Elementarmathematik vom höheren Standpunkt

(1)

Elementarmathematik vom höheren Standpunkt

Dr. Regula Krapf

Universität Koblenz-Landau, Campus Koblenz

Sommersemester 2019

(2)

Bestandteile der Veranstaltung

Elementarmathematik vom höheren Standpunkt Vorlesung: FR 14:15-15:45

Übungen: DO/FR verschiedene Termine, getrennt nach Schultyp Tutorium: MO/DI verschiedene Termine, getrennt nach Schultyp Übungsblätter: jeweils 1 pro Woche

Falls noch nicht geschehen: Melden Sie sich umgehend für die Übungen/Tutorien an!

Die Tutorien beginnen in der zweiten Woche (15./16. April) und fallen in der dritten Woche wegen Ostern aus!

Die Übungen beginnen wegen Ostern in der dritten Woche (26./27.

April).

(3)

Die Vorlesung

Die Vorlesung findet freitags um 14:15 im Raum E011 statt.

Es wird ein Skript zur Verfügung gestellt, jeweils spätestens zwei Tage vor der Vorlesung in aktualisierter Form.

Bitte bringen Sie das Skript in die Vorlesung mit!

(4)

Übungsblätter

Jede Woche soll ein Übungsblatt bearbeitet werden und zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter werden spätestens FR um 18:00 online gestellt.

Abgabe: bis MO um 18:00 in den Fächern der jeweiligen

Übungsgruppe im Erdgeschoß des G-Gebäudes (Abgabe Blatt 1: 29.

April).

Abgabe erfolgt alleine oder in Kleingruppen vonbis zu 3 Personen Übungsblätter sollen mit Name, Gruppennummer und Name des Übungsleiters/der Übungssleiterin beschriftet sein

Es müssen 50% der möglichen Punkteerreicht werden.

(5)

Die Übungsstunde

In der Übungsstunde ...

erhalten Sie das korrigierte Übungsblatt der Vorwoche mit Feedback zurück.

wird das Übungsblatt der Vorwoche nachbesprochen.

können Sie das aktuelle Übungsblattin Kleingruppen unter Betreuung des Übungsleiters/der Übungsleiterin bearbeiten.

Bringen Sie dazu das aktuelle Übungsblatt und das aktuelle Methodenblatt mit!

Termine: siehe KLIPS

(6)

Das Tutorium

Im Tutorium ...

werdenPräsenzaufgabenzur Nachbearbeitung des Vorlesungsstoffs gelöst.

wird ein Aufgaben zu den Methodender Hochschulmathematik und dem mathematischen Arbeiten in Gruppenarbeit bearbeitet.

haben Sie Zeit Fragenzu den Übungen und den Vorlesungsinhalten zu stellen.

Bringen Sie dazu das aktuelle Übungsblatt und das aktuelle Methodenblatt mit!

Termine: siehe KLIPS

(7)

Das Tutorium

Das Tutorium ist eine freiwillige Veranstaltung, die Ihnen den Übergang von der Schule zur Hochschule erleichtert mit den Zielen:

Präsenzaufgaben: Nachbereitung der Vorlesung und Vorbereitung der Übung

Methodenblatt:

Auffrischung von Schulstoff

Methoden der Hochschulmathematik: Beweismethoden

Struktur der Hochschulmathematik: Definitionen, Sätze, Beweise Mathematisches Schreiben

Fehlervermeidung (⇒ hilfreich für die Klausur!)

(8)

Allgemeine Tipps zum Mathematikstudium

Nehmen Sie regelmäßig an den Lehrveranstaltungen teil!

Nehmen Sie sich regelmäßig Zeit zur Bearbeitung von

Übungsaufgaben und zur Nachbearbeitung von Vorlesung/Übung!

Geben Sie die Übungsblätter zur Korrektur ab (auch bei Fächern ohne Abgabepflicht!)

Arbeiten Sie in Gruppen!

Stellen Sie Fragen in den Übungsstunden (auch in/nach der Vorlesung)!

Und ganz wichtig: Keine Panik, wenn man etwas nicht sofort versteht!

(9)

Klausurvorbereitung

Klausur: FR, 2. August 10-12.

Die beste Klausurvorbereitung ist eine regelmäßige Bearbeitung der Übungsaufgaben und eine aktive Beteiligung im Übungsbetrieb!

Zitat eines Erstemestrigen an der Uni Bonn auf die Frage “Was fasziniert sich an Mathematik besonders?”

[...] es sind pure Glücksgefühle, die Aufgaben zu schaffen!

(10)

Klausurvorbereitung

Wie man die Klausur NICHT besteht...

durch häufige Abwesenheit bei den Lehrveranstaltungen durch Bulimie-Lernen kurz vor der Klausur

durch Abschreiben der Übungsaufgaben

durch passives Abschreiben in den Lehrveranstaltungen

(11)

Materialien

Alle Materialien befinden sich auf Open Olat:

https://olat.vcrp.de/dmz/→ Katalog → Uni KO

→ FB3 Mathematik/Naturwissenschaften→ Mathematik Bachelor

→ Elementarmathematik vom höheren Standpunkt SoSe19 Zugangscode: ElMaSoSe19

Online-Aufgaben: jeweils ab FR 18:00 online, Lösungen ca. 10 Tage später. Erreichen der Hälfte der Punkte des Online-Tests gibt 2 Bonuspunkte! Dazu müssen die Tests wie die Übungsblätter bis MO 18:00 bearbeitet werden.

(12)

Materialien

Eintragen in der entsprechenden Übungsgruppe auf Open Olat:

https://olat.vcrp.de/dmz/→ Gruppen → Erweiterte Suche

→ Betreuer: rkrapf→ richtige Gruppe auswählen und beitreten Beispiele:

Elementarmathematik SoSe19 Übungsgruppe 1 GS Elementarmathematik SoSe19 Übungsgruppe 3 GY/RS+/BBS/MM/2FB

Wichtig: Ohne Anmeldung in der entsprechenden Gruppe werden die Bonuspunkte des Online-Tests nicht angerechnet!

(13)

Einleitung

Was ist Mathematik?

eine Hilfswissenschaft bzw. ein Werkzeug für die Natur- und Ingenieurwissenschaften?

