1LoesungenzuAnalysis1/3.Uebung 1.1Einleitung

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1 Loesungen zu Analysis 1/ 3.Uebung

1.1 Einleitung

Die Arten, wie man vollstaendige Induktion anwenden kann, sind vielfaeltig.

Gewoehnlicher Weise, so auch in der Vorlesung, wird fuer die vollstaendige Induktion N herangezogen. Gibt man sich eine abzaehlbare Menge von Objekten vor und weiss man, das ein Objekt eine gewuenschte Eigenschaft besitzt, so kann man versuchen mit Hilfe der vollstaendigen Induktion, die Eigenschaft fuer alle Elemente der Menge nachzuweisen. Die Objekte mues- sen keine Zahlen, Gleichungen oder arithmetischen Aussagen sein. Es koennen auch Beweise, Baeume oder Terme sein. Die Induktion wird dann zum Beispiel nach der Beweislaenge, der Baumhoehe oder der Komplexitaet der Terme gefuehrt. Verallgemeinert man die Induktion auf groessere Mengen als N ist Vorsicht geboten. Man kann unter Zuhilfenahme des Auswahlsaxiom ¹ statt N auch wohlgeordneteMengen² betrachten. Eine wohlgeordnete Menge ist genau zu einer sogenannten Ordinalzahl (auch Kardinalzahl) isomororph, zum Beispiel ℵ₀,ℵ₁. Der Unterschied in der Anwendung der Induktion liegt darin, dass es Zahlen gibt die nur ueber Grenzwerte definiert sind (Limeszah- len) und die somit wie 1 keinen Vorgaenger besitzen. Es ist daher nur mehr die Induktionsvariante, die man fuer das 6. Beispiel verwendet gueltig, weil zumindest eine ganze Folge von Objekten betrachtet werden muss, um eine Eigenschaft fuer das Limesobjekt nachzuweisen. Die Induktion wird dann auch transfinite Induktion genannt.

Nach diesen einleitenden Worten nun zu den ausgewaehlten Beispielen:

8. Beispiel Sei p, q∈Z. Zu zeigen die Menge M :={r∈Z: p < r < q}

ist endlich.

Die Definition von Endlichkeit besagt, dass es ein k ∈Ngibt und eine bijek- tive Abbildung ϕ: M →[1, k] :={n ∈N: n ≤k}.

Wir zeigen zuerst ∀n ∈N: +n: Z→Z, z →z+n ist bijektiv.

In der Vorlesung wurde gezeigt, dass aus v ≤w⇒ ∀z ∈ Z: v+z ≤w+z.

Damit ist die Abbildung +n ordnungsvertraeglich.

Durch Einsetzen erhaelt man, dass fuer alle z ∈ Z und alle n ∈ Z gilt (+−n)◦(+n)(z) =z+ (−n) +n=z =z+n+ (−n) = (+n)◦(+−n)(z) und damit +n eine Bijektion von Z→Z ist.

1Fuer die Induktion inNbraucht man nur eine schwaechere Form des Auswahlaxioms

2Wohlgeordnete Mengen = Totalgeordnete Mengen in denen jedes Element einen Nach- folger besitzt, oder in der jede Teilmenge ein Minimum besitzt

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Nun waehlen wir ϕ = +1−p ↾ M, und erkennen, dass durch die Vertraeg- lichkeit mit ≤ gilt +1−p(M) = [1, q−p+ 1] ⊂ N und somit haben wir die Endlichkeit von M nachgewiesen.

9. Beispiel Wir zeigen

x^−p = 1 x

p

(1) Beweis

(1) : Die Definition von

x^p=







x^p :p∈N 1 :p= 0

1

x^−p :−p∈N .

Wir setzen als −p ein und erhalten

x^−p=







x^−p :−p∈N 1 :p= 0

1

x^p :p∈N Somit istx^px^−p = 1.

Um die Fallunterscheidungen im Beweis zu reduzieren zeigen wir:

x^p =x^p−sgn(p)·x^sgn(p) (2)

Beweis

(2) : Fuer p= 0 gilt durch Einsetzen 1 = 1. Fuerp >0 gilt x^p =x^p−1x

und

x^−p = 1 x^p = 1

x^p−1 1 x.

Die erste Aussage gilt nach Definition, die zweite, da (1) und x^p 1

x^p−1 =xx^p−1 1 x^p−1 =x gelten.

Wir zeigen

x^px^q =x^p+q (3)

Beweis

(3) : Auf Grund der Kommutativitaet von·und + reicht es den Fall |p| ≥ |q|zu untersuchen. Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach|p|: Ausserdem starten wir mit p= 0, was zulaessig ist, da +1 : N∪ {0} →Nbijektiv ist.

