Ich bin kein Titel.
Unvollständigkeit, Unentscheidbarkeit, Undenierbarkeit
Regula Krapf
Universität Bonn
14. März 2015
Ablauf
1 Einleitung
2 Die Peano-Arithmetik
3 Modelle der Peano-Arithmetik
4 Der 1. Gödelsche Unvollständigkeitssatz
5 Der 2. Gödel'sche Unvollständigkeitssatz
6 Schlussfolgerungen
Geschichtlicher Überblick
Hilbert-Programm: Vollständige und widerspruchsfreie Axiomatisierung der Mathematik
1889: Axiomatisierung der Arithmetik durch G. Peano (Peano-Arithmetik)
1908: Axiomatisierung der Mengenlehre durch E. Zermelo (ZFC)
1910: Principia Mathematica (Whitehead/Russell) 1929: Gödel'scher Vollständigkeitssatz
1931: Gödel'sche Unvollständigkeitssätze
Das Hilbert-Programm
Annahme: Konsistenz der Axiome der Mengenlehre kann gezeigt werden
Gesamte Mathematik kann axiomatisiert werden
Konsistenz kann bewiesen werden (2. Hilbert'sches Problem)
Nur mit Hilfe von nitären Methoden
Das Hilbert-Programm
Hilbert über die Gleichung x + y = y + x:
Eine solche Gleichung [...] wird nicht aufgefasst als eine Aussage über alle Zahlen. Vielmehr wird sie so gedeutet, dass ihr Sinn sich in einem Beweisverfahren erschöpft, bei welchem jeder Schritt eine vollständig aufweisbare Handlung ist, die nach festgesetzten Regeln
vollzogen wird.
Das Lügner-Paradoxon
Dieser Satz ist falsch.
Der Barbier des Dorfes rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren.
B. Russell
Die Nostalgie ist auch nicht mehr, was sie einmal war...
Das Lügner-Paradoxon
Dieser Satz ist falsch.
Der Barbier des Dorfes rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren.
B. Russell
Die Nostalgie ist auch nicht mehr, was sie einmal war...
Das Lügner-Paradoxon
Dieser Satz ist falsch.
Der Barbier des Dorfes rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren.
B. Russell
Die Nostalgie ist auch nicht mehr, was sie einmal war...
Zentrale Fragestellungen
Was ist Arithmetik? Wie können wir die Arithmetik formalisieren (bzw. axiomatisieren)?
Kann man die Arithmetik so beschreiben, dass jede Eigenschaft direkt aus den Axiomen folgt oder widerlegt werden kann?
Was ist Wahrheit und kann man den Wahrheitsbegri formalisieren?
Ist Wahrheit und Beweisbarkeit dasselbe?
Wie lässt sich das Lügnerparadoxon lösen?
Die natürlichen Zahlen
Was sind die natürlichen Zahlen?
Wie kann man sie widerspruchsfrei axiomatisieren?
Ist die Menge der natürlichen Zahlen eindeutig?
Was sind die natürlichen Zahlen?
Leopold Kronecker (1823-1891)
Die natürlichen Zahlen hat Gott gemacht, alles andere ist
Menschenwerk.
Die Sprache der Arithmetik
Die Sprache L PA besteht aus einem Konstantensymbol 0
einem einstelligen Funktionssymbol s
zwei binären Funktionssymbolen +, · .
Terme und Formeln
Terme
(T1) 0 ist ein Term
(T2) Jede Variable x ist ein Term
(T3) Falls t 0 , t 1 Terme sind, so auch st 0 , t 0 + t 1 und t 0 · t 1 . Formeln
(F1) Falls t 0 , t 1 Terme sind, so ist t 0 = t 1 eine Formel (F2) Ist ϕ eine Formel, so auch ¬ϕ
(F3) Sind ϕ, ψ Formeln, so auch ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ und ϕ → ψ
(F4) Ist ϕ eine Formel und x eine Variable, so sind ∃ x ϕ und ∀ x ϕ
Logische Axiome
Für Formeln ϕ, ϕ
0, ϕ
1, ϕ
2und ψ sind die folgenden Schemata logische Axiome:
ϕ → (ψ → ϕ) (L
1)
(ψ → (ϕ
0→ ϕ
1)) → ((ψ → ϕ
0) → (ψ → ϕ
1)) (L
2)
(ϕ ∧ ψ) → ϕ (L
3)
(ϕ ∧ ψ) → ψ (L
4)
ψ → (ϕ → (ϕ ∧ ψ)) (L
5)
ϕ → (ϕ ∨ ψ) (L
6)
ψ → (ϕ ∨ ψ) (L
7)
(ϕ
0→ ϕ
2) → ((ϕ
1→ ϕ
2) → ((ϕ
0∨ ϕ
1) → ϕ
2)) (L
8)
(ϕ → ψ) → ((ϕ → ¬ψ) → ¬ϕ) (L
9)
¬ϕ → (ϕ → ψ) (L
10)
ϕ ∨ ¬ϕ.