Rechnen und Algorithmen?

eine Form der Kunst?

die Wissenschaft von Zahlen und Formen?

die Wissenschaft von Beweisen?

eine Sprache?

(14)

Einleitung

Inhalte der Vorlesung

Logik: Aussagen- und Prädikatenlogik, Beweismethoden Mengen: Mengenoperationen, Abzählprinzipien

Natürliche Zahlen: Rekursion, das Pascalsche Dreieck, vollständigke Induktion

Relationen: Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen, Teilbarkeit, Konstruktion der rationalen Zahlen

Funktionen: Funktionseigenschaften, Komposition von Funktionen, Umkehrfunktionen, Abzählbarkeit

(15)

Logik und Beweismethoden

1. Logik und Beweismethoden

(16)

Logik und Beweismethoden

1.1. Aussagenlogik

“Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsbald ganz etwas anders.”

(Johann Wolfgang von Goethe)

(17)

Logik und Beweismethoden Aussagenlogik

Einleitung: Logikrätsel

Anne, Benjamin und Carina machen folgende Aussagen:

Anne sagt: “Benjamin und Carina lügen!”

Benjamin sagt: “Carina lügt!”

Carina sagt: “Anne lügt oder Benjamin lügt!”

Wer sagt die Wahrheit?

(18)

Aussagen

Definition

Eine Aussage ist ein Satz, von denen man sinnvoll und vor allem eindeutig sagen kann, ob er wahr oder falsch ist.

Welche der folgenden Sätze sind Aussagen? Sind sie wahr oder falsch?

1 Draußen scheint die Sonne.

2

√3 lässt sich als Bruch darstellen.

3 Was soll das?

4 In 200 Jahren existieren keine Menschen mehr.

5 a²+b²=c².

6 Wenn der Mond ein gelber Käse ist, so ist die Erde eine Scheibe.

7 Dieser Satz ist falsch.

(19)

Das Pinocchio-Paradoxon

(20)

Kombinationen von Aussagen (1)

Seien A,B Aussagen.

Definition

DieNegation¬A(“nichtA”) ist genau dann wahr, wennAfalsch ist.

DieKonjunktion A∧B (“A undB”) ist genau dann wahr, wenn A wahr ist undB wahr ist.

DieDisjunktion A∨B (“A oderB”) ist genau dann wahr, wennA wahr ist oderB wahr ist oder beide.

A∨B ist das sogenannteinklusive Oder, im Gegensatz zumexklusiven Oder (A∨B)∧ ¬(A∧B).

(21)

Wahrheitstafeln

Aussagen können durch sogenannteWahrheitstafeln dargestellt werden:

A B ¬A A∧B A∨B

w w f w w

w f f f w

f w w f w

f f w f f

(22)

Rechenregeln (1)

Wie lautet die Negation folgender Aussagen?

A ¬A

Mathe ist einfachundspannend. Mathe ist schwierigoderlangweilig.

Mathe ist nicht einfachodernicht spannend.

Mathe ist einfachoderspannend. Mathe ist schwierigundlangweilig.

Mathe ist nicht einfachundnicht spannend.

Fazit: Die Negation vertauscht ∧ und ∨.

(23)

Rechenregeln (2)

Definition

Zwei AussagenA undB sindlogisch äquivalent, falls sie dieselbe Wahrheitstafel haben. In diesem Fall schreiben wirA≡B.

Beispiel Es gilt:

1 ¬(A∧B)≡ ¬A∨ ¬B

2 ¬(A∨B)≡ ¬A∧ ¬B.

Wie beweist man das?

Für (1) zeigt man, dass die Wahrheitstafeln von ¬(A∧B) und ¬A∨ ¬B die gleichen Einträge haben.

(24)

Kombination von Aussagen (2)

Seien A,B Aussagen.

Definition

DieImplikation A⇒B (“AimpliziertB” bzw. “wenn Agilt, so auch B”) ist genau dann wahr, wenn, fallsA wahr ist, auchB wahr ist.

Anennt man die Prämisseund B dieKonklusion der Implikation A⇒B.

DieÄquivalenz A⇔B (“Aist äquivalent zu B” bzw. “A gilt genau dann, wenn B gilt”) ist genau dann wahr, wennA⇒B und B⇒A wahr sind.

Bei A⇒B haben wir 2 Fälle:

1 Aist wahr: Dann ist A⇒B genau dann wahr, wennB wahr ist.

2 Aist falsch: Dann ist A⇒B immer wahr.

(25)

Die Implikation

Wir betrachten die Aussage

Wennp eine Primzahl>2 ist, so istp ungerade,

für p ∈N. Die Aussage scheint offensichtlich wahr zu sein. Das bedeutet aber, dass sie für jedes p ∈Nwahr ist.

Also müssen die Aussagen

1 Wenn 1 eine Primzahl>2 ist, so ist 1 ungerade.

...

wahr sein.

(26)

Implikation und Äquivalenz

Die Implikation und die Äquivalenz haben folgende Wahrheitstafeln:

A B A⇒B B ⇒A A⇔B

w w w w w

w f f w f

f w w f f

f f w w w

Die Äquivalenz kann auch als Abkürzung für (A⇒B)∧(B⇒A) aufgefasst werden.

(27)

Rangfolge

Bezüglich der Rangfolge der Junktoren gelten folgendeVorrangregeln (die Bindungsstärke nimmt von oben nach unten ab):

1 die Negation ¬

2 die Konjunktion ∧und die Disjunktion∨

3 die Implikation ⇒und die Äquivalenz ⇔.

Beispiel

Zeigen Sie durch Klammersetzung, wie die folgende Aussage interpretiert wird:

A∨ ¬B ⇒ ¬C∧A

(28)

Rechenregeln Implikation (1)

Wir betrachten die Aussagen A: Es schneit.

B: Es ist kalt.

Welche der folgenden Aussagen sind (logisch) äquivalent?

1 Wenn es schneit, so ist es kalt.

2 Entweder es schneit nicht oder es ist kalt.

3 Wenn es kalt ist, so schneit es.

4 Wenn es nicht kalt ist, so schneit es nicht.

(29)

Rechenregeln Implikation (2)

Satz

Für Aussagen A und B gilt A⇒B≡ ¬A∨B≡ ¬B ⇒ ¬A.

