g Abstand der windschiefen Geraden g : x = + a ru und h : x = + b sv

A B

h

g Abstand der windschiefen Geraden g : x = + a ru und h : x = + b sv

X

L

v

u

L

X

Man betrachtet den Verbindungsvektor von einem beliebigen Punkt X der Geraden h _h zu einem beliebigen Punkt X_g der Geraden g:

h g g h

X X =x −x =(a ru) (b+ − +sv)= −ru sv+ −a b

Die Länge dieses Verbindungsvektors ist genau dann der Abstand der windschiefen Geraden g und h, wenn der Vektor X X orthogonal zu beiden Geraden ist: _{h g}

h g h g h g h g h g

d(g;h)= X X ⇔ X X ⊥ ∧g X X ⊥ ⇔h X X ⊥ ∧u X X ⊥v

h g

h g

X X u 0 (ru sv a b) u 0 ru u sv u (a b) u 0

(ru sv a b) v 0 ru v sv v (a b) v 0 X X v 0

= − + − = − + − =

⇔ ⇔ ⇔

− + − = − + − =

=

i i i i i

i i i i

i

L L

r ... : r ru u sv u (a b) u

...

s ... : s ru v sv v (a b) v

= =

− = − −

⇔ ⇔ ⇔

= =

− = − −

i i i

i i i

Mit diesen Lösungen r _L und s _L berechnen sich

- die Ortsvektoren der Lotfußpunkte L_g und L_h zu:

l _g= + ⋅a r _L u und l _h = +b s _L⋅v

- der Abstand der windschiefen Geraden g und h zu:

d(g;h)= L L _{h g} = l _g− l _h = r _L⋅ −u s _L⋅ + −v a b