Halbe Würfel

(1)

Halbe Würfel

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20191123 Hans Walser

(2)

Halbe Würfel

Einheitswürfel halbes  Volumen

12

3 ≈ 0.79

Nicht mit Zirkel und Lineal möglich

12

2 ≈ 0.71

halbe

Kantenlänge

12

1 = ¹₂ Kantenlänge 1

halbe 

Oberfläche

(3)

Volumen-Halbierung

(4)

Volumen-Halbierung

Gegenstück punktsymmetrisch und spiegelbildlich

(5)

Volumen-Halbierung

Hyperbolisches Paraboloid z = xy

(6)

Volumen-Halbierung

Hyperbolisches Paraboloid z = x² − y²

(7)

Volumen-Halbierung

Gegenstück punktsymmetrisch und spiegelbildlich

(8)

Affensattel z = x³ − 3xy²

(9)

Würfel auf Ecke

(10)

Würfel auf Ecke

Indifferentes Gleichgewicht

(11)

Würfel auf Ecke

Niveaulinien?

(12)

Würfel auf Ecke

(13)

Würfel auf Ecke

(14)

Würfel auf Ecke

(15)

Würfel auf Ecke

(16)

Würfel auf Ecke

(17)

Würfel auf Ecke

(18)

Würfel auf Ecke

(19)

Schnitt mit Affensattel

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Hohe Symmetrie

(25)

(26)

Gegenstück punktsymmetrisch und spiegelbildlich Schnitt mit Affensattel

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

Einpassen ins Koordinatensystem

Halber Würfel

(33)

Einpassen ins Koordinatensystem

Halber Würfel

(34)

Spiegeln an Koordinatenebenen

Halber Würfel

(35)

Halber Würfel

(36)

Zwölf-Füßler

(37)

Raumfüller

(38)

Raumfüller

(39)

Raumfüller

(40)

Raumfüller

(41)

Raumfüller

(42)

Raumfüller

(43)

Raumfüller

(44)

Raumfüller

(45)

Raumfüller

Kollision

(46)

Raumfüller

(47)

Raumfüller

(48)

Raumfüller

Nicht leerer Durchschnitt

(49)

Raumfüller

(50)

Raumfüller

Passt

Lässt sich aber so nicht einpassen

(51)

Raumfüller

Neubeginn: Ganz weit außen

(52)

Raumfüller

Simultanes Einpassen

(53)

Raumfüller

(54)

Raumfüller

(55)

Raumfüller

(56)

passt

Simultanes Einpassen Packung im Raum

(57)

Simultanes Einpassen Packung im Raum

(58)

Kantiger Affensattel

(59)

Würfelhalbierung

(60)

Würfelhalbierung

(61)

Würfelhalbierung

(62)

Würfelhalbierung

„Es is halt a Kreiz! A Kreiz is'! O mei!“

(Thomas Mann, Buddenbrooks)

(63)

Würfelhalbierung

3d-Kreuz

(64)

Packung im Raum

Problemloses Aneinanderfügen

(65)

Packung im Raum

Problemloses Einpassen

(66)

Packung im Raum

(67)

Packung im Raum

(68)

Packung im Raum

(69)

Packung im Raum

(70)

Packung im Raum

(71)

Packung im Raum

(72)

Packung im Raum

(73)

Packung im Raum

(74)

Würfelhalbierung

(75)

Würfelhalbierung

(76)

Würfelhalbierung

(77)

Erinnerung: Menger-Schwamm (Variante)

(78)

Halber Würfel

(79)

(80)

(81)

D_fraktal = ^log²( )³²

log₂( )4 ⁼ ⁵²

(82)

Würfelhalbierung

(83)

Packung im Raum

Passt. Einpassen unmöglich

(84)

Packung im Raum

(85)

Packung im Raum

(86)

Packung im Raum

(87)

Ebenenfüller

Passt. Einpassen in der Ebene unmöglich

(88)

Knacknuss ohne Nussknacker

Wie kommen wir zum Kern,   ohne die Schale zu zerstören?