Manchmal definiert man A⇒B auch als Abkürzung von ¬A∨B.

Beweis.

Wir vergleichen die Wahrheitstafeln von A⇒B,¬A∨B und ¬B⇒ ¬A:

A B A⇒B ¬A ¬A∨B ¬B ¬B⇒ ¬A

w w w f w f w

w f f f f w f

f w w w w f w

f f w w w w w

(30)

Weitere Rechenregeln

Es gibt viele weitere Rechenregeln:

Seien A,B und C Aussagen. Dann gilt:

¬(¬A)≡A doppelte Negation

A∨ ¬A ist wahr Tertium non datur

A∧ ¬A ist falsch

A∧A≡A Idempotenz von∧

A∨A≡A Idempotenz von∨

A∧(B∧C)≡(A∧B)∧C Assoziativität von∧ A∨(B∨C)≡(A∨B)∨C Assoziativität von∨ A∧B ≡B∧A Kommutativität von∧ A∨B ≡B∨A Kommutativität von∨ A∧(B∨C)≡(A∧B)∨(A∧C) Distributivität von∧ bzgl. ∨ A∨(B∧C)≡(A∨B)∧(A∨C) Distributivität von∨ bzgl. ∧

¬(A∧B)≡ ¬A∨ ¬B Regel von de Morgan für∧

¬(A∨B)≡ ¬A∧ ¬B Regel von de Morgan für∨ A⇒B≡ ¬B ⇒ ¬A≡ ¬A∨B

(31)

Tautologien und Kontradiktionen

Definition

Eine Aussage, die allgemeingültig ist, d.h. unabhängig vom Wahrheitswert der aussagenlogischen Variablen immer wahr ist, nennt man Tautologie.

Eine Aussage, die für jede Belegung der aussagenlogischen Variablen falsch ist, wird als Kontradiktionbezeichnet.

Bei einer Tautologie sind alle Einträge in der Wahrheitstafel “wahr”, bei einer Kontradiktion “falsch”.

Beispiel

Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien/Kontradiktionen?

1 A∨ ¬A

2 A∧ ¬A

3 (A⇒B)⇒B

(32)

Die Implikation

Oft werden Implikationen im Alltag falsch angewendet:

Donald Trump, 2015

Free trade is terrible. Free trade can be wonderful if you have smart people. But we have stupid people.

Die Implikation ist

You have smart people ⇒ free trade can be wonderful.

Daraus folgt aber nicht

You have stupid people ⇒ free trade is terrible.

In anderen Worten: Aus A⇒B folgt nicht¬A⇒ ¬B!

(33)

Notwendig und hinreichend

Definition

Seien Aund B Aussagen. Dann heißtA hinreichendfür B, falls A⇒B wahr ist. In diesem Fall heißt B notwendigfür A.

Beispiel

Welche Beziehung besteht zwischen den folgenden Aussagen?

A: Es schneit.

B: Es ist kalt.

(34)

Zurück zum Logikrätsel

Wir übersetzen das Rätsel in aussagenlogische Formeln:

A⇔ ¬B∧ ¬C B⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(35)

Des Rätsels Lösung

Wir betrachten die Wahrheitstafel:

A B C A⇔ ¬B∧ ¬C B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

w w w f f f

w w f f w w

w f w f w w

w f f w f f

f w w w f w

f w f w w f

f f w w w w

f f f f f f

⇒ Anne und Benjamin lügen und Carina sagt die Wahrheit.

(36)

Logik und Beweismethoden Direkte und indirekte Beweise

1.2. Direkte und indirekte Beweise

(37)

Was ist ein Beweis?

Beispielen Zeichnungen

Begründungen/Erklärungen geometrische Konstruktionen

Herleitungen, bspw. durch Termumformungen vollständige Induktion

...

Definition

Ein Beweis ist eine vollständige Herleitung eines Satzes, bei der nur Axiome und bereits bekannte Sätze verwendet werden.

(38)

Was ist ein Beweis?

Blaise Pascal

Alles muß bewiesen werden, und beim Beweisen darf man nichts außer Axiomen und früher bewiesenen Sätzen benutzen.

(39)

Wieso Beweise?

Richard Dedekind

Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.

Beweise in der Mathematik und im Unterricht haben viele Funktionen:

Erkenntnissicherung

Begründung/Veranschaulichung Überzeugen und Kommunizieren

Finden von neuen mathematischen Sätzen und Begriffen, beispielsweise durch Verallgemeinerung

(40)

Beweise

Welcher Satz wird durch folgende Skizze bewiesen?

b c a

(41)

Direkter Beweis

Beim direkten Beweismöchte man eine Implikation A⇒B

beweisen.

FallsA falsch ist, so ist die Implikation wahr.

Es bleibt also zu zeigen: WennA wahr ist, so ist auchB wahr.

Man nimmt an, dass Awahr ist und folgert, dass dann auchB wahr sein muss.

(42)

Direkter Beweis (2)

Definition

Eine ganze Zahl a∈Z heißt

gerade, falls es eine natürliche Zahlk∈Zgibt mita= 2k.

ungerade, falls es eink ∈Z gibt mita= 2k+ 1.

Beispiel

Die Summe zweier gerader Zahlen inZ ist gerade.

(43)

Direkter Beweis (3)

Möchten zeigen: A⇒B. Dazu zeigt man oft Zwischenresultate, also A⇒A₁ ⇒A₂⇒ · · · ⇒A_n⇒B.

Wir nehmen Aan, folgern daraus A₁, dann A₂,. . . , dannA_n und daraus folgern wirB.

Beispiel (Logarithmus-Gesetz)

Man definiert für a,u,x ∈Rmit a,u >0 und a6= 1:

log_au =x ⇐⇒a^x =u.

Dann gilt log_a(u·v) = log_a(u) + log_a(v).

(44)

Kontraposition

Definition

DieUmkehrung einer ImplikationA⇒B ist die ImplikationB ⇒A.

DieKontraposition einer Implikation A⇒B ist die Implikation

¬B⇒ ¬A.

Beispiel. Was ist die Umkehrung/Kontraposition von

“Wenn es schneit, so ist es kalt.” ?

(45)

Kontrapositionsbeweise

Zur Erinnerung: Es gilt

A⇒B ≡ ¬B⇒ ¬A.

