter Leiterschleife (10 Punkte)

Gegeben sei ein konstantes homogenes Magnetfeld B ~ = B

~ e

im Bereich x ≥ 0 . Eine Leiter- schleife liegt in der x − y− Ebene und wird mit konstanter, nichtrelativistischer Geschwindigkeit

~ v = v ~ e

in das Magnetfeld hinein bewegt.

(a) Berechnen Sie die induzierte elektrische Spannung im Fall einer rechteckigen Leiterschleife (der Seitenlänge l

in x− Richtung und l

in y− Richtung) und skizzieren Sie den Verlauf abhängig von v t .

(b) Berechnen Sie die induzierte elektrische Spannung im Fall einer kreisförmigen Leiterschlei-

fe (vom Radius R ) und skizzieren Sie den Verlauf abhängig von v t .