P12.1 - Maxwell-Konstruktion f¨ ur das van der Waals Gas in der N¨ ahe des kritischen Punktes

P21 Statistische Physik WS 17/18 Prof. Jan Plefka Ubungsserie 12 ¨

Abgabe der Haus¨ ubungen am 24.01.2018 Pr¨ asenz¨ ubungen

P12.1 - Maxwell-Konstruktion f¨ ur das van der Waals Gas in der N¨ ahe des kritischen Punktes

In der Vorlesung hatten wir die van der Waals Zustandgleichung in der Umgebung des kritischen Punktes gen¨ ahert durch

∆p ^∗ = 4∆T ^∗ − 6∆T ^∗ ∆v ^∗ − 3

2 (∆v ^∗ ) ³ ,

wobei A ^∗ = A/A _c = 1+∆A ^∗ f¨ ur A ∈ {p,v,T } die Abweichung vom kritischen Wert ist. F¨ uhren Sie nun f¨ ur dieses Gesetz die Maxwell-Konstruktion durch! Hier lag f¨ ur T < T c gerade die Koexistenz von Fl¨ ussigkeit und Gas vor und zwischen v ₁ und v ₂ wird der Druck abweichend vom vdW-Gesetz als konstant mit p ₀ angenommen. Diese Punkte sind durch die Forderungen

Z v

v

dv p(v) = (v ₂ − v ₁ ) p ₀ p ₀ = p(v ₂ ,T ) = p(v ₁ ,T ) definiert.

a) Skizzieren Sie die Maxwellkonstruktion f¨ ur eine Isotherme mit T < T _c .

b) Wir betrachten nun die oberen beiden Gleichungen als ein Gleichungssytem f¨ ur ∆v ₁ ^∗ (T ) und

∆v ^∗ ₂ (T ). Zeigen Sie, dass ∆v ₁ ^∗ = −∆v ₂ ^∗ = √

−4∆T ^∗ eine L¨ osung dieser Gleichungen ist.

Argumentieren Sie, warum dies die Richtige ist!

c) Leiten Sie den Rand des Koexistenzbereiches im p − V Diagramm her. D.h. zeigen Sie, dass die Kruve ∆p ^∗ = −(∆v ^∗ ) ² diesen begrenzt.

Haus¨ ubungen

H12.1 - Entropie und thermodynamische Prozesse beim van der Waals Gas [2P]

In der Vorlesung wurde die freie Energie des van der Waals Gases zu F = −kT N log

V − N b λ ³ N

− N ² a

V − N kT bestimmt, wobei wir Terme der Ordnung O(log N ) vernachl¨ assigt haben.

i) Zeigen Sie, dass die Entropie durch S = S ideales Gas + N k log(1 − ^{N b} _V ) gegeben ist.

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ii) Leiten Sie die Korrekturen zum Verhalten des idealen Gases V T ^3/2 = const bei reversibel adiabatischen Prozessen f¨ ur das van der Waals Gas her.

iii) Wie ¨ andert sich die Temperatur eines isolierten (d.h. E = const) van der Waals Gases bei einer Volumen¨ anderung von V ₁ auf V ₂ ?

Aufgabe H12.1 - Pauli-Paramagnetismus [2P]

Man betrachte die kanonische Gesamtheit eines Systems aus N wechselwirkungsfreien, r¨ aumlich fixierten, d.h. unterscheidbaren Spins S = 1/2, die sich in einem homogenen ¨ außeren Magnetfeld B befinden. Der Hamiltonoperator ist dann durch

H ˆ = 2µ _B

~

N

X

i=1

ˆ S _i · B

gegeben, wobei µ _B = e _o ~ /2mc das Bohrsche Magneton bezeichnet. W¨ ahlen Sie geeignete Eigen- zust¨ ande, in denen der Hamiltonoperator eine besonders einfache Form annimmt und bestimmen Sie damit

a) die m¨ oglichen Energieeigenwerte und ihre Entartungsgrade b) die kanonische Zustandssumme Z(T,B), wobei B = |B|.

c) die freie Energie, die innere Energie sowie die Entropie d) die W¨ armekapazit¨ at c _B = T ^∂S _∂T

B

e) das mittlere magnetische Gesamtmoment:

M =

* 2µ _B

~

N

X

i=1

ˆ S _i +

.

Diskutieren Sie das Ergebnis f¨ ur hohe (Bµ _B β 1) und tiefe (Bµ _B β 1) Temperaturen.

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