Beim Kontrapositionsbeweis zeigt man¬B ⇒ ¬A stattA⇒B.

D.h. man nimmt an, B sei falsch, und folgert, dass Afalsch ist.

Beispiel

Sei a∈Z. Wenn a² gerade ist, so ist aucha gerade.

(46)

Kontrapositionsbeweise: Stufenwinkelsatz

Der Stufenwinkelsatzbesagt Folgendes:

Seien g,h und k Geraden, sodassk sowohl g als auchh schneidet. Fallsg und h parallel sind, so sind alle Stufenwinkel (bzgl. k) gleich groß.

h

g

k β

α

Gilt auch die Umkehrung, d.h. wenn die Stufenwinkel vong undh (bzgl.

k) gleich groß sind, sind danng und h parallel?

(47)

Widersprüche

Definition

Ein Widerspruchist eine Formel der FormA∧ ¬A.

Aus einem Widerspruch kann man alles folgern (ex falso quodlibet):

A∧ ¬A⇒B ist immer wahr, daA∧ ¬A immer falsch ist.

Beispiel

Falls der Mond ein gelber Käse ist, so ist die Erde eine Scheibe.

Falls Bielefeld existiert, so gilt 0 = 1.

(48)

Widerspruchsbeweise

Wenn man in einem Beweis auf einen Widerspruch stößt, so ist die Annahme falsch: Wenn

B⇒A∧ ¬A

wahr ist, so muss B falsch sein, da Widersprüche immer falsch sind.

Widerspruchsbeweise verwendet man wie folgt:

(1) StattB zu zeigen, leiten wir aus ¬B einen Widerspruch her.

(2) StattA⇒B zu zeigen, leiten wir ausA∧ ¬B einen Widerspruch her.

Typ (1) ist ein Spezialfall von Typ (2).

Begründung für (2): Wenn A∧ ¬B zu einem Widerspruch führt, so ist A⇒B wahr wegen

¬(A∧ ¬B)≡ ¬A∨ ¬(¬B)≡ ¬A∨B≡A⇒B.

(49)

Widerspruchsbeweise: Irrationalität von √ 2:

Dierationalen Zahlen Q umfassen alle Brüche, d.h. Zahlen der Form ^p_q mitp ∈Z undq ∈N\ {0}.

Diereellen Zahlen Rumfassen alle Dezimalbrüche.

Dieirrationalen Zahlen R\Qsind die reellen Zahlen, die nicht rational sind, d.h. alle nicht-abbrechenden nicht-periodischen Dezimalbrüche.

Satz√

2 ist irrational, d.h. √

2∈R\Q.

(50)

Widerspruchsbeweise: Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Satz des Pythagoras

Falls ein Dreieck rechtwinklig ist mit Hypothenuse c und Katheten a,b, so gilt a²+b² =c².

Wie lautet die Umkehrung des Satzes von Pythagoras?

Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Falls in einem Dreieck mit Seitenlängen a,b und c die Gleichheit

a²+b²=c² gilt, so ist der Winkel zwischena und b ein rechter Winkel.

(51)

Nichtexistenzbeweise

Der Beweis der Irrationalität von√

2 ist ein Beispiel für einen Nichtexistenzbeweis, denn es wird gezeigt, dass √

2 keine Darstellung der Form ^p_q mitp,q∈N\ {0} besitzt.

Ein weiteres Bespiel für einen Nichtexistenzbeweis:

Beispiel

Die Gleichung x² =y²+ 1 hat keine Lösungen inN\ {0}.

(52)

... nochmals zurück zum Logikrätsel

Wir übersetzen das Rätsel in aussagenlogische Formeln:

A⇔ ¬B∧ ¬C B⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(53)

Logik und Beweismethoden Fallunterscheidung

1.3. Fallunterscheidungen

(54)

Fallunterscheidung

Beim Beweis durch Fallunterscheidung möchte manA∨B ⇒C folgern. Dazu zeigt man

A⇒C und B⇒C.

Ein Spezialfall ist: Statt C zeigt man A⇒C und

¬A⇒C. Beispiel

Eine Quadratzahl ist eine Zahl der Formn² fürn ∈N. Quadratzahlen sind also

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81, . . . Welche Endziffern können Quadratzahlen haben?

(55)

Ähnliche Beispiele wie das vorangehende verwenden als Fälle die möglichen Reste bei der Division durch eine Zahl n∈N, diese sind nämlich

0,1, . . . ,n−1. Was man dabei im Grunde verwendet, ist dieDivision mit Rest:

Theorem (Division mit Rest)

Seien a∈Zund n∈N\ {0,1}. Dann gibt es eindeutige Zahlen q,r ∈Z mit r ∈ {0, . . . ,n−1}und

a=qn+r.

Für n= 2 bedeutet Rest 0: a ist gerade Rest 1: a ist ungerade

(56)

Der Betrag

Fallunterscheidungen werden oft beiBetrags(un)gleichungenverwendet:

Für x ∈Rdefinieren wir

|x|:=

(x x ≥0,

−x x <0.

Die Betragsfunktionentspricht fürx <0 einer Spiegelung an der x-Achse:

−3 −2 −1 1 2 3

−1 1 2

0

(57)

Betragsungleichungen

verwendet:

Für x ∈Rdefinieren wir

|x|:=

(x x ≥0,

−x x <0.

Beispiel

1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung

|2x+ 1|<5 mittels Fallunterscheidung.

2 Wie viele Fälle gibt es bei der Ungleichung

(58)

Logik und Beweismethoden Prädikatenlogik

1.4. Prädikatenlogik

(59)

Aussageformen

Wie kann man eine Aussage wie Jede Primzahl >2 ist ungerade.

Es gibt keine Marsmenschen.

Jede Zahl hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung.

mathematisch ausdrücken?

Eine AussageformE(x) ist eine Eigenschaft, die von einer (oder mehreren) Variablen x abhängt.

Beispiel

Beispiele für Aussageformen sind S(x) = “x ist schön”.

U(x) = “x ist ungerade”.

Dann ist S(Koblenz) ist die Aussage “Koblenz ist schön”; U(2) besagt “2

(60)

Quantoren

Definition

Sei E(x) eine Aussageform.

