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Aufgabe A4.1 Die Kugelfl¨ achenfunktionen

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Academic year: 2021

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Einf¨ uhrung in die Quantenmechanik und Statistik SoSe 17 Prof. Dr. Julia Tjus

Mehmet G¨ und¨ uz (mehmet.guenduez@rub.de) Mi. 8:15-9:45 Uhr in NB6/73 Mario H¨ orbe (mario@tp4.rub.de) Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/73 Frederik Tenholt (ftenholt@tp4.rub.de) Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/173

Anwesenheits¨ ubung A4

Aufgabe A4.1 Die Kugelfl¨ achenfunktionen

Die Kugelfl¨ achenfunktionen sind definiert ¨ uber

Y

lm

(ϑ, ϕ) = N

lm

P

lm

(cos ϑ) e

imϕ

, (1) wobei N

lm

den Normierungsfaktor und P

lm

die Legendre-Polynome bezeichnet mit

Z

1

−1

P

lm

(x) P

km

(x) dx = 2δ

lk

2l + 1 · (l + m)!

(l − m)! und P

lm

(−x) = (−1)

l+m

P

lm

(x) . (2) (a) Bestimme den Normierungsfaktor N

lm

.

(b) Der Parit¨ atsoperator P ¨ uberf¨ uhrt einen Vektor ~ x in den Vektor −~ x. Warum entspricht dies in Kugelkoordinaten der Transformation ϑ → π − ϑ und ϕ → π + ϕ?

(c) Zeige, dass P Y

lm

= (−1)

l

Y

lm

.

Aufgabe A4.2 Das Wasserstoffatom

Die Wellenfunktion des Wasserstoff-Atoms Ψ

n l m

(r, ϑ, ϕ) ≡ hr|n l mi lautet

Ψ

n l m

= R

nl

(r) Y

lm

(ϑ, ϕ) mit R

nl

(r) ∈ R . (3) (a) Bestimme die r-Komponente der vom Elektron des Wasserstoffatoms hervorgerufenen Stromdichte,

welche ¨ uber

~j = q · ~j

QM

= − e ~

2m

e

i (ψ

?

∇ψ − ψ∇ψ

?

) mit ∇ = ∂

∂r , 1 r

∂ϑ , 1 r sin ϑ

∂ϕ

. (4) definiert ist, mit ∇ in Kugelkoordinaten. Wie interpretierst Du Dein Ergebnis?

Das Wasserstoffatom befinde sich jetzt im Zustand

|Ψi = 1 5

3 |1 0 0i − 2 |2 1 1i + √

12 |2 1 − 1i

. (5)

(b) Berechne den Erwartungswert der Energie in Vielfachen der Rydberg-Energie E

Ry

. (c) Wie lautet der Erwartungswert f¨ ur ˆ L

2

und ˆ L

z

in diesem Zustand?

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