1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung
1.1 Einleitung
Gegeben Mengen X, A mit A ⊆ X. Sei die Menge durch A = {a ∈ X : a erfuellt B} gegeben, wobei B die Abkuerung fuer eine Bedingung ist, Z.B.
a ist gerade. Dann koennen wir fuer X\A schreiben:
Ac ={a∈X : a erfuellt nicht B}
Dadurch verschiebt sich das Problem X/A zu bilden, in das Problem das logische Komplement der Bedingung B zu bilden.
Durch Betrachtung der Wahrheitstafeln stellt man schnell die Gleichheit fol- gender Ausdruecke fest, wobei wir fuer ’und’ ∧, fuer ’oder’∨und fuer ’nicht’
¬ schreiben. Des weiteren seien a, b, c entweder ’wahr’ = 1 oder ’falsch’ = 0:
• a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
• (a∨b)∧c= (a∧c)∨(b∧c)
• ¬a∨ ¬b =¬(a∧b)
• ¬a∧ ¬b =¬(a∨b)
Seien nun B, C : X → {0,1} Funktionen, die Bedingungen kodieren, Z.B.
B : N→ {0,1},
(B(n) = 0 falls n gerade B(n) = 1 falls n ungerade
Wir sagen dann x erfuellt B, wenn B(x) = 1. Somit koennen wir, statt B(x) = 1, einfach B(x) schreiben. Die Aussagen der ’Logik’ sind jetzt mit Mitteln der Analysis fassbar.
Wir wenden diese Erkenntnis an:
∀x ∈ X B(x) = 1 bedeutet, dass B(x) die Funktion ist, die ganz X auf 1 abbildet. Die Menge der Funktionen von X → {0,1}, die nicht gleich B sind, also alle C im Komplement von B, erfuellen genau die Formel ∃x ∈ X, C(x) = 0. Und somit schliessen wir
¬(∀x∈ X, B(x) = 1)⇔(∃x∈X, B(x) = 0).
Umgekehrt ∃x ∈ X, B(x) = 1 sind alle Funktionen die nicht gleich der konstanten 0 Funktion sind und damit ist
∀x∈X, B(x) = 0⇔ ¬(∃x∈ X, B(x) = 1) das Komplement und somit die Negation in X.
3. Beispiel
1. Teil Wir geben uns eine beliebige Grundmenge X vor, in der das Komple- ment zu bilden ist. Falls wir keine Menge X angeben macht c keinen Sinn. Die allgemeine Aussage ist naemlich im Sinne ’fuer alle Mengen gilt’ zu verstehen.
Z.z. [
i∈I
(Xi∪Yi)
!c
= \
i∈I
Xic
!
∩ \
i∈I
Yic
!
Wir reduzieren zuerst durch Anwendung der im Beispiel 1 gezeigten Morganschen Regeln:
[
i∈I
(Xi∪Yi)
!c
= [
i∈I
(Xi)∪[
i∈I
Yi)
!c
= [
i∈I
(Xi)
!c
∩ [
i∈I
Yi)
!c
. Z.z. bleibt
[
i∈I
(Xi)
!c
=\
i∈I
Xic
Wir verwenden die in der Einleitung beschriebenen Regeln fuer die Komplementbildung und die Definitionen von Komplement, Durch- schnitt und Vereinigung:
[
i∈I
(Xi)
!c
={x∈X : ∃i∈I, x∈Xi}c =
={x∈X : ∀i∈I, x6∈Xi}=
={x∈X : ∀i∈ I, x∈Xic}=\
i∈I
Xic
2. Teil
z.Z. [
i∈I
(Xi)
!
∩ [
i∈I
(Yi)
!
= [
(i,j)∈I×I
(Xi∩Yj)
[
i∈I
(Xi)
!
∩ [
i∈I
(Yi)
!
= (
x: x∈[
i∈I
(Xi) und x∈[
i∈I
(Xi) )
=
={x: ∃i∈I, x∈Xi und ∃j ∈I, x∈Yj}=
={x: ∃i∈I,∃j ∈I, x∈Xi∩Yj}= [
(i,j)∈I×I
(Xi∩Yj)
4. Beispiel Sei A ⊆ P und
B:={B : ∃C ⊆ A, B = [
C∈C
C}.
Die Definition vonBstimmt offensichtlich mit der Angabe ueberein, da jeder Familie von Mengen, die Menge der Mitglieder der Familie zugeordnet werden kann. Die Zuordnung ist zwar nicht bijektiv, da man zu ein und der selben Menge von Mengen, verschiedenste Indexmengen finden kann. Das stoert jedoch nicht da ohnehin ueber die Familie vereinigt wird. Gerade wenn es darum geht Mengen zu ordnen, Z.B. durch I =N ist die Indexschreibweise sinnvoll.
Sei (Bi)i∈I eine Familie von Mengen mit Bi ∈ B.
Wir zeigen B =[
i∈I
Bi ∈ B.
Dazu benuetzen wir, dass fuer alle Bi ein Ji und eine Familie von (Aj)j∈Ji
existiert, sodass Bi =S
j∈JiAj. Wir setzen ein:
B =[
i∈I
[
j∈Ji
Aj = (
b: ∃i∈I, b∈ [
j∈Ji
Aj
)
=
={b : ∃i∈I, ∃j ∈Ji, b∈Aj}={b: ∃i,∃j, i ∈I, j ∈Ji, b∈Aj}=
={b: ∃j,∃i∈I, j ∈Ji
| {z }
j∈S
i∈IJi
, b∈Aj}= [
j∈S
i∈IJi
Aj
Damit liegt B inB.
