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TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT
Problemseminar Analysis 16. Juli 2007
D. Irrationale Zahlen
†23. a) Zeigen Sie, dasseirrational ist. Hinweis: Beweisen Sie indirekt: fallse= ab mit a, b∈Z so gilt bn!e=an!für allen∈N. Was passiert wenn nsehr groß ist?
b) Zeigen Sie, dass e2 irrational ist. Hinweis: Beweisen Sie mit Widerspruch: ea = e−1b mit a, b∈Z; siehe Teil a).
†24. Das Ziel dieser Aufgabe ist die Irrationalität vonπ zu zeigen.
a) Für ein festesrbetrachte die Zahl
an:=
Z 1
−1
(1−x2)ncosrxdx Zeigen Sie, dass fürn≥2
an= 2n(2n−1)an−1−4n(n−1)an−2
r2 gilt.
b) Bestimmen Siea0 unda1. c) Zeigen Sie, dass
an= n!
r2n+1
p(r) sinr−q(r) cosr , mitp, q Polynome mit ganzen Koeffizienten unddegp,degq≤2n−1.
d) Bisher warr∈Rbeliebig, nun setzer=π/2. Zeigen Sie:
0< an≤ Z 1
−1
cosrxdx=:c
e) Indirekt nehmen wirπ= ab mita, b∈Z+ an. Zeigen Sie, dass a2n+1n! an eine ganze Zahl ist.
f) Schliessen Sie einen Widerspruch aus e) und d).
†25. Eine Zahlx∈Rheißt Liouville-Zahl, falls für jedesn∈N existiertp, q∈Z,q >1mit
(∗) 0<
x− pq < q1n
a) Zeigen Sie, dass eine Liouville-Zahl irrational ist. Hinweis: Um mit dem Begriff vertraut zu werden, zeigen Sie zunächts, dass eine ganze Zahl nicht Liouville-Zahl sein kann. Dann nehme indirekt an, die Liouville-Zahl x rational wäre (x = ab, a, b ∈ Z, b > 1). So gilt |x− pq| =
|ab −pq| ≥ bq1 ≥ 2b1 für allep, q∈Z,q >1mit pq 6= ab. Da (∗) für jedesngilt (für einq undp), kann man mit geeigneter Wahl von neinen Widerspruch (mit (∗)) folgern.
†b) Wir setzen `:=P∞
n=110−n!. Zeigen Sie, dass`eine Liouville-Zahl ist.
†26. SeiP ein Polynom des Gradesnund α∈R\Q eine Nullstelle vonP. Dann existiert eine KonstanteC so dass,
α−pq
≥ qCn für allea, b∈Z,b >0.
Um dies zu zeigen überlegen Sie die folgende Schritte:
a) Zeigen Sie, dassqnP(pq)für jedesp, q∈Z,q >0eine ganze Zahl ist.
b) Zeigen Sie, dass|P(pq)|=|α−pq| · |P0(ξ)|für einξ zwischenαund pq.
c) Setze m:= maxx∈[α−1,α+1]|P0(x)|und es seienα1, . . . , αk die reelle Nullstellen vonP die von α verschieden sind. Wähle ein 0 < C <min{1,1/m,|α−α1|, . . . ,|α−αk|}. Wir behaupten, dassCder gewünschten Bedingung genügt. Indirekt nehmen wir an, dass esp, q∈Z,q >0mit
|α−pq|< qCn ≤C gäbe. Zeigen Sie:
i) Es giltP(pq)6= 0, und daher|qnP(pq)| ≥1.
ii) Schliessen Sie aus b) und der indirekten Annahme, dassqnP(pq)|<1gilt, und damit auch einen Widerspruch.
†27. Zeigen Sie, dass eine Liouville-Zahl α transzendent ist, d.h. es gibt kein PolynomP mit ganzzahligen Koeffizienten mit degP ≥1, so dassP(α) = 0.Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 48 und 49.
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Problemseminar Analysis 16. Juli 2007
†28. Fürs >0 heißt eine Menge M ⊆R s-Hausdorff-Nullmenge, falls für jedes ε >0M durch Intervallen Ik überdeckt werden kann, so dass |Ik| ≤ ε und P
k|Ik|s ≤ ε. Insbesondere sind 1- Hausdorff-Nullmengen genau die Lebesgue-Nullmengen. Zum Beispiel ist die 13-Cantor-Menge für jedess > log 2log 3 eines-Hausdorff-Nullmenge (dies ist abernicht zu beweisen). SeiLdie Menge aller Liouville-Zahlen.
a) Zeigen Sie:
L= (R\Q)∩
∞
\
n=1
Gn mit Gn:=
∞
[
q=2 +∞
[
p=−∞
p
q −q1n,pq +q1n .
b) Zeigen Sie, dassR\ Lvon erster Kategorie ist (d.h.List residual).
c) Zeigen Sie, dass für jedes 0 < s ≤ 1 die Menge L aller Liouville-Zahlen eine s-Hausdorff- Nullmenge ist.Hinweis: fürN∈N gilt
L ∩(−N, N)⊆
∞
[
q=2 N q
[
p=−N q p
q− q1n,pq+ q1n .
Für die Intervallen in dieser Überdeckung und für geigentes n∈N sind die gewünchte Bedin- gungen erfüllt.
