Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen f¨ ur Lehramt Regelschule (SS 2013) – Blatt 2

Dr. H. Kempka

Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen f¨ ur Lehramt Regelschule (SS 2013) – Blatt 2

1. (a) Beweisen Sie die folgende Aussage (Fixpunktsatz von Weissinger):

Es sei (E,k · k) ein Banachraum,A :E →E eine Abbildung und {an}^∞_n=1 eine Folge positiver reeller Zahlen mit

∞

X

n=1

a_n<∞.

F¨ur alle e₁, e₂ ∈E und n∈N gelte

kAⁿe₁−Aⁿe₂k ≤a_nke₁−e₂k.

Dann hatA genau einen Fixpunkt e. Dieser ist der Grenzwert der Folge {A_ne₀}^∞_n=1 mit beliebigem Startwerte₀.

(b) Folgern Sie den Banachschen Fixpunktsatz aus Teil (a).

2. Zeigen Sie, dass durch

f(x) = x+ 2 x+ 1

eine kontrahierende Selbstabbildungf : [1,2]→[1,2] definiert wird und be- stimmen Sie den Fixpunkt.

3. Zeigen Sie, dass die Gleichung

2x−sinx= 1 2

genau eine L¨osung auf [0,^π₂] besitzt. Bestimmen Sie diese auf 2 Stellen genau.