(3)

(IA) |p|= 0 : x⁰x⁰ = 1

(IS) Angenommen ∀p ∈ Z: |p| ≤n und ∀q ∈ Z mit |q| ≤ |p|gilt: x^px^q = x^p+q. Wir zeigen die Aussage fuer |p|=n+ 1, ∀q∈Zmit|p| ≥ |q|.

Wir betrachten zuerst den Fall |p|>|q|. Hier schreiben wir

x^px^q⁽²⁾= x^sgn(p)x^p−sgn(p)x^q =

|p−sgn(p)|<|p|

= x^sgn(p)x^p−sgn(p)+q =

|q|<|p+q|

= x^sgn(p+q)xp+q−sgn(p+q) (2)= x^p+q Somit bleibt noch der Fall |p| = |q|. Hier koennen wir annehmen sgn(p) = sgn(q), da sonst die Behauptung schon per Definition be- wiesen ist, und reduzieren auf den Fall |p|>|q|indem wir schreiben:

x^px^q⁽²⁾= x^px^q−sgn(q)x^sgn(q)=

Fall|p|>|q|

= x^p+q−sgn(q)x^sgn(q)=

sgn(p) = sgn(q)

= xp+q−sgn(p+q)xsgn(p+q) (2)= x^p+q

Fuer die naechste Aussage geht man analog vor:

(x^p)^q =x^pq. (4)

Wir machen eine doppelte Induktion: Die Aussage Aist dabei von der Form

∀p∀q : A(p, q). Wir zeigen dann im wesentlichen ∀q : A(1, q) wahr und aus

∀q : A(p, q) wahr, folgt ∀q : A(p+ 1, q) wahr. Dabei verwenden wir zum Nachweis von ∀q:A(p, q) Induktion nach q.

Beweis

(4) : Wieder beginnen wir, wie bei (3) mit p= 0 und lassen die Induktion nach

|p|,|q|laufen:

(IA f.p) |p|= 0 : (x⁰)^q = 1 =x^0·q

(IS f. p) Gelte fuer alle |p| ≤nund alle q∈Zdie Aussage. Sei nun|p|=n+ 1 (IA f.q) q = 0 : (x^p)⁰ = 1 = x^(p)·0 und q = 1 : (x^p)¹ = x^p·1 und q = −1 : (x^p)⁻¹ = x^p·(−1) Den Fall |q| = 1 benoetigen wir im (IS) fuer die Aussage |sgn(q)|= 1 .

(4)

(IS f. q) Angenommen die Aussage gilt fuer alle q ∈ Z mit |q| ≤ m. Wir untersuchen den Fall |q|=m+ 1:

(x^p)^q= (x^p)^q−sgn(q)(x^p)^sgn(q) =

|q−sgn(q)|<|q|,|sgn(q)|= 1

= xp(q−sgn(q))x^p·sgn(q)=

(3)= xpq−p·sgn(q)+p·sgn(q)=x^pq

10.Beispiel Wir bestimmen fuer einen archimedisch angeordneten Koerper K und die Menge

M :=

(−1)ⁿ+ 2

n : n ∈N

⊂K Infimum, Supremum, Minimum und Maximum falls existent.

Wir zeigen

• 2 ∈ M und ∀m ∈ M : m ≤2, somit nach Bsp. 8 der letzten Uebung 2 = maxM = supM.

Beweis : Fuern >2 gilt_n² >1 und somit 2>1+_n² >(−1)ⁿ+²_n. Andererseits ist fuern= 1 die Zahl (−1)¹+₁² = 1<2 und fuern= 2 gilt (−1)²+₂² = 2.

Damit ist 2∈M und∀m∈M : m≤2.

• ∀m ∈M :−1< m und damit ist −1∈U(M).

Beweis : −1<−1 +_n² <(−1)ⁿ+_n², da ²_n ∈P liegt.

• infM =−1

Beweis : Wir waehlen ein beliebiges u∈K mit u >−1 und zeigen u 6∈U(M).

Es ist also u+ 1>0. Somit gilt aber es gibt ein n₀ ∈N, sodass 0< 2

n0 ≤u+ 1,

da der Koerper archimedisch angeordnet ist und nicht gelten kann

∀n∈N: 2

n > uwas zu∀n∈N: 2 u > n

aequivalent ist. Wir koennen ohne Beschraenkung der Allgemeinheit diesesn₀ ungerade voraussetzen, da

∀n∈N: 1 n+ 1 < 1

n.

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Nun ist −1 +−_n²₀∈M und damit

−1<−1 + 2 n0 ≤u

undukeine untere Schranke. Daubeliebig aus (−1,∞) gewaehlt wurde ist U(M)∩(−1,∞) =∅ und damit −1 = infM.