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12. Klasse T OP 10 Grund wissen 12 K er ns ¨atze K
BlattaufDINA3vergr¨oßern,KarteikartenausschneidenundR¨uckseiteanR¨uckseitezusammenkleben! Integration 121 WieberechnetmanIntegrale,z.B. R2 −1(4x−7)dx? WieisteinsolchesIntegralzudeu- ten? WieberechnetmandieFl¨acheA zwischenzweiKurven?Wendepunkte,Integralfkten 122 WieuntersuchtmaneineFunktion aufWendepunkte? WasbesagtderHauptsatzder Differential-undIntegralrech- nung?
E(X),Binomialverteilung 123 WieberechnetmanallgemeinEr- wartungswerte? F¨urBinomalvert./Bernoullikette: E(X)=?,V(X)=?, Pn=50,p=0,85(X=48)=?, Pn=50,p=0,85(X≥48)=?
TestenvonHypothesen 124 WelcheVorgehensweiseliegtbei Hypothesentestsmeistvor,z.B.: DieVermutung ”Trefferw.p> 0,85“sollauf1%-Niveauhoch- signifikant ”bewiesen“werdenbei Stichprobenl¨angen=50
Geradengleichungen 125 WiesindimRaumGeradengge- geben?WiedieGeradedurchzwei PunkteA,B? Wiepr¨uftman,obPaufgliegt? WieberechnetmandenAbstand einesPunktesvoneinerGeraden? L121 StammfunktionF(alsomitF0 = f)auswerten ”Ober-minusUnter- grenze“,z.B.
R2 −1(4x−7)dx= [2x2−7x]2 −1=−6−8=−14. Fl¨achenbilanzderober-/unterhalb derx-AchseliegendenFl¨achen. A: ”Ober-minusUnterkurve“.
L122 f00 (x)=0l¨osenundVorzei- chenbereichebetrachten(f00 > 0:linksgekr¨ummt),Stellemit Kr¨ummunngswechselistWP. HdI:DieAbleitungderIntegral- funktionI(x)=
Rx af(t)dtergibt denIntegranden:I0=f.
L123 E(X)= ”SummeWertximalW. P(X=xi)“(→Merkhilfe). Bin.vert.:E(X)=np,V(X)=npq, P...(X=48)=n k pkqn−k= =50 48 0,8548 0,152 =0,01128, P...(X≥48)=1−P...(X≤47)= =1−0,9858=0,0142(→Tafel).
L124 H0:p≤0,85,H1:p>0,85 Entscheidungsregel:H0ablehnen, fallsTrefferzahlk≥k0. k0wirdsobestimmt,dassα= PH0(H0abgelehnt)= =Pn=50,p=0,85(k≥k0)≤0,01 (Stochastik-Tafelhier→k0=49).
L125 g:~ X
=
~ A+λ~umitAufpunktA undRichtungsvektor~u, ~ XAB:
=
~ A+λ(
~ B−
~ A). Peinsetzen,dreiGleichungenf¨ur gleichesλ. Fußpunktalsallg.Geradenpunkt −−→ ansetzen,PF◦~u=0. Ebenengleichungen 126 WiesindEbeneninParameter- formgegeben? WiestelltmaneineEbenedurch dreiPunkteA,B,Cauf?
Ebenen-NormalenformundHNF 127 WieberechnetmanausE:~ X
=
~ A+λu+µ~vdieNormalenform E:nx+nx+nx=d?112233 Wief¨alltmaneinLotvonPaufE? WiebestimmtmanHesse-Nor- malformundAbstandd(P,E)?
LagebeziehungGerade–Gerade 128 Wiebestimmtmandiegegenseiti- geLagezweierGeraden? WiegegebenenfallsdenSchnitt- winkelϕ?
LagebeziehungGerade–Ebene 129 Wiebestimmtmandiegegenseiti- geLageGeradeg–EbeneE? Wieggf.denSchnittwinkelψ? Vonwelcher ”Bauart“sindAch- senpunktez.B.aufderx3-Achse? WelcheGl.hatdiex2x3-Ebene?
LagebeziehungEbene–Ebene 120 Wieerkenntmandiegegenseitige LagezweierEbenen? Wiebestimmtmangegebenen- fallsdieSchnittgeradesundden Schnittwinkelϕ? L126 AufpunktAundzweiRichtungs- vektoren~u,~v: E:~ X
=
~ A+λ~u+µ~v. ~ XDrei-Punkte-Gleichung:E:
=
~ A+λ(
~ B−
~ A)+µ(
~ C−
~ A).
L127 Normalvektor~n=~u×~v,Ansatz n1x1+...=d,Aeinsetzen→d. Lotgerade(AufpunktP,Rich- tungsvektor~n)mitEschneiden. HNF:Ebenengl.durch±|~n|teilen, d(P,E):PunktinTermderHNF einsetzen.
L128 Richtungsvektorenparallel? •Fallsja:AufpunktdereinenGe- radenindieandereeinsetzen→ identischoderechtparallel. •Fallsnein:Gleichsetzen→ Schnittpunktoderwindschief. cosϕ=|~u◦~v| |~u|·|~v|.
L129 Allg.GeradenpunktinEeinset- zen→schneidensich
( ”λ=...“) bzw.GeradeinderEbene
( ”0= 0“)bzw.echtparallel
( ”1=0“). |~u◦~n| sinψ=.|~u|·|~n| A(0|0|x).33 xx-Ebene:x=0.231
L120 Normalvektorenparallel? →Ebenenidentischoderechtpar- allelodersichschneidend. s:Unterbest.Gl.systeml¨osen(ei- neVariable ”freierWunsch“λ,an- deredurchλausdr¨ucken). cosϕ=|~n1◦~n2| |~n1|·|~n2|.
