Komposition von Funktionen

Komposition von Funktionen

Jörn Loviscach

Versionsstand: 21. November 2010, 10:13

Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung.

Videos dazu: http://www.youtube.com/joernloviscach

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Germany License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/ or send a letter to Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA.

Die Komposition = Verkettung = Hintereinanderausführung [composition] von Funktionen f und g bedeutet, erst die Funktion g anzuwenden und dann auf deren Ergebnis eine Funktion f anzuwenden. Das ergibt wieder eine Funktion.

Die wird f ◦ g genannt („f nach g“). Beispiel: sin ◦ exp bewirkt dies:

1

Man beachte die überraschende Reihenfolge. Die ist typischerweise wichtig:

exp ◦ sin bewirkt etwas Anderes! (Wie kann man das schnell sehen?)

2

Streng müsste man sich hier noch über Definitionsbereiche Gedanken machen:

Aus der inneren Funktion darf nichts herauskommen, was die äußere nicht verarbeitet. Also darf man nicht gedankenlos alles Mögliche in die innere Funktion hineinwerfen. Beispiel: Was ist sinnvollerweise der Definitionsbereich von p ◦ ln?

3

1

1 VERTIKALE VERSCHIEBUNG UND STRECKUNG 2

Verkettete Funktionen treten ständig auf, wenn man nur genau hinsieht: Wie kann man x 7→ _(sin(x)) ¹

+ 1 als Verkettung von Funktionen lesen?

4

Nebenbei: Die Kettenregel sagt etwas über die Ableitung verketteter Funktionen, nämlich:

5

Die Verkettung einer Funktion f mit sich selbst wird oft formal als Potenz geschrie- ben: f ⁴ : = f ◦ f ◦ f ◦ f . (Nicht mit der vierten Ableitung f ⁰⁰⁰⁰ = f ⁽⁴⁾ verwechseln!) Wie schon gezeigt, kommt das zum Beispiel bei Iterationsverfahren vor. Die Umkehr- funktion – wenn sie existiert – wirkt hier wie die Potenz − 1 und wird deshalb als

f ^{− 1} geschrieben.

1 Vertikale Verschiebung und Streckung von Funktionsgraphen

Addiert man zum Funktionswert f (x) eine Konstante, wird der Funktionsgraph vertikal verschoben – nach oben für eine positive Konstante:

x y

1 1

6

Multipliziert man den Funktionswert f (x) mit einer Konstante, wird der Funk-

tionsgraph von der x-Achse weg gestreckt (Konstante > 1), zu ihr hin gestaucht

(Konstante zwischen 0 und 1) oder obendrein an der x-Achse gespiegelt (negative

2 HORIZONTALE VERSCHIEBUNG UND STRECKUNG 3

Konstante):

x y

1 1

7

Alles auf einmal erhält man, wenn man eine Funktion y 7→ m y + b mit der Funktion f verkettet, denn dies bedeutet x 7→

8

. In dieser Schreibweise wird erst gestreckt/gestaucht/gespiegelt und dann verschoben, alles vertikal.

x y

1 1

9

2 Horizontale Verschiebung und Streckung von Funktionsgraphen

Addiert man zu x innerhalb von f (x) eine Konstante, wird der Funktionsgraph horizontal verschoben – nach links (!) für eine positive Konstante:

x y

1 1

10

2 HORIZONTALE VERSCHIEBUNG UND STRECKUNG 4

Multipliziert man x in f (x) mit einer Konstante, wird der Funktionsgraph von der y-Achse weg gestreckt (Konstante zwischen 0 und 1!), zu ihr hin gestaucht (Konstante > 1!) oder obendrein an der y-Achse gespiegelt (negative Konstante):

x y

1 1

11

Vorsicht: Verschiebung und Streckung funktionieren also horizontal genau anders herum als vertikal.

Alles auf einmal erhält man, wenn man f mit einer Funktion x 7→ (x − a)/k ver- kettet, denn dies bedeutet x 7→

12

. In dieser Schreibweise (Vorsicht, ungewöhnlich!) wird der Graph geometrisch erst gestreckt/gestaucht/gespiegelt und dann verschoben, alles horizontal.

x y

1 1

13