Prof. Dr. Dr. Birger Kollmeier Aufgabenblatt 5
Hendrik Kayser 11.01.2005
Ubungsaufgaben zur ¨
physikalischen Messtechnik und Signalverarbeitung
1. Zeige f¨ur folgende Experimente die Zufallsvariablen, den Ereignisraum, die Potenzmenge (bzw.σ-Algebra) des Ereignisraumes, das Wahrscheinlichkeitsmaß, die Verteilungsfunktion und die Verteilungsdichtefunktion auf:
a) M¨unzwurf(einfach bzw. n-fach) b) Lottospiel (6 aus 49)
c) Vordiploms-Note in Mathematik d) Gewichtszunahme bei Mensag¨asten
2. Berechne die MomenteYk der Verteilungsdichtefunktionf(x) mitYk=
∞
R
−∞
xkf(x)dx sowie die charakteristische Funktionϕ(z) =F−1(f(x)) (inverse Fouriertransformation von f(x)), und ¨uberpr¨ufe den Zusammenhang zwischenYkund dzdk
ϕ(z)
z=0f¨ur die folgenden Verteilungen:
a) f(x) = √1
2πσe−
(x−µ)2
2σ2 Normalverteilung
b) f(x) =
∞
P
k=0
e−λt(λt)k!k ·δ(x−k) Poissonverteilung
c) f(x) = (1
a, 0≤x≤a
0, sonst Gleichverteilung
3. Zeige, dassSn =
1 N
N
P
i=1
(xi−µ)2 12
ein erwartungstreuer Sch¨atzer f¨urσist, sofern die xi
unabh¨angige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswertµ und Standardab- weichungσsind.
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