1
Das Biot-Savartsche Gesetz
Magnetisches Feld am Ort r2 aufgrund eines vom Strom I durchflossenen Leiters am Ort r1
1 2
1 2 21 1
2 2 21
21 21 0 2
21 21 0
2 21
21 0
2) 4 4 4
( r r
r e r
r r r r
l d I e
r e l I d r dl
e r I
B
2 7 7
7 2
2 7
2 7 0
A 10 N m 4
A C
s 10 J
4
m A
s 10 V
m 4 A m
m s 10 V
m 4 A
m 10 T
4
magnetische Induktionskonstante Etwas andere Formulierung des Biot-Savartschen Gesetzes:
2
2 21
21 0
2 m
1 A ) 4
(r
jre dV j B
Stromdichte
Hieraus lassen sich folgende Gesetze herleiten (was wir hier nicht explizit tun wollen):
B
B dA x y zV
, , 0
0 div
B
- die Divergenz des Magnetfelds ist null. Interpretation: Es gibt keine Quellen und Senken des Magnetfelds, d.h. es gibt keine magnetischen "Ladungen", also keine magnetischen Monopole.
Magnetische Feldlinien beginnen und enden nirgends, sondern sind stets geschlossen. Beim Übergang von der differenziellen zur Integralschreibweise wird der Satz von Gauß verwendet.
S
I s
d B j
B
B rot 0 0
- die Rotation des Magnetfelds ist nicht null, sondern gleich der Stomdichte (mal 0 in SI-Einheiten).
Das Magnetfeld ist also nicht wirbelfrei, was wieder damit zusammenhängt, dass magnetische Feldlinien nicht an magnetischen "Ladungen" enden. Beim Übergang von der differenziellen zur Integralschreibweise wird der Satz von Stokes verwendet.
Ampèresches Gesetz
Jean-Baptiste Biot 1774-1862
Félix Savart 1791-1841
2
Beispiel: Magnetisches Feld eines unendlich langen stromdurchflossenen Drahts Bei der Berechnung des elektrischen Felds eines homogen geladenen Stabs gab es
- eine komplizierte Variante: Coulombsches Gesetz und Integration über den Stab.
- eine einfache Variante: Gaußsches Gesetz unter Verwendung der Symmetrie des Problems.
Ebenso ist es bei der Berechnung des Magnetfeld eines unendlich langen stromdurchflossenen Drahts:
- eine komplizierte Variante: Biot-Savart-Gesetz und Integration über den Draht
- eine einfache Variante: Amperesches Gesetz, betrachte einen Kreis um den Draht mit Radius r
r B I
I r
B s d B
S
2 0 20Beispiel: Magnetisches Feld einer langen Spule
Die Spule besteht aus N Windungen und hat die Länge L. Beim
Linienintegral kann das Feld außerhalb der Spule vernachlässigt werden.
L n N I
n B
I N L
B s d B
S
0 0 mit (Dichte der Windungen)Magnetfeld einer Leiterschleife, einer geraden Spule und einer Toroidalspule, dargestellt durch Eisenfeilspäne
Experiment: wird die Spule bei konstanter Windungszahl verlängert, sinkt das Feld (gemessen mit einer sog. Hall-Sonde)
3
Beispiel: Magnetisches Feld einer Leiterschleife mit Radius R
Etwas komplizierter, weil das Feld nicht entlang eines einfachen Weges konstant ist (was eine Anwendung des Ampereschen Gesetzes ermöglichen würde). Biot-Savartsches Gesetz:
R B I
R R dl I
R B I
R r B B B
l d e z
r dl I B
r l d I e
r B
z
1 2
4 2 4
0 : e Spulenmitt
cos 0
1 sin
: Achse -
sin 4
) 4 (
0
2 0 2
0
21 21
2 21 0
2 21 21 0
2
90
B
sin
B B
|| B Bcos
B z
z r12
R l d
2 ( )2 2
cos cos
4 2 4 cos
3 2 0 2 / 2 3 2
2 0
3 21
2 0
21 2
21 0 2
21 0
R z z
R I R
z R I
r R B I
r R R
r dl I
r B I
B z
Allgemeiner Punkt auf der z-Achse (z ≠ 0)
Eine Leiterschleife stellt einen magnetischen Dipol dar. Mit Flächenvektor A:
A I p r p
B
e R A r A
B I
m m
z
2 mit 2
3 21 0
2 3
21 0
magnetisches Dipolmoment
pm
I
4
Annahme: Strom beider Drähte in dieselbe Richtung, z.B. nach oben.
Feld von Draht 2 zeigt am Ort von Draht 1 aus der Bildebene heraus (rechter Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen Richtung des B-Felds).
Kraft auf Draht 1 zeigt nach rechts (rechter Daumen folgt dl, Zeigefinger in Feldrichtung, Mittelfinger zeigt die Richtung der Kraft).
Ergebnis: Gleichsinnig stromdurchflossene Drähte ziehen sich an, gegensinnig durchflossene Drähte stoßen sich ab.
3.4 Magnetische Kräfte auf Leiter und geladene Teilchen
Kraft zwischen zwei parallelen stromdurchflossenen geraden Drähten
Strom in jedem Draht I, Abstand zwischen den Drähten R:
R I R
I L
F R
B I B
L I F
2 2 7 2
0 0
A 10 N 2 2
mit 2
Beispiel: Helmholtz-Spulenpaar – 2 kurze Spulen mit Radius R im Abstand d
I R R
R I
R R R R
R B I
d R z d R
R z z I
B z B z B
1 125
8 4
5
4 4
) 2 0 (
2 2
) 2 ( ) ( ) (
0 2 / 3 2 2 0
2 / 3 2 2 2
/ 3 2 2 2 0
2 / 3 2 2 2
/ 3 2 2 2
0 2
1
Beste Homogenität bei d = R (ohne Beweis):
z (mm) B (a.u.)
5
Kraft auf ein geladenes Teilchen mit Ladung q in einem homogenen B-Feld Bewegung senkrecht zum Magnetfeld, z.B. in einem
Teilchenbeschleuniger oder Speicherring.
Bedingung: Zentripetalkraft = Lorentzkraft
0 0
0 2
0 2 2
2 2
2
m B q T B
q m v
T R
B q
p B
q v R m
B v R q
v m R
v m
B v B
v q R e
v m
R
Umlaufszeit und Kreisfrequenz (sog. "Zyklotronfrequenz") Experimente: eine Leiterschaukel wird im Magnetfeld ausgelenkt (oben), eine Spule richtet sich im Magnetfeld aus (unten)
Experiment: Elektronenstrahl im sog.
Fadenstrahlrohr wird in einem homogenen Magnetfeld (Helmholtz-Spulenpaar) kreisförmig. Kinetische Energie:
2
2 1m v U
e
wobei U die Beschleunigungsspannung ist. Aus Zentripetalkraft = Lorentzkraft:
2 2 2
2 2
2 2
2 1
R B
U m
e m
R B m e U m e
R B v e
Messung:
1.0 A 0,78 mT und R = 0,080 m 1,4 A 1,09 mT und R = 0,057 m 2,1 A 1,63 mT und R = 0,038 m B∙R ≈ 0,062 mT∙m, U ≈ 300 V
kg 10 C 76 , 1 : ert Literaturw
kg 10 C 56 , 1 Tm 10 2 , 6
V 300 2
11 11 5 2
m e m
e