(L
11)
Logische Axiome
Für eine Formel ϕ und einen Term t sodass die Substitution ϕ(x /t) zulässig ist, dann
∀x ϕ( x ) → ϕ( t ) (L
12)
ϕ(t) → ∃x ϕ(x ).
(L
13)
Falls ψ eine Formel ist und t ein Term mit t ∈ / free (ψ) , so
∀x(ψ → ϕ(x )) → (ψ → ∀x ϕ(x )) (L
14)
∀ x (ϕ( x ) → ψ) → (∃ x ϕ( x ) → ψ).
(L
15)
Falls t , t
0, . . . , t
n−1, t
00, . . . , t
n0−1Terme sind, R ein n-stelliges Relationssymbol und F ein n-stelliges Funktionssymbol, so sind folgende logische Axiome:
t = t (L
16)
(t
0= t
00∧ · · · ∧ t
n−1= t
n0−1) → (R(t
0, . . . , t
n−1) → R(t
00, . . . , t
n0−1))
(L
17)
Inferenzregeln
Modus Ponens (MP): ϕ→ψ,ψ ϕ
Generalisierung ( ∀ ): ∀ ϕ x ϕ .
Die Peano-Arithmetik
(PA 1 ) ∀ x ¬( sx = 0 )
(PA 2 ) ∀ x ∀ y (sx = sy → x = y ) (PA 3 ) ∀ x ( x + 0 = x )
(PA 4 ) ∀ x ∀ y ( x + sy = s ( x + y )) (PA 5 ) ∀ x ( x · 0 = 0 )
(PA 6 ) ∀ x ∀ y ( x · sy = ( x · y ) + x )
(I ϕ ) ∀~ y [ ϕ(0, ~ y ) ∧ ∀ x ( ϕ(x , ~ y ) → ϕ(sx, ~ y ) ) → ∀ xϕ(x , ~ y ) ] , wobei ϕ
eine L PA -Formel mit free (ϕ) = { x , ~ y } ist.
Modelle der natürlichen Zahlen
Sei T eine Menge von Formeln, M eine Menge. Seien s M , + M , · M ein- bzw. zweistellige Funktionen auf M, und 0 M ∈ M. Sei
I : Var → M eine Variablenbelegung. Wir erweitern I auf Terme wie folgt: I ( 0 ) = 0 M , I ( st ) = s M ( I ( t )), I ( t 0 u t 1 ) = I ( t 0 ) u I ( t 1 ) . Dann denieren wir
( M , I ) | = s = t ⇐⇒ I ( s ) = I ( t )
( M , I ) | = ϕ ∧ ψ ⇐⇒ ( M , I ) | = ϕ und ( M , I ) | = ψ ( M , I ) | = ¬ϕ ⇐⇒ ( M , I ) 2 ϕ
( M , I ) | = ∃ x ϕ( x ) ⇐⇒ es existiert a ∈ M mit ( M , I
ax) | = ϕ( x ) , wobei I
axgleich wie I ist, ausser I ( x ) = a.
M ist ein Modell von T , falls für jede Variablenbelegung I und
jedes ϕ ∈ T , ( M , I ) | = ϕ .
Das Standardmodell N
Setze N = { 0 , s0 , ss0 , sss0 , ..., ssssssssss0 , ...} , d.h.
0 ist eine natürliche Zahl,
s ... s0 ist eine natürliche Zahl, wobei das Symbol s nur endlich oft vorkommt.
Aber... was heisst ENDLICH???
