()= Φ f ( x ) = 1 f x 1 Φ = ≈ 1.618 () ()= ()= f x x − 1 ()= () ()= () () f x x −− 1 Φ ∏ () f x x −Φ x + x − x − 1 () ⎛⎝⎞⎠ f = x −Φ x + 1 x − = x − 2 x − 2 x + 1

(1)

Hans Walser, [20150825]

Fibonacci-Dreieck 1 Worum geht es

Es wird ein Zahlendreieck hergeleitet, das viele Beziehungen zur Fibonacci-Folge hat.

2 Funktionenfolge

Mit Φ bezeichnen wir den Goldenen Schnitt (Walser 2013):

Φ=¹⁺₂⁵ ≈1.618 (1)

Nun definieren wir eine Funktionenfolge:

f₀

( )

x ⁼¹

f_n

( )

x ⁼

^∏

_i=1ⁿ

(

^x^{− −1}

( )

ⁱ⁻¹^Φⁿ⁺¹⁻²ⁱ

)

⁽²⁾

Erste Beispiele:

f₀(x)=1 f₁

( )

x ⁼^x⁻¹

f₂

( )

x ⁼

(

^x^{− Φ}

) ( )

^x⁺_Φ¹ ⁼^x²⁻^x⁻¹

f₃( )_x ⁼

(

^x^{− Φ}²

) ⁽

^x⁺¹

⁾

^⎛⎝^x⁻

^{( )}

^Φ¹ ²⎞

⎠=x³−2x²−2x+1

(3)

(2)

Im Folgenden die Beispiele für n = 0 ... 8.

f₀(x)=1 f₁

( )

x ⁼^x⁻¹ f₂

( )

x ⁼^x² ⁻^x⁻¹

f₃

( )

x ⁼^x³⁻²^x²⁻^2x⁺¹ f₄

( )

x ⁼^x⁴⁻^3x³⁻^6x²⁺^3x⁺¹

f₅

( )

x ⁼^x⁵ ⁻^5x⁴⁻^15x³⁺¹⁵^x²⁺^5x⁻¹

f₆

( )

x ⁼^x⁶ ⁻^8x⁵⁻^40x⁴⁺⁶⁰^x³⁺^40x²⁻^8x⁻¹

f₇

( )

x ⁼^x⁷⁻^13x⁶⁻¹⁰⁴^x⁵⁺^260x⁴⁺²⁶⁰^x³⁻¹⁰⁴^x²^−13x⁺¹

f₈

( )

x ⁼^x⁸ ⁻^21x⁷⁻^273x⁶⁺^1092x⁵⁺^1820x⁴ ⁻^1092x³⁻^273x²⁺^21x⁺¹

(4)

(3)

Die Koeffizientenmatrix ist eine Dreiecksmatrix (Tab. 1).

1

1 –1

1 –1 –1

1 –2 –2 1

1 –3 –6 3 1

1 –5 –15 15 5 –1

1 –8 –40 60 40 –8 –1

1 –13 –104 260 260 –104 –13 1

1 –21 –273 1092 1820 –1092 –273 21 1

Tab. 1: Dreiecksmatrix

Es handelt sich dabei um das Fibonacci-Dreieck (Signed Fibonomial triangle, oeis.org/A055870).

In der zweiten Spalte erkennen wir (bis auf Vorzeichen) die Fibonacci-Zahlen.

(4)

In der dritten Spalte haben wir (bis auf Vorzeichen) die Flächeninhalte der Fibonacci- Rechtecke gemäß Abbildung 1.

Abb. 1: Fibonacci-Rechtecke

Die Zeilen geben im Prinzip die Rekursionskoeffizienten für die Potenzen der Fibonac- ci-Zahlen. So ist zum Beispiel:

1F_n+1³ −3F_n³−6F_n−1³ +3F_n−2³ +1F_n−3³ =0

F_n+1³ =3F_n³+6F_n−1³ −3F_n−2³ −1F_n−3³ (5)

(5)

Die Abbildung 2 zeigt das Fibonacci-Dreieck in einer nostalgischen Anordnung.

Abb. 2: Fibonacci-Dreieck Das Dreieck ist bis auf Vorzeichen axialsymmetrisch.

1 –21 –273 1092 1820 –1092 –273 21 1

1 –1

1 –1 –1

1 –2 –2 1

1 –13 –104 260 260 –104 –13 1 1 –5 –15 15 5 –1

1 –8 –40 60 40 –8 –1

–3 –6 3 1

1

(6)

3 Funktionsgrafen

Die Abbildung 3 zeigt die Funktionsgrafen und die Nullstellen für f₀

( )

x ^,...,^f4

( )

x ^.

Abb. 3: Funktionsgrafen

4 Berechnung der Elemente

Die Elemente a_n,k des Fibonacci-Dreiecks können wie folgt berechnet werden (F_n bezeichnet die Fibonacci-Zahlen):

a_n,k =

( )

−1 ^k+^{⎢⎣ ⎥⎦}²^k ^j=1^F^n−k+^j

∏k

F_j

j=1

∏k (6)

(7)

Websites

Signed Fibonomial triangle: oeis.org/A055870

Triangle of Fibonomial coefficients: oeis.org/A010048 Literatur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathema- tikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.