7. Beispiel Q, die rationalen Zahlen, sind, wie aus der Schule bekannt, alle Brueche. Zwei Brueche sind gleich wenn sie die selbe ’Dezimalzahl’ ergeben, d.h. wenn wir bei der Division ’Zaehler’ durch ’Nenner’ das gleiche Ergeb- niss erhalten, oder anders ausgedrueckt, wenn Zaehler und Nenner kuerzbar sind. Die groesste Zahl durch die man einen Bruch mn kuerzen kann heisst bekanntlich der groesste gemeinsame Teiler ggT(n, m).
Mit diesem Wissen loesen wir das Beispiel: Gegeben: f : Z×N → Q mit (z, n)→ nz
f ist klarerweise surjektiv, da man alle Brueche erzeugt, nicht injektiv, weil f(1,2) = f(2,4) (das reicht, um ∀x, y ∈ Z×N(f(x) =f(y)⇒x=y) zu widerlegen). Damit ist f auch nicht bijektiv.
Wir behaupten f ↾ {(z, n) : ggT(|z|, n) = 1, z 6= 0} ∪ {(0,1)} ist bijektiv.
Wir verwenden den Betrag |z| und z 6= 0, da in der Schule der ggT(., .) nur fuer Zahlen aus N definiert wird.
Surjektivitaet gilt, weil jeder Bruch nz durch ggT(|z|, n) kuerzbar ist.
Wir zeigen die Injektivitaet: Man weiss zn = nz′′ ⇔z·n′ =z′ ·n und deshalb muss z, n′ das Produkt z′ ·n teilen. Wegen des ggT(|z|, n) = 1 gibt es ein k, k′ ∈Nmit k·n=n′,k′·n′ =n und damit k=k′ = 1, n =n′,z =z′ und die Abbildung ist injektiv.
8. Beispiel Gegeben ist f : M →N und F, G⊆N.
Wir berechnen das vollstaendige Urbild des Schnittes und der Vereinigung von F und G. Das vollstaendige Urbild ist nur im Falle der Bijektivitaet von f eine Funktion von N → M. Um diesen Umstand zu kennzeichnen kann man das Argument in eckige Klammern schreiben, also Z.B. f−1[F].
f−1[F ∩G] ={x∈M : f(x)∈F ∩G}=
={x∈M : f(x)∈F und f(x)∈G}=
={x∈M : f(x)∈ F} ∩ {x∈M : f(x)∈G} =f−1[F]∩f−1[G].
f−1[F ∪G] ={x∈M : f(x)∈F ∪G}=
={x∈M : f(x)∈F oder f(x)∈G}=
={x∈M : f(x)∈ F} ∪ {x∈M : f(x)∈G} =f−1[F]∪f−1[G].
Man beachte: Damit Z.B. f(x) ∈ F ein sinnvoller Ausdruck ist, muss f wohldefiniert sein.
Sei zusaetzlich A⊆B ⊆M. Wir betrachten
f(A) =f(A∩B) ={y ∈N : y=f(x) und x∈A∩B}=
={y∈N : y =f(x) und x∈A und x∈B}
⊆
{y ∈N : y=f(x) und (x∈A oderx∈B)}=
={y∈N : y=f(x) und x∈A∩B}=f(A∪B) =f(B).
Im Falle F ⊆ G⊆ N schliessen wir aus dem ersten Teil des Beispiels sofort f−1[F] =f−1[F∩G] =f−1[F]∩f−1[G]⊆(f−1[F])∪(f−1[G]) =f−1[F∪G] = f−1[G].
9. Beispiel f sei wie im 8. Beispiel. A, B ⊆M. f(A∪B) ={y ∈N : ∃x∈A∪B, f(x) =y}=
={y∈N : (∃x∈A, f(x) =y) oder (∃x∈B, f(x) =y)}=
=f(A)∪f(B) Wir sehen zum Unterschied von Beispiel 8. dass in der Beschreibung der Menge ein Existenzquantor auftritt, der aber mit ’oder’ distribuiert also:
∃xB(x)∨ ∃xC(x) =∃x(B(x)∨C(x)) Im Unterschied dazu ist
f(A∩B) ={y ∈N : ∃x∈A∧x∈B∧f(x) =y}
⊆
{y∈N : ∃x(x∈A∧f(x) =y)∧ ∃x(x∈B∧f(x) = y)}=f(A)∩f(B) Und distribuiert naemlich nur mit dem ∀ Quantor.
Ein Gegenbeispiel reicht aber fuer den Beweis ebenso: M ={1,2}, A={1}, B = {2} und N = {a}, f sei die Funktion die alle m ∈ M auf a abbildet.
Folglich ist ∅=f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) =N.
10. Beispiel GegebenM ={1,2, . . . ,10},N ={2,3, . . . ,9}und f : N → M, f(n) =n+ 1.
Wenn wir f zu einer Funktion g mit Definitionsbereich M fortsetzen wol- len, muessen wir entscheiden auf welche Elemente die Elemente 1 und 10 abgebildet werden.
Offensichtlich kann das Paar (g(1), g(10)) beliebig inM×M gewaehlt werden, um g zur Funktion zu machen. Somit haben wir 10·10 = 100 Moeglichkeiten einer Fortsetzung.
Wenn g surjektiv werden soll muss g({1,10}) = {1,2} sein. Damit bleiben aber nur 2 Moeglichkeiten. 1 →1, 10→2 oder 1→ 2, 10→1. Wir sehen, dass in diesem Fall g sogar bijektiv ist.
