Hinweis 1: Die allgemeine Entwicklung in Kugelfl¨achenfunktionen lautet Φ(r, θ, ϕ

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik III WS 2014/2015

Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 6

Dr. B. Narozhny Abgabe 28.11.2014, Besprechung 03.12.2014

1. Kugelfl¨achenfunktionen: (10 Punkte)

Betrachten Sie eine Kugelschale mit Radius R, die auf folgendem Potential liegt:

Φ =V cosθsin²θ, (06θ 6π).

Berechnen Sie das Potential im Aussen- und Innenraum jeweils als Entwicklung in Kugelfl¨achenfunktionen bis zu l = 3.

Hinweis 1: Die allgemeine Entwicklung in Kugelfl¨achenfunktionen lautet Φ(r, θ, ϕ) =

∞

X

l=0 l

X

m=−l

A_lmr^l+B_lmr^−(l+1)

Y_lm(θ, ϕ), wobei

Y_lm(θ, ϕ) = s

(2l+ 1)(l−m)!

4π(l+m)! P_l^m(cosθ)e^imϕ. Hier sind P_l^m(cosθ) die zugeordneten Legendre-Polynomen

P_l^m(x) = (−1)^m

2^ll! 1−x²m/2 d^l+m

dx^l+m x²−1l

.

Betrachten Sie dazu zuerst die Symmetrie des Problems und vereinfachen Sie den all- gemeinen Ausdruck.

Hinweis 2: ¨Uberlegen Sie anschliessend f¨ur Innen- und Aussenraum getrennt, was die jeweiligen Randbedingungen f¨ur die Koeffizienten Alm bzw. Blm bedeuten. Benutzen Sie weiterhin, dass jede Funktion g(θ, ϕ) als Entwicklung in Kugelfl¨achenfunktionen ausgedr¨uckt werden kann:

g(θ, ϕ) =

∞

X

l=0 l

X

m=−l

C_lmY_lm(θ, ϕ),

mit den Koeffizienten A_lm durch C_lm =

Z

dΩg(θ, ϕ)Y_lm^∗ (θ, ϕ).

2. Multipolentwicklung: (10 Punkte)

Zwei Kreisringe [Radius R und Mittelpunkt (0,0, a) bzw. (0,0,−a)] sind homogen mit der Ladungq₁ bzw.q₂ geladen und liegen in den Ebenenz =abzw. z =−a. Berechnen Sie das Potential als Multipolentwicklung in Kugelkoordinaten bis einschliesslich dem Quadrupolterm im Bereich r0 √

R²+a². Welche Terme verschwinden f¨ur q1 = q2, bzw. q₁ =−q₂?

3. Amp`ere-Gesetz (10 Punkte)

Zwei lange, schlanke Spulen mit Radien a < b sind wie in Skizze auf derx-Achse ange- ordnet. Sie werden jeweils in entgegengesetzte Richtungen vom Strom I durchflossen.

Die innere Spule hat Windungszahl n₁ pro Einheitsl¨ange, die ¨aussere Spule Windungs- zahl n₂ pro Einheitsl¨ange.

Berechnen Sie das Magnetfeld f¨ur die Bereiche:

(a) Innerhalb der inneren Spule (b) Zwischen den beiden Spulen

(c) Ausserhalb beider Spulen Hinweis

F¨ur die L¨osung der Aufgabe benutzen wir das Amp`ere’sche Gesetz

∇ ×B~ =µ₀~j, (1) jedoch in der Integralform

I

C

Bd~l~ =µ₀ Z

d ~A·~j. (2)

F¨ur eine langen schlanken Spule ist das Magnetfeld im Inneren der Spule homogen und parallel zur x-Achse ausgerichtet, sofern man weit genug von deren Ende entfernt ist.

Das Feld außerhalb der Spule muss null sein, damit das Magnetfeld im Unendlichen verschwindet.