∃x :E(x) bezeichnet die Aussage “es gibt (mindestens) ein x, so dass E(x)”.

∀x :E(x) bezeichnet die Aussage “für allex giltE(x)”.

∃ heißt Existenzquantor (Merkregel: umgekehrtes “ E”)

∀ heißt Allquantor. (Merkregel: umgekehrtes “ A”) Beispiel

∀x :U(x) ist die Aussage “jedes x ist ungerade”.

∃x :U(x) ist die Aussage “es gibt ein ungerades x”

U(3) ist die Aussage “3 ist ungerade”.

(61)

Rechenregeln Quantoren

Wie lautet die Negation folgender Aussagen?

1 Alle Wege führen nach Rom.

2 Es gibt einen Weg, der nach Rom führt.

Satz

Sei E(x) eine Aussageform. Dann gilt

1 ¬(∃x :E(x))≡ ∀x :¬E(x).

2 ¬(∀x :E(x))≡ ∃x :¬E(x).

(62)

Verallgemeinerte Quantoren

Sei M eine Menge undE(x) eine Aussageform. Dann schreiben wir

∃x ∈M :E(x) für “es gibt einx inM, für das E(x) gilt”

∀x ∈M :E(x) für “für jedesx in M giltE(x)”.

∃!x :E(x) für “es gibt genau einx, für das E(x) gilt”

Beispiel

Sei U(x) die Aussageform “x ist ungerade”. Dann bedeutet

∀x ∈N:U(x)

“Alle natürlichen Zahlen sind ungerade”.

(63)

Quantoren

Beispiel

Was bedeuten die folgenden Aussagen? Sind sie wahr oder falsch?

1 ∃x ∈R:x² = 2.

2 ∃x ∈Q:x² = 2.

3 ∃!x :x² = 2.

4 ∀x ∈R∀y ∈R:x+y =y+x.

5 ∃n∈N∀m∈N:m<n.

6 ∃n∈N∀m∈N:m≥n.

(64)

Reihenfolge von Quantoren

Die Reihenfolge gleicher Quantoren spielt keine Rolle:

Man schreibt

∃x,y :E(x,y) für ∃x ∃y:E(x,y)

∀x,y :E(x,y) für ∀x ∀y:E(x,y).

Zu beachten: Die Reihenfolgeverschiedener Quantoren spielt eine Rolle:

(1) ∀x∃y :E(x,y) und (2) ∃y∀x :E(x,y) bedeuten nicht dasselbe!

(65)

1.5. Beispiele und Gegenbeispiele

(66)

Fermat-Zahlen

Beispiel

Fermat-Zahlen sind Zahlen der Form F_n= 2²ⁿ + 1

für n∈N. Pierre de Fermat stellte fest, dass F₀, . . . ,F₄ Primzahlen sind:

F0= 2²⁰+ 1 = 2¹+ 1 = 3 F1= 2²¹+ 1 = 2²+ 1 = 5 F2= 2²²+ 1 = 2⁴+ 1 = 17 F3= 2²³+ 1 = 2⁸+ 1 = 257.

Fermat stellte die Vermutung auf: ∀n∈N: F_n ist eine Primzahl Fast 100 Jahre später bewies Euler, dass 641 ein Teiler vonF5 ist.

(67)

Beweise von Allaussagen

Wie beweist man eine Formel der Form

∀x :E(x) ? Man wählt ein beliebiges x₀ und beweistE(x₀).

Beispiel

Wir betrachten nochmals die Binomischen Formeln. Formal präzis lautet die3. Binomische Formel

∀x,y ∈R: (x+y)(x−y) =x²−y².

Wichtig: Allaussagen lassen sich nicht durch Angabe eines Beispiels beweisen!

(68)

Gegenbeispiele

Wie kann man eine Allaussage widerlegen? D.h. wie beweist man

¬∀x:E(x) ? Beispiel

Wir betrachten die Aussage

A: Jede natürliche Zahl ist gerade.

A ist falsch, da 3 eine ungerade natürliche Zahl ist.

Um eine Aussage zu widerlegen, reicht es ein Gegenbeispielanzugeben.

(69)

Widerlegung durch Gegenbeispiel

Bei der Widerlegung durch Gegenbeispiel beweist man

∃x :¬E(x) statt

¬∀x:E(x).

Dies reicht, da ¬∀x :E(x)≡ ∃x:¬E(x).

Beispiel

Für a∈Rmit a≥0 ist√

adie eindeutige Lösung x ∈Rmit x≥0 der Gleichung x²=a.

Beweisen Sie oder widerlegen Sie:

1 Für allea∈R gilt√ a²=a.

√

(70)

Existenzbeweise

Eine Existenzaussage

∃x :E(x)

kann man beweisen, indem man expliziteinx angibt, für dasE(x) wahr ist.

Beispiel

Wie kann man folgende Aussagen beweisen?

1 Es gibt ein Dreieck mit Seitenlängena= 3cm,b = 4cm undc = 5cm.

2 Das Gleichungssystem

(1) 3x−4y = 2 (2) 2x+ 3y = 7 hat eine Lösung.

(71)

Existenzaussagen

Beispiel

Drei Studenten A,B undC möchten gemeinsam Übungsaufgaben der Elementarmathematik bearbeiten. Dazu möchten sie sich an einem Ort treffen, der vom Wohnort der drei Studenten gleich weit entfernt ist. Die drei Studenten wohnen nicht an derselben Straße. Gibt es einen solchen Ort?

(72)

Unendliche viele Primzahlen

Manchmal möchte man die Existenz unendlich vieler Objekte beweisen.

Wie geht das?

Eine natürliche Zahlp >1 heißt Primzahl, wenn ihre einzigen Teiler 1 und p sind.

Theorem

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Problem: Wir können nicht alle Primzahlen 2, 3, 5, 7, 13, . . . explizit angeben.

Stattdessen kann man zeigen, dass die Aufzählung der Primzahlen nie aufhört: Jede endlicheFolge p₁, . . . ,p_n von Primzahlen istunvollständig.

(73)

Das Trinker-Paradoxon

Blaise Pascal

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Trinker-Paradoxon

Es gibt jemanden in der Kneipe, sodass, wenn er trinkt, so trinken alle in der Kneipe.