M.C. Escher, Drawing Hands
Konsistenz und Vollständigkeit
Denition
Eine Menge T von Formeln heisst
konsistent (widerspruchsfrei), falls es keine Formel gibt so dass T ` ϕ ∧ ¬ϕ
vollständig, falls für jede Aussage ϕ entweder T ` ϕ oder
T ` ¬ϕ .
Der Gödel'sche Vollständigkeitssatz
Theorem (Vollständigkeitssatz)
Eine Menge T von Formeln ist genau dann konsistent, wenn sie ein Modell hat.
Theorem (Kompaktheitssatz)
Eine Menge T von Formeln ist genau dann konsistent, wenn jede
endliche Teilmenge von T konsistent ist.
Der Gödel'sche Vollständigkeitssatz
Theorem (Vollständigkeitssatz)
Eine Menge T von Formeln ist genau dann konsistent, wenn sie ein Modell hat.
Theorem (Kompaktheitssatz)
Eine Menge T von Formeln ist genau dann konsistent, wenn jede
endliche Teilmenge von T konsistent ist.
Nichtstandardmodelle
Erweitere L PA zu L + PA = L PA ∪ { c } , c Konstantensymbol.
Betrachte PA + = PA ∪ { c 6= 0 , c 6= s0 , c 6= ss0 , · · · } .
Kompaktheitssatz ⇒ PA + hat ein Modell N. Dann: c N ist grösser
als jede Standardzahl!
Nichtstandardmodelle
Erweitere L PA zu L + PA = L PA ∪ { c } , c Konstantensymbol.
Betrachte PA + = PA ∪ { c 6= 0 , c 6= s0 , c 6= ss0 , · · · } .
Kompaktheitssatz ⇒ PA + hat ein Modell N. Dann: c N ist grösser
als jede Standardzahl!
Nichtstandardmodelle
Erweitere L PA zu L + PA = L PA ∪ { c } , c Konstantensymbol.
Betrachte PA + = PA ∪ { c 6= 0 , c 6= s0 , c 6= ss0 , · · · } .
Kompaktheitssatz ⇒ PA + hat ein Modell N. Dann: c N ist grösser
als jede Standardzahl!
Ist PA vollständig?
PA ist vollständig, falls für jede L PA -Formel ϕ entweder PA ` ϕ oder PA ` ¬ϕ gilt.
Theorem (1. Unvollständigkeitssatz)
PA ist unvollständig. Genauer, es gibt einen Satz G PA , sodass
PA 0 G PA und PA 0 ¬ G PA .
Ist PA vollständig?
PA ist vollständig, falls für jede L PA -Formel ϕ entweder PA ` ϕ oder PA ` ¬ϕ gilt.
Theorem (1. Unvollständigkeitssatz)
PA ist unvollständig. Genauer, es gibt einen Satz G PA , sodass
PA 0 G PA und PA 0 ¬ G PA .
Zahlentheorie in PA
In PA kann man zusätzliche
Relationen (z.B. x ≤ y :↔ ∃ x(x + r = y )) Funktionen (z.B.
x − y = z :↔ ( y ≤ x ∧ x = z + y ) ∨ ( x < y ∧ z = 0 ) ) einführen. Man kann elementar-zahlentheoretische Resultate beweisen wie
Kommutatitivität von + : PA ` ∀ x ∀ y ( x + y = y + x ) Jede Zahl hat einen Primteiler: ∀ x ∃ p(prime(p) ∧ p | x ) Lemma von Bézout:
PA ` ∀ x ∀ y (coprime(x , y ) → ∃ u ∃ v (ux + 1 = vy ))
Standardzahlen in PA
Für n ∈ N deniere
n = s . . . s
| {z }
n
0
Dann sind +, ·, s, = und alle zusätzlich denierten Funktionen und Relationen verträglich mit n 7→ n, z.B.
PA ` m + n = m + n für alle m , n ∈ N
m = n ⇔ PA ` m = n.
Standardzahlen in PA
Für n ∈ N deniere
n = s . . . s
| {z }
n
0
Dann sind +, ·, s, = und alle zusätzlich denierten Funktionen und Relationen verträglich mit n 7→ n, z.B.
PA ` m + n = m + n für alle m , n ∈ N
m = n ⇔ PA ` m = n.
Standardzahlen in PA
Für n ∈ N deniere
n = s . . . s
| {z }
n
0
Dann sind +, ·, s, = und alle zusätzlich denierten Funktionen und Relationen verträglich mit n 7→ n, z.B.
