Finden Sie die Transfermatrix im Magnetfeld

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 11

Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 11

Dr. B. Narozhny Besprechung 08.07.2011

1. Ising-Modell: (10 Punkte)

Im Ising-Modell k¨onnen die Spins, die das magnetische Moment der Atome oder Ionen bestimmen, nur zwei diskrete Zust¨ande annehmen k¨onnen. Vereinfachend kommt dazu, dass nur eine Komponente (s^z) der Spins im Hamiltonoperator auftaucht

Hˆ =−J XN

i=1

σi^zσi+1^z −µH XN

i=1

σi^z, σ^zN+1 =σ^z1, wobeiH das externe Magnetfeld ist und σi^z = 2s^zi =±1.

Bestimmen Sie die Korrelationsfunktion

g(n) =hσi^zσ^zi+ni − hσi^zi².

Hinweis: In der Vorlesung haben sie das Verfahren der Transfermatrizen kennenge- lernt. Finden Sie die Transfermatrix im Magnetfeld. Dr¨ucken Sie die Korrelationfunk- tion durch die Transfermatrizen aus.

2. Zweite Quantisierung: (10 Punkte)

Betrachten Sie ein Gas fermionischer Punktteilchen der Masse m, die auch einen Spin 1/2 besitzen. Diese befinden sich in einem Volumen V = L³, mit periodischen Rand- bedingungen f¨ur die Wellenfunktionen. Gegeben sei das chemische Potentialµ und die TemperaturT.

Nehmen Sie an, dass die Teilchen nur paarweise wechselwirken:

Ub = 1 2

X

σ₁σ₂

Z d³r1

Z

d³r2Ψˆ^†σ₁(r1) ˆΨ^†σ₂(r2)U(r1−r1) ˆΨ^σ₂(r2) ˆΨ^σ₁(r1), wobei

U(r1 −r1) =U0δ(r1−r1).

Hier die Feldoperatoren sind:

Ψ(r) =b 1

√V X

k

e^ikrˆa_k; Ψb^†(r) = 1

√V X

k

e^−ikrˆa^†_k.

Im Rahmen der thermodynamischen St¨orungstheorie bestimmen Sie die Korrektur zum großkanonischen Potential in erster Ordnung.