e §6 Anhang1. Die Geburt der Exponentialfunktion

§6 Anhang

1. Die Geburt der Exponentialfunktion

Satz: Für alle reellen Zahlen t gilt

t n

n e

n t  



 

 



 1

lim , speziell ist

n

e n



 

 

 1 1 für große n.

Beweis. Die Funktion e^x ist unter allen Exponential- funktionen dadurch gekennzeichnet, dass sie im Punkt n(0,1) den Anstieg 1 hat (s. Skizze). Die Tangente hat die Gleichung ^y1x, und sie liegt unterhalb des Graphen der e-Funktion, da diese konvex ist. Zusammenfassend gilt

x

e^x 1 für alle reellen Zahlen x.

Daraus folgt

) 1 ln( x

x  für alle x. (1)

Mit xq folgt hieraus einerseits ) 1 ln( q

q  für alle q, (2)

und für

q x q

 

 1 folgt andererseits

), 1 ln(

) 1 1 ln(

ln 1 1 1

1 ln

1 q

q q q

q q

q    

 





 



 





 

 

 ^

also

1 . ) 1

ln( q

q q

 

 (3)

Wir fügen die Ungleichungen (2) und (3) zu einer Doppelungleichung zusammen und setzen dann

n

q t . Das ergibt

. 1

1 ln n

t n t

nt n t





 

 

 

23

Die Multiplikation mit n liefert

. 1

1 ln t

n t

t ⁿ

nt  



 

 

 

Wegen t t

nt 



1 ^für n folgt daraus nach dem Schachtelungsprinzip ,

1

ln t

n tⁿ 



 

  also ^t

n

n e t  



 

 1 für n.

2. Die Approximation der logistischen Gleichung

Durch die Transformation R

z y geht die allgemeine logistische Gleichung

) (R y t ky

y  



 in die Gleichung

) 1

( z

t kRz

z  





über. Wir setzen KkR und t ^1, und betrachten nun die spezielle logistische Gleichung

) 1

1 n n( n

n z Kz z

z _   

und die modifizierte Gleichung

) 1

( ₁

1 

  _n  _n  _n

n v Kv v

v ,

von der wir nach §3 bereits lim 1



 n

n v _{für v0 0} wissen. Wir betrachten nun die Folge der Differenzen d_n v_n z_n. Dann ist

 

 





) (

) )(

( ) (

) 1 ( ) 1 (

) (

) (

1 1

1 1

1 1 1

1

n n n n n n

n n n n n n n n n

n n n n

n n n n n n

v v Kz d z v K

v v z z v z v z v K

z z v v K

z z v v d d



























































Für große n ist v_n1 1 und v_n1v_n  0. Also gilt

.







 



n n

nd Kz

t Kz d Dann gilt näherungsweise

24









 

 0

1

)

1( Kz d

d

n k

wie in §2. Für 0z_k 1 und 0 < K <1 ist 0<(1 – Kzk)  (1 – K) < 1, und das zeigt



2

dn für große n. Somit gelten d_n 0 und. lim zn = lim vn =1.

3. Transformation der logist. Glg in die Mandelbrodtsche Glg

In der Theorie der dynamischen Systeme wird manchmal mit der logistischen Gleichung iteriert, manchmal mit der Mandelbrodtschen Gleichung:

1. Logistische Gleichung: ^{zaz(1z).}

2. Mandelbrodtsche Gleichung: uu² .

Wir zeigen, dass sich beide Gleichungen ineinander überführen lassen. Dazu setzen wir v

z

a a  

 

 1 ,

1 ,

2 .

Dann entsteht aus Gleichung 1. das Folgende:

2 2 2

2

2 2

) 1 (

1 0 1

) 1 1 1 (



 



 

 

 







 



 



  







 



 















v v v

v

v v

v v v v v

mit ^{2 1 } _¹ . Mit u=v +  und = -(² + ) folgt dann u = u² + .

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