PA ` m + n = m + n für alle m , n ∈ N
m = n ⇔ PA ` m = n.
Die Gödel'sche β -Funktion
Man kann in PA eine binäre Funktion β einführen, sodass für jede endliche Folge c 0 , · · · , c n − 1 ∈ N (wobei n ∈ N) eine Zahl c ∈ N gibt mit
PA ` β( c , i ) = c i .
c kodiert length ( c ) ( = n) und ( c ) i = c i .
Kodierung endlicher Folgen
Beispiel.
Man deniert Potenzen als endliche Folgen in PA:
x k = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = sk ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < sk ((s ) si = x · (s ) i ) ∧ (s ) k = y ).
e.g. x 2 = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = 3 ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < 3 (( s ) si = x · ( s ) i ) ∧ ( s ) 2 = y ) ( s ) 0 = 1
( s ) 1 = x · 1 = x
x 2 = y = ( s ) 2 = x · x
Kodierung endlicher Folgen
Beispiel.
Man deniert Potenzen als endliche Folgen in PA:
x k = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = sk ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < sk ((s ) si = x · (s ) i ) ∧ (s ) k = y ).
e.g. x 2 = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = 3 ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < 3 (( s ) si = x · ( s ) i ) ∧ ( s ) 2 = y ) ( s ) 0 = 1
( s ) 1 = x · 1 = x x 2 = y = ( s ) 2 = x · x
s kodiert die Folge h 1, x , x · x i .
Kodierung endlicher Folgen
Beispiel.
Man deniert Potenzen als endliche Folgen in PA:
x k = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = sk ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < sk ((s ) si = x · (s ) i ) ∧ (s ) k = y ).
e.g. x 2 = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = 3 ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < 3 (( s ) si = x · ( s ) i ) ∧ ( s ) 2 = y ) ( s ) 0 = 1
( s ) 1 = x · 1 = x
x 2 = y = ( s ) 2 = x · x
Kodierung endlicher Folgen
Beispiel.
Man deniert Potenzen als endliche Folgen in PA:
x k = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = sk ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < sk ((s ) si = x · (s ) i ) ∧ (s ) k = y ).
e.g. x 2 = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = 3 ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < 3 (( s ) si = x · ( s ) i ) ∧ ( s ) 2 = y ) ( s ) 0 = 1
( s ) 1 = x · 1 = x x 2 = y = ( s ) 2 = x · x
s kodiert die Folge h 1, x , x · x i .
Kodierung endlicher Folgen
Beispiel.
Man deniert Potenzen als endliche Folgen in PA:
x k = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = sk ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < sk ((s ) si = x · (s ) i ) ∧ (s ) k = y ).
e.g. x 2 = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = 3 ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < 3 (( s ) si = x · ( s ) i ) ∧ ( s ) 2 = y ) ( s ) 0 = 1
( s ) 1 = x · 1 = x
x 2 = y = ( s ) 2 = x · x
Kodierung endlicher Folgen
Beispiel.
Man deniert Potenzen als endliche Folgen in PA:
x k = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = sk ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < sk ((s ) si = x · (s ) i ) ∧ (s ) k = y ).
e.g. x 2 = y :↔ ∃ s ( seq ( s ) ∧ length ( s ) = 3 ∧ ( s ) 0 = 1 ∧
∀ i < 3 (( s ) si = x · ( s ) i ) ∧ ( s ) 2 = y ) ( s ) 0 = 1
( s ) 1 = x · 1 = x x 2 = y = ( s ) 2 = x · x
s kodiert die Folge h 1, x , x · x i .
