HTWK Leipzig, Fakultät IMN
Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de 3. Übung zu Theoretische Informatik: Automaten und formale Sprachen
Wintersemester 2018/19 zu lösen bis 8. November 2018
Aufgabe 3.1:
Finden Sie für die Grammatik G= (N, T, P, S) mit N ={S, A, B, C}, T ={a, b, c} und P ={S →ABC, A→ε, A →aA, B →ε, B →bcB, C →aA}
a. eine Ableitung für das Wort abcbcaaa,
b. zwei verschiedene Ableitungen für das Wort aaaa, c. die Sprache L(G)(umgangssprachlich),
d. eine zu G äquivalente Grammatik ohne Regeln der Form l→ε, e. einen regulären Ausdruck E mit L(G) = L(E),
f. eine zuG äquivalente reguläre Grammatik.
Aufgabe 3.2:
a. Geben Sie eine Grammatik Gmit L(G) = RegExp({0,1}) an.
b. Geben Sie eine Ableitung des regulären Ausdruckes (1+ε)∗+(10)∗ ∈RegExp({0,1}) in dieser Grammatik an.
Aufgabe 3.3:
Gegeben sind die Grammatiken G= (N, T, P, S)und G0 = (N0, T0, P0, S)mit N = N0 ={S, A, B, C} T =T0 ={a, b, c}
P =
S → ASB
S → c A → aS B → bS B → bA
A → S
B → ε
P0 =
S → ASB
S → c A → aS B → bS B → bA
A → S
A → ε
Zeigen Sie, dass G und G0 nicht äquivalent sind.
Aufgabe 3.4:
Die folgende induktive Definition definiert eine Sprache L⊆ {a, b}∗: IA: b∈L
IS: Aus u∈L und v ∈L folgt auv∈L
• L enthält nur die auf diese Art erzeugten Wörter.
Es gilt also z.B. b∈L, ababb∈L, aber abbab6∈L.
a. Geben Sie alle Wörter der Länge ≤8in L an.
b. Geben Sie eine kontextfreie Grammatik Gan, die genau die Sprache L erzeugt.
Aufgabe 3.5:
Zeigen Sie, dass eine Sprache L⊆A∗ genau dann regulär ist, wenn sie
a. von einer GrammatikG= (N, T, P, S)erzeugt wird, die nur Regeln der Forml →r mit l ∈N und r∈({ε} ∪(T ◦N)) enthält.
(a) Geben Sie eine zur Grammatik G= (N, T, P, S) mit N = {S, A, B} T ={a, b}
P = {S →bA, S →aB, A→aA, A →ε, B →bA}
äquivalente reguläre Grammatik an.
(b) Geben Sie ein Verfahren zur Transformation jeder beliebigen Grammatik dieser Form in eine äquivalente Grammatik vom Chomsky-Typ 3 an.
b. von einer GrammatikG= (N, T, P, S)erzeugt wird, die nur Regeln der Forml →r mitl ∈N undr∈(T∗∪(T∗◦N))enthält. Solche Grammatiken heißenrechtslinear.
(a) Geben Sie eine zur rechtslinearen Grammatik G= (N, T, P, S) mit N = {S, A, B} T ={a, b}
P = {S →bbA, S→aaB, A→abA, A→aab, B →A, A→ε}
äquivalente reguläre Grammatik an.
(b) Geben Sie ein Verfahren zur Transformation jeder beliebigen rechtslinearen Grammatik in eine äquivalente Grammatik vom Chomsky-Typ 3 an.
Aufgabe 3.6:
Eine Regel l →r heißt genau dann
rechtslinear , wenn l∈N und r ∈(T∗∪(T∗◦N)).
linkslinear , wenn l∈N und r∈(T∗∪(N ◦T∗)).
Geben Sie eine Grammatik an, welche die Sprache aller Palindrome ungerader Länge über dem Alphabet {0,1} erzeugt und nur rechts- und linkslineare Regeln enthält.
Aufgabe 3.7:
a. Zeigen Sie, dass die Menge aller kontextfreien Sprachen unter Spiegelung R abge- schlossen ist.
Geben Sie dazu ein Verfahren zur Konstruktion einer kontextfreien Grammatik G0 aus einer gegebenen kontextfreien Grammatik Gan, so dass L(G0) = L(G)R gilt.
b. Demonstrieren Sie Ihr Verfahren an der Grammatik
G= ({S, A, B},{a, b},{S →AB, A→AAb, A→a, B →bBa, B →b}, S)
c. Geben Sie die Ableitung für
• ein Wort w mit |w|= 6 inG und
• das Wort wR in der in der vorigen Teilaufgabe konstruierten Grammatik ab.
Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter https://informatik.htwk-leipzig.de/schwarz/lehre/ws18/tib
