Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen WS 2004/05 Teil Systemanalyse
Dieter Imboden
¨Ubung 4, vom 10.01.2005 R ¨uckgabe am 17.01.2005
Aufgabe 1Lotka-Volterra-Modell: Fixpunkte und Stabilit¨at.
Charakterisieren Sie die Fixpunkte des
(a) Lotka-Volterra-Modelles (Gleichung (6.34) im Skript)
(b) Lotka-Volterra-Modelles mit Selbstwechselwirkung (Gleichung (6.42) im Buch) bez ¨uglich Stabilit¨at mit Hilfe der Jacobi-Matrix und deren Eigenwerte.
Aufgabe 2Populationen konkurrierender Arten (Pr¨ufung Fr¨uhjahr 2004)
Sie wollen die Populationsgr¨ossen von zwei konkurrierenden Arten in einem abgeschlossenen Lebensraum beschreiben. Die (dimensionslosen) Systemvariablen seien die relativen Populationsgr¨ossen und . Sie k¨onnen Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Der Wert 0 bedeutet die Art ist ausgestorben. Der Wert 1 entspricht der maximalen Populationsgr¨osse, welche eine Art ohne Konkurrenzdruck erreichen k¨onnte.
F ¨ur die Modellierung ber ¨ucksichtigen Sie ausschliesslich die folgenden Prozesse:
Prozess A: Jede der beiden Arten w ¨urde sich ohne Einfluss der anderen einemlogistischen Wachstumentspre- chend vermehren ( a , a ):
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Prozess B: Beide Arten konkurrieren um Lebensraum, was zu einer Verminderung der Populationsgr¨ossen f ¨uhrt. Die Nachteile aus dieser Konkurrenz seien f ¨ur beide Populationen proportional zu&% . Die zugeh¨orige Rate f ¨ur die ¨Anderung von sei'!)(*,+ a und jene f ¨ur die ¨Anderung von sei
-
.(*,+ a.
(a) Stellen Sie die Bilanzgleichungen f ¨ur und auf.
(b) Die folgende Grafik zeigt den Zustandsraum des Modelles. Eingezeichnet sind vier Anfangszust¨ande A, B, C und D. In welche Richtung ¨andert sich der Zustand des Systems unmittelbar an diesen Anfangs- zust¨anden?
Beantworten Sie diese Frage grafisch (qualitativ): Ausgehend von den Anfangszust¨anden zeichnen Sie einen (kurzen) Pfeil der die gesuchte Richtung anzeigt (die L¨osung folgt direkt aus den Bilanzgleichungen).
(c) Welche Fixpunkte besitzen die Bilanzgleichungen?
(d) Betrachten Sie den Fixpunkt mit/10 ( und /20 ( . Wie entwickelt sich der Zustand des Systems in der unmittelbaren Umgebung dieses Fixpunktes? Begr ¨unden Sie Ihre Antwort.