Gödelisierung
Symbol ζ Gödelzahl #ζ
0 2
s 4
+ 6
· 8
= 10
¬ 12
∧ 14
∃ 16
∨ 18
∀ 20
→ 22
Term τ Gödelzahl #τ
0 2
x n 2n + 1
s τ 2 # s · 3 #τ
τ 1 + τ 2 2 #+ · 3 #τ
1· 5 #τ
2τ 1 · τ 2 2 #· · 3 #τ
1· 5 #τ
2Gödelisierung
Formel ϕ Gödelzahl #ϕ τ 1 = τ 2 2 #= · 3 #τ
1· 5 #τ
2¬ψ 2 #¬ · 3 #ϕ ψ 1 ∧ ψ 2 2 #∧ · 3 #ψ
1· 5 #ψ
2ψ 1 ∨ ψ 2 2 #∨ · 3 #ψ
1· 5 #ψ
2ψ 1 → ψ 2 2 #→ · 3 #ψ
1· 5 #ψ
2∃ x ψ 2 #∃ · 3 # x · 5 #ψ
2∀ x ψ 2 #∀ · 3 # x · 5 #ψ
2Gödelisierung
Beispiel (Gödelisierung von s0 + 0)
#( s0 ) = 2 # s · 3 # 0 = 2 4 · 3 2 = 144
#( s0 + 0 ) = 2 #+ · 3 # s0 · 5 # 0 = 2 6 · 3 144 · 3 2 = 8 . 120460577 · 10 71
Gödelisierung
Beispiel (Gödelisierung von s0 + 0)
#( s0 ) = 2 # s · 3 # 0 = 2 4 · 3 2 = 144
#( s0 + 0 ) = 2 #+ · 3 # s0 · 5 # 0 = 2 6 · 3 144 · 3 2 = 8 . 120460577 · 10 71
Gödelisierung
Beispiel (Gödelisierung von s0 + 0)
#( s0 ) = 2 # s · 3 # 0 = 2 4 · 3 2 = 144
#( s0 + 0 ) = 2 #+ · 3 # s0 · 5 # 0 = 2 6 · 3 144 · 3 2 = 8 . 120460577 · 10 71
Gödelisierung
Gödelisierung in PA:
p ζ q := #ζ
für Symoble, Terme oder Formeln ζ . Dann kann man denieren var ( v ) :↔ ∃ n ( v = 2 · n + 1 ) ,
term ( t ) :↔ ∃ c [ seq ( c ) ∧ ( c ) length ( c )− 1 = t ∧ ∀ k < length ( c )
( var((c ) k ) ∨ (c ) k = p0q ∨ ∃ i < k ∃ j < k((c) k = 2 psq · 3 ( c )i
∨ (c) k = 2 p+q · 3 ( c )
i· 5 ( c )
j∨ (c) k = 2 p · q · 3 ( c )
i· 5 ( c )
j) )] . Analog deniert man Prädikate
formula ( f ), axiom ( a ), proof ( x , y ), provable ( x ) etc.
Gödelisierung
Proposition
Sei ϕ eine L PA -Formel ohne freie Variablen.
1
Falls PA ` ϕ , so gibt es ein n ∈ N mit PA ` proof ( n , p ϕ q ) .
2
Falls PA 0 ϕ , dann PA ` ¬ proof ( n , p ϕ q ) für jedes n ∈ N.
Das Fixpunktlemma
Theorem (Fixpunktlemma)
Für jede L PA -Formel ϕ( x 0 ) mit genau einer freien Variablen gibt es eine L PA -Formel σ ohne freie Variablen sodass
σ ≡ PA ϕ( x 0 / p σ q ).
Der 1. Unvollständigkeitssatz
Theorem (1. Gödel'scher Unvollsändigkeitssatz) Falls PA konsistent ist, so ist PA unvollständig.
Idee des Beweises: Konstruiere G PA sodass G PA sagt Ich bin nicht beweisbar.
Falls PA ` G PA , so ist G PA beweisbar!
Falls PA ` ¬ G PA , so ist ¬ G PA beweisbar, ¬ G PA sagt aber Ich bin beweisbar!
Also PA G .
Der 1. Unvollständigkeitssatz
Theorem (1. Gödel'scher Unvollsändigkeitssatz) Falls PA konsistent ist, so ist PA unvollständig.
Idee des Beweises: Konstruiere G PA sodass G PA sagt Ich bin nicht beweisbar.
Falls PA ` G PA , so ist G PA beweisbar!
Falls PA ` ¬ G PA , so ist ¬ G PA beweisbar, ¬ G PA sagt aber Ich bin beweisbar!
Also PA ` G PA .
Der 1. Unvollständigkeitssatz
Beweisskizze.
Zusätzliche Annahme: ω -Konsistenz, i.e. falls PA ` ∃ x ϕ( x ) , dann gibt es ein n ∈ N sodass PA 0 ¬ϕ( n ) .
Fixpunktlemma ⇒ es gibt eine Formel G
PAmit
G
PA≡
PA¬ provable ( pG
PAq ) ≡
PA¬∃ c proof ( c , pG
PAq ).