Wie übersetzt man das Trinker-Paradoxon in die Sprache der Logik?

Wir schreiben T(x) für das Prädikat “x trinkt”. Dann besagt das Trinker-Paradoxon

∃x : (T(x)⇒ ∀y:T(y)).

(74)

Logik und Beweismethoden Das Schubfachprinzip

1.7. Das Schubfachprinzip

(75)

Das Schubfachprinzip

Beispiel

Unter vier Personen haben mindestens zwei Personen dasselbe Geschlecht.

Dies ist eine Existenzaussage.

Wenn die vier Personen nicht bekannt sind, kann man solche zwei Personen nicht explizitangeben.

Begründung: Es gibt nur 3 Geschlechter, aber 4 Personen: Wenn alle Personen verschiedene Geschlechter hätten, so müsste es mindestens 4 Geschlechter geben!

(76)

Das Schubfachprinzip

Schubfachprinzip

Wenn man n+ 1 Objekte n Kategorien zuordnet, so müssen mindestens zwei Objekte derselben Kategorie zugeordnet werden.

Beispiel

1 Unter 13 Personen befinden sich immer mindestens zwei, die im selben Monat Geburtstag haben.

2 Eine Gerade, die durch keinen Eckpunkt des Dreiecke ∆ABC geht, kann höchstens zwei Seiten schneiden.

3 An einer Party gibt es stets zwei Personen, die dieselbe Anzahl Partygäste kennen.

4 Gegeben seien 11 Zahlen. Gibt es stets zwei Zahlen, sodass deren Differenz die Endziffer 0 hat?

(77)

2. Mengenlehre

(78)

2.1. Mengen und

Mengenschreibweise

(79)

Mengen Mengenschreibweise

Was sind Mengen?

Mengenbegriff von Georg Cantor

Eine Mengeist eine Zusammenfassung verschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte werden dieElemente der Menge genannt.

Beispiele für Mengen sind:

die Menge aller Studierenden in Koblenz die Menge aller natürlichen ZahlenN

die Menge aller reellen Zahlen ≥2 und≤7, also das Intervall [2,7]

die Lösungsmenge der Gleichungx³+ 2x−1 = 0

dieleere Menge ∅, die eindeutige Menge ohne Elemente

(80)

Mengen

Definition

Seien M,N Mengen. Wir schreiben x ∈M, fallsx ein Element von M ist.

x ∈/M, fallsx kein Element vonM ist.

M ⊆N, falls M eineTeilmenge vonN ist, d.h.

∀x(x ∈M ⇒x ∈N).

Es gilt das Extensionalitätsaxiom:

M =N ⇐⇒M ⊆N∧N⊆M.

(81)

Zahlenmengen

Die wichtigsten Mengen, sind dieZahlenmengen:

N={0,1,2,3, . . .} natürliche Zahlen

Z={. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .} ganze Zahlen Q={Brüche}={^p_q |p ∈Zund q ∈N\ {0}} rationale Zahlen R={Dezimalbrüche} reelle Zahlen.

Es gilt

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.

(82)

Zahlenmengen

R Q Z N

−1 0

1 2

√2

Die Zahlenmengen sind alle verschieden; es gilt N ( Z ( Q ( R.

(83)

Mengenschreibweise

Sei M eine Menge undE(x) eine Aussageform. Wir schreiben {x ∈M |E(x)}

für die Menge aller x ∈M, für dieE(x) wahr ist.

Beispiel

Beispiele für die Mengenschreibweise sind

{x ∈R|x²+ 3x−4 = 0}die Lösungsmenge der Gleichung x²+ 3x−4 = 0

{x ∈N|x ist gerade}={0,2,4,6, . . .}

{x ∈R|x² = 2}={√ 2,−√

2}

{x ∈Q|x² = 2}=∅ dieleere Menge.

(84)

Intervalle

Für reelle Zahlen a,b∈Rdefiniert man

(a,b) ={x ∈R|a<x <b} offenes Intervall [a,b] ={x ∈R|a≤x ≤b} geschlossenes Intervall [a,b) ={x ∈R|a≤x <b} halboffenes Intervall (a,b] ={x ∈R|a<x ≤b} halboffenes Intervall (a,∞) ={x ∈R|x >a} offenes Intervall (−∞,b) ={x ∈R|x <b} offenes Intervall

[a,∞) ={x ∈R|x ≥a} halboffenes Intervall (−∞,b] ={x ∈R|x ≤b} halboffenes Intervall

(85)

Mengenschreibweise

Wieso kann man nicht einfach Mengen der Form {x |E(x)} statt {x ∈M |E(x)}

bilden?

Wir betrachten die “Menge”

R ={x |x ∈/x}.

GiltR ∈R?

Dieses Paradoxon wird alsRussellsches Paradoxon bezeichnet.

(86)

Mengenschreibweise

Manchmal sieht man auch andere Formen der Mengenschreibweise:

Definition

Falls f :M →N eine Funktion ist, so schreibt man

{f(x)|x∈M}:={y ∈N| ∃x ∈M :y=f(x)}.

Beispiele:

1 {2a|a∈Z}

2 {n² |n∈N}

(87)

Mengen

Wichtig bei der Mengenschreibweise ist, dass Mengen ungeordnetsind.

So gilt beispielsweise

{1,2}={2,1}={1,2,1,2}.

Dies ist ein wesentlicher Unterschied zwischen Mengen und geordneten Paaren wie beispielsweise Koordinaten in der Ebene oder im Raum. So gilt etwa

(1,2)6= (2,1) (−1,3,5)6= (3,5,−1)

(1,2,1)6= (1,2).

(88)

Mengen Mengenoperationen und weitere Beweismethoden

2.2. Mengenoperationen

(89)

Mengenoperationen

Definition

Seien M,N Mengen. Wir definieren

M∪N:={x |x ∈M∨x ∈N} dieVereinigung vonM und N M∩N:={x |x ∈M∧x ∈N} der Durchschnittvon M und N M\N:={x ∈M |x ∈/ N} dieDifferenz vonM und N

P(M) :={x|x ⊆M} diePotenzmengevon M.

M×N:={(x,y)|x∈M∧y ∈N} daskartesische ProduktvonM und N.