(89)

Knacknuss ohne Nussknacker Analoges 2d-Problem

(90)

Knacknuss ohne Nussknacker 3d-Einbettung

(91)

Knacknuss ohne Nussknacker Kern herausnehmen

(92)

Passen und Einpassen

Historisches Beispiel: Wilhelm Tell Zeitgemäßes Beispiel: Zahnarzt

(93)

Lückenfüller

(94)

Origami im Raum

(95)

Origami im Raum

So nicht

(96)

Origami im Raum

So nicht

(97)

Origami in der Ebene

(98)

Ecke auf diametrale Ecke

(99)

setzt den dreidimensionalen Raum voraus

(100)

(101)

Origami im Raum

(102)

Origami im Raum

„Falten“ im vierdimensionalen Raum

(103)

Origami im Raum

(104)

Origami im Raum

(105)

Origami im Raum

(106)

Origami im Raum

(107)

Origami im Raum

(108)

Origami im Raum

(109)

Origami im Raum

(110)

Origami im Raum

(111)

Origami im Raum

(112)

Origami im Raum

(113)

Origami im Raum

Papiermodell

(114)

Origami im Raum

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Origami_im_Raum2/Origami_im_Raum2.htm

(115)

Origami in der Ebene Kantenmitten einfalten

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

Origami in der Ebene Ecken einfalten

(121)

(122)

(123)

(124)

(125)

setzt den dreidimensionalen Raum voraus

(126)

Origami im Raum

(127)

Origami im Raum

Seitenflächenmitten einfalten

(128)

Origami im Raum

(129)

Origami im Raum

(130)

Origami im Raum

(131)

Origami im Raum

(132)

Origami im Raum

(133)

Origami im Raum

Seitenflächenmitten einfalten Achtelvolumen

(134)

Origami im Raum

(135)

Origami im Raum

Kantenmitten einfalten

(136)

Origami im Raum

(137)

Origami im Raum

(138)

Origami im Raum

Kantenmitten einfalten Haus mit Walmdach

(139)

Origami im Raum

(140)

Origami im Raum

(141)

Origami im Raum

(142)

Origami im Raum

(143)

Origami im Raum

Kirchturm bei Krefeld

(144)

Origami im Raum

(145)

Origami im Raum

(146)

Origami im Raum

(147)

Origami im Raum

(148)

Origami im Raum

(149)

Origami im Raum

Rhombendodekaeder. Viertel des Würfelvolumens

(150)

Oben vier spitze Winkel

Rhombendodekaeder. Viertel des Würfelvolumens

(151)

Das Rhombendodekaeder ist ein Raumfüller

(152)

Sicht von oben. Wie viele Farben braucht es?

(153)

Exkurs: Anzahl Farben im Raum?

(154)

(155)

(156)

(157)

(158)

(159)

(160)

(161)

(162)

(163)

Rhombendodekaeder Oben vier spitze Winkel

(164)

Das Rhombendodekaeder

(165)

(166)

(167)

(168)

(169)

(170)

(171)

(172)

(173)

Das Rhombendodekaeder Pyramide

(174)

Inkugel

(175)

(176)

(177)

(178)

(179)

(180)

(181)

Dichteste Kugelpackung (Kepler 1611, Hales 1998-2014) Kugelpyramide

(182)

Kugelpyramide

Dichteste Kugelpackung (Kepler 1611, Hales 1998-2014)

(183)

Kugelpyramide – Wie viele Kugeln sind es?

Dichteste Kugelpackung (Kepler 1611, Hales 1998-2014)

(184)

3564 Rhomben-  dodekaeder

(185)

3564 Inkugeln

(186)

Rhombendodekaeder

Oben drei stumpfe Winkel

(187)

(188)

Oben drei stumpfe Winkel Hohe Symmetrie

(189)

(190)

Hohe Symmetrie

(191)

Hohe Symmetrie

(192)

Hohe Symmetrie

(193)

Hohe Symmetrie

(194)

Hohe Symmetrie

(195)

Hohe Symmetrie

(196)

Hohe Symmetrie

(197)

Tetraeder

(198)

Inkugel

(199)

(200)