Falls PA ` G
PA, so gibt es ein n ∈ N mit PA ` proof ( n , pG
PAq ) . Falls PA ` ¬ G
PA, gibt es m ∈ N mit PA ` proof ( m , p ¬ G
PAq ) . Aber
¬ G
PA≡
PA∃ c proof ( c , pG
PAq ) i.e. PA ` ∃ d proof ( d , pG
PA∧ ¬ G
PAq ) .
Der 1. Unvollständigkeitssatz
Frage.
Wenn PA 0 G PA , könnte man nicht stattdessen PA + G PA
betrachten?
Reaktionen auf den 1. Unvollständigkeitssatz
However complicated a machine we construct, it will, if it is a machine, correspond to a formal system, which in turn will be liable
to the Gödel procedure for nding a formula unprovable in that system. This formula the machine will be unable to produce as true, although a mind can see that it is true. And so the machine
will not be an adequate model of the mind.
J.R. Lucas, in Minds, Machines and Gödel.
Reaktionen auf den 1. Unvollständigkeitssatz
Either mathematics is incompletable [...], that its evident axioms can never be comprised in a nite rule, that is to say, the human
mind (even within the realm of pure mathematics) ininitely surpasses the powers of any nite machine, or there exist absolutely
unsolvable diophantine equations
K. Gödel.
Unentscheidbarkeit
Denition
Eine Theorie T ist entscheidbar, falls es einen Algorithmus gibt, der entscheiden kann, ob ein Satz ϕ aus T folgt oder nicht.
Vollständige Theorien sind immer entscheidbar.
Unentscheidbarkeit
Denition
Eine Theorie T ist entscheidbar, falls es einen Algorithmus gibt, der entscheiden kann, ob ein Satz ϕ aus T folgt oder nicht.
Vollständige Theorien sind immer entscheidbar.
Berechenbarkeit
Denition
Ein Prädikat ist repräsentierbar, wenn es eine Formel ϕ( x ) gibt, sodass
1
Falls N | = P ( n ) , dann PA ` ϕ( n ) .
2
Falls N | = ¬ P ( n ) , dann PA ` ¬ϕ( n ) . Beispiel.
n ist gerade wird durch ∃ y ( x = 2 · y + 1 ) repräsentiert.
Theorem (Repräsentationssatz)
Alle rekursiven (berechenbaren) Funktionen und Prädikate sind in
Berechenbarkeit
Denition
Ein Prädikat ist repräsentierbar, wenn es eine Formel ϕ( x ) gibt, sodass
1
Falls N | = P ( n ) , dann PA ` ϕ( n ) .
2
Falls N | = ¬ P ( n ) , dann PA ` ¬ϕ( n ) . Beispiel.
n ist gerade wird durch ∃ y ( x = 2 · y + 1 ) repräsentiert.
Theorem (Repräsentationssatz)
Alle rekursiven (berechenbaren) Funktionen und Prädikate sind in
PA repräsentierbar.
Berechenbarkeit
Denition
Ein Prädikat ist repräsentierbar, wenn es eine Formel ϕ( x ) gibt, sodass
1
Falls N | = P ( n ) , dann PA ` ϕ( n ) .
2
Falls N | = ¬ P ( n ) , dann PA ` ¬ϕ( n ) . Beispiel.
n ist gerade wird durch ∃ y ( x = 2 · y + 1 ) repräsentiert.
Theorem (Repräsentationssatz)
Alle rekursiven (berechenbaren) Funktionen und Prädikate sind in
Unentscheidbarkeit
Theorem (Theorem von Church) PA ist unentscheidbar.
Beweisskizze.
Falls nicht, so ist PA ` α rekursiv, d.h. es gibt ϕ( x ) mit
1
PA ` α ⇒ PA ` ϕ( p α q )
2
PA 0 α ⇒ PA ` ¬ϕ( p α q ) .
Fixpunktlemma ⇒ es gibt σ mit σ ≡ ¬ϕ( p σ q ).
Unentscheidbarkeit
Theorem (Theorem von Church) PA ist unentscheidbar.
Beweisskizze.
Falls nicht, so ist PA ` α rekursiv, d.h. es gibt ϕ( x ) mit
1
PA ` α ⇒ PA ` ϕ( p α q )
2