(90)

Mengenoperationen

Mengenoperationen lassen sich durch Venn-Diagramme darstellen:

M N

M∩N

(91)

Mengenoperationen

M N

(92)

Mengenoperationen

M N

M\N

(93)

Teilmengen

Es gilt M ⊆N, falls jedes Element von M ein Element vonN ist.

M N

M ⊆N

(94)

Mengenoperationen

Beispiel

R\Q={nicht-abbrechende, nicht-periodische Dezimalbrüche}

irrationale Zahlen (−1,2)∪ {2}

(3,5)∩[4,6]

{1,2} \ {2,3}

{1,{2}} \ {2}

P({1,2}) {1,2} × {3,4}

R²=R×R

(95)

Verallgemeinerte Mengenoperationen

Definition

Sei I6=∅eine Menge (genannt Indexmenge) und sei M_i eine Menge für jedesi ∈I. Dann definiert man

[

i∈I

Mi :={x| ∃i ∈I:x∈Mi}

\

i∈I

Mi ={x | ∀i ∈I:x ∈Mi}.

Für I={1, . . . ,n} erhalten wir die Spezialfälle

n

[

i=1

M_i :=M₁∪M₂∪. . .∪M_n und

n

\

i=1

M_i :=M₁∩M₂∩. . .∩M_n. Beispiel

(96)

Mengen Beweise mit Mengen

2.3. Beweise mit Mengen

(97)

Teilmengen

Wie zeigt man M ⊆N?

Man wählt ein beliebiges x∈M und zeigt x∈N.

Beispiel

1 Für alle Mengen M undN giltM ⊆M ∪N.

2 Für jede MengeM gilt ∅ ⊆M.

(98)

Mengengleichheit

Wie beweist man, dass zwei Mengen M undN gleich sind?

Man verwendet dasExtensionalitätsaxiom, d.h.

M =N ⇐⇒M ⊆N∧N⊆M. Um M =N zu zeigen, beweist man also

1 M ⊆N und

2 N⊆M.

Beispiel

Für MengenM,N undP gilt dasDistributivgesetz von∩ bzgl. ∪:

(M∩N)∪P = (M∪P)∩(N∪P).

(99)

Mengengesetze

Es gelten folgendeMengengesetze für Mengen M,N und P. M∩ ∅=∅

M∪ ∅=M

M∩(N∩P) = (M∩N)∩P Assoziativität von ∩ M∪(N∪P) = (M∪N)∪P Assoziativität von ∪ M∩N=N∩M Kommutativität von∩ M∪N=N∪M Kommutativität von∪ M∩(N∪P) = (M∩N)∪(M∩P) Distributivität von∩ bzgl. ∪ M∪(N∩P) = (M∪N)∩(M∪P) Distributivität von∪ bzgl. ∩ M\(N∩P) = (M\N)∪(M\P) Regel von de Morgan für ∩ M\(N∪P) = (M\N)∩(M\P) Regel von de Morgan für ∪

(100)

Rechenregeln der Aussagenlogik

Zum Vergleich: Für Aussagen A,B und C gilt:

¬(¬A)≡A doppelte Negation

A∨ ¬A ist wahr Tertium non datur

A∧ ¬A ist falsch

A∧A≡A Idempotenz von∧

A∨A≡A Idempotenz von∨

A∧(B∧C)≡(A∧B)∧C Assoziativität von∧ A∨(B∨C)≡(A∨B)∨C Assoziativität von∨ A∧B ≡B∧A Kommutativität von∧ A∨B ≡B∨A Kommutativität von∨ A∧(B∨C)≡(A∧B)∨(A∧C) Distributivität von∧ bzgl. ∨ A∨(B∧C)≡(A∨B)∧(A∨C) Distributivität von∨ bzgl. ∧

¬(A∧B)≡ ¬A∨ ¬B Regel von de Morgan für∧

¬(A∨B)≡ ¬A∧ ¬B Regel von de Morgan für∨ A⇒B≡ ¬B ⇒ ¬A≡ ¬A∨B

(101)

Äquivalenzbeweis

Es gilt

M ⊆N⇐⇒M∩N =M.

Wie kann man eine solche Äquivalenzbeweisen? Bei einem

Äquivalenzbeweisfür A⇐⇒B (wobei A,B Aussagen sind) beweist man

“⇒”: A⇒B und

“⇐”: B⇒A Beispiel

1 Für jedes a∈Zgilt: Die Zahl a² ist genau dann gerade, wenn a gerade ist.

2 DasAssoziativgesetz M∩(N∩P) = (M∩N)∩P für Mengen M,N und P kann auch als Äquivalenz betrachtet werden. Man zeigt für jedesx

x ∈M∩(N∩P)⇔x ∈(M∩N)∩P.

(102)

Äquivalenzbeweise

Zu beachten bei Äquivalenzen: Bei jedem Schritt überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Äquivalenz und nicht um eine Implikation in nur eine Richtung handelt!

Beispiel

Es sei a=b. Dann folgt

ab=a² ab−b²=a²−b² b(a−b) = (a+b)(a−b)

b=a+b b= 2b 1 = 2.

Worin besteht der Fehler?

(103)

Ringschluss

Um die Äquivalenz von AussagenA₁, . . . ,A_nzu beweisen, genügt es zu zeigen:

A₁ ⇒A₂ A₂ ⇒A₃ . . .

An−1 ⇒A_n und A_n⇒A₁.

Dann sind beispielsweise A1 und A3 äquivalent:

“⇒” aus A1 ⇒A2 und A2 ⇒A3 folgt A1⇒A3

“⇐” aus A₃ ⇒A₄, . . . ,An−1 ⇒A_n und A_n⇒A₁ folgt A₃ ⇒A₁.

(104)

Ringschluss

Beispiel

Seien M und N Mengen. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1 M ⊆N

2 M∩N=M

3 M∪N=N

4 M\N=∅

Gibt es weitere äquivalente Bedingungen?

(105)

Elementetafeln

Mengengesetze kann man auch mit Hilfe von Elementetafelnbeweisen:

Beispiel

Für MengenM,N undP gilt dasDistributivgesetz:

(M∩N)∪P = (M∪P)∩(N∪P).

Dabei entspricht die Elementetafel einer Wahrheitstafel, wobei statt M die Aussagex ∈M steht und an der Stelle von∈resp. ∈/ entsprechend “w”

oder “f” steht.

(106)

Mengen Abzählprinzipien endlicher Mengen

2.4 Abzählprinzipien endlicher

Mengen

(107)

Mächtigkeit

Definition

Sei M eine endliche Menge. Wir schreiben|M|für die Anzahl Elemente von M. Man nennt |M|auch die Mächtigkeitvon M.

Beispiel:

1 |{1,2,3}|=?

2 |{{1,2},{3}}|=?

(108)

Disjunkte Mengen

Definition

Zwei Mengen M,N heißen disjunkt, falls M∩N=∅.

Falls M undN disjunkt sind, so nennt man die VereinigungM ∪N eine disjunkte Vereinigung und man schreibt auch

M ∪˙ N:=M∪N.

M N

(109)

Die Summenregel

Summenregel

Falls zwei endliche Mengen M und N disjunktsind, d.h. falls M∩N=∅, so gilt

|M ∪N|=|M|+|N|.

Allgemeiner: Falls M1, . . . ,Mn endliche Mengen sind, die paarweise disjunkt sind, d.h. Mi ∩Mj =∅für alle i 6=j in {1, . . . ,n}, so gilt für M =M₁∪. . .∪M_n

|M|=|M₁|+. . .+|M_n|.

(110)

Die Produktregel

Produktregel

Für zwei endliche MengenM und N gilt

|M×N|=|M| · |N|.

Allgemeiner: Falls M₁, . . . ,M_n endliche Mengen sind, so gilt

|M₁×. . .×M_n|=|M₁| ·. . .· |M_n|.

Beispiele:

1 In einem Restaurant gibt es 3 verschiedene Vorspeisen, 8 Hauptgänge und 4 Nachspeisen. Wieviele verschiedene Menüs kann man in diesem Restaurant zusammenstellen?

2 Wieviele zweistellige Zahlen gibt es?

(111)

Verallgemeinerte Produktregel

Falls in einem Entscheidungsprozess n Entscheidungen getroffen werden, und man bei der i-ten Entscheidungenki Möglichkeiten hat, so gibt es insgesamt

k₁·. . .·k_n Möglichkeiten.

Beispiele: Wie viele Zahlenpaare der Form (a,b) mita,b ∈ {1, . . . ,100}

und

1 a6=b?

2 a<b?

(112)

Doppeltes Abzählen

Manchmal kann man eine MengeM auf zwei Arten abzählen. Dabei erhält man zwei Formeln, deren Gleichheit dadurch bewiesen ist, dass sie beide gleich |M|sind.

Beispiel. Bei einer Party mitn Gästen schüttelt jeder jedem die Hand.

Wie oft werden die Hände geschüttelt?

(113)

Anzahl 2-elementiger Teilmengen

Das vorige Beispiel zeigt: Es gibt

n(n−1) 2

Möglichkeiten, 2 aus n Elementen auszuwählen.

Folgerung: Die Anzahl 2-elementiger Teilmengen einer n-elementigen Menge ist ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ .

(114)

Natürliche Zahlen

3. Natürliche Zahlen

(115)

Die Peano-Axiome

Die natürlichen Zahlen lassen sich durch die sogenannten Peano-Axiome charakterisieren:

Die Pean-Axiome

1 0 ist eine natürliche Zahl.

2 Für jede natürliche Zahl n, ist n+ 1 eine natürliche Zahl (der Nachfolger vonn)

3 Für jede natürliche Zahl n giltn+ 16= 0.

4 Falln und m natürliche Zahlen sind mitn+ 1 =m+ 1, so folgt n=m.

5 FallsX eine Menge natürlicher Zahlen ist mit den Eigenschaften 0∈X und

für jedesn∈X gilt auchn+ 1∈X,

(116)

Axiome

Axiome sind Grundannahmen, die nicht bewiesen werden.

Idee des axiomatischen Zugangs: Aus möglichst wenigen Axiomen möglichst viel beweisen.

Zu beachten: Nicht alles, was wahr ist, ist beweisbar (Kurt Gödel):

Dieser Satz ist unbeweisbar.

(117)

Natürliche Zahlen Rekursion

3.1 Rekursion

(118)

Rekursion

Um Rekursion zu verstehen, muss man Rekursion verstehen.

Eine rekursive Zahlenfolgea0,a1,a2, . . . ist eine Zahlenfolge, bei der das n-te Folgenglieda_n+1 ausa₀,a₁, . . . ,a_n berechnet werden kann.

Beispiel

Auf wieviele Arten kann man n Kugeln anordnen?

Um dieses Problem zu lösen, nummerieren wir die Kugeln mit Zahlen 1, . . . ,n. Seia_n die Anzahl Anordnungen von n Kugeln.

(119)

Rekursion

Definition

Für n∈Ndefiniert man rekursiv 0! = 1

(n+ 1)! = (n+ 1)·n!

gesprochen “n Fakultät”. Man kann n! etwas informeller auchexplizit darstellen als

n! = 1·2·. . .·n.

(120)

Rekursion

Wenn man ein Zahlenfolge a_nfür jedes n∈Nrekursiv definieren möchte, genügt es

1 einen Anfangswerta0 zu definieren; und

2 fallsa_n schon definiert ist,a_n+1 zu definieren (Rekursionsvorschrift).

Voraussetzungen (1) und (2) kann man an für jedesn ∈Nberechnen:

Nach Voraussetzung ist a0 bekannt.

Aus a0 kann mana1 berechnen.

Aus a₁ kann mana₂ berechnen.

Aus a₂ kann mana₃ berechnen.

...

(121)

Rekursion

Wenn der Anfangswert fehlt...

M.C. Escher,Zeichnende Hände. M.C. Escher,Bildgalerie

(122)

Rekursion

Beispiel

Wie viele Teilmengen besitzt eine Menge mit 100 Elementen? Dies scheint nicht einfach auszurechnen zu sein...

Einfacher ist die Verallgemeinerung: Wieviele Teilmengen besitzt eine n-elementige Menge, beispielsweise {1,2, . . . ,n}? Wir setzen

b_n:=|P({1,2, . . . ,n})|.

Wie kann manb_n rekursiv definieren?