Der Ordnungsparameter des Systems ist ein zweidimensionaler Vektor m

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III (Theorie F – Statistische Mechanik) SS 17

Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterl¨osung: Blatt 13

PD Dr. Igor Gornyi, Janina Klier Besprechung: 21.07.2017

1. Brechung der kontinuierlichen Symmetrie: (4+15+6=25 Punkte) Betrachten Sie einD-dimensionales Gitter mit magnetischen Momenten~σ_i, die gezwun- gen sind in einer Ebene zu liegen, ~σ_i = (σ_i^x, σ^y_i). Der Hamilton-Operator des Systems ist (die Summe ist auf n¨achste Nachbarn im Gitter beschr¨ankt)

H=−JX

hi,ji

~

σ_i·~σ_j. (1)

Dieser Hamilton-Operator ist invariant bez¨uglich der simultanen Rotation aller ma- gnetischen Momente in der (x, y)-Ebene. Der Ordnungsparameter des Systems ist ein zweidimensionaler Vektor m(~~ r) = h~σ_ii. Bei hohen Temperaturen ist das System in ei- nem paramagnetischen Zustand mit verschwindender mittlerer Magnetisierung. Wenn die Temperatur erniedrigt wird, kann das System in einen ferromagnetischen Zustand

¨ubergehen, der die Rotationsinvarianz bricht.

Bemerkung:In der Vorlesung haben wir im Detail die Landau-Theorie mit einem ska- laren Ordnungsparameterφbesprochen. Eine solche Theorie beschreibt Phasen¨uberg¨ange, die mit der spontanen Brechung einer diskreten Symmetrie assoziiert sind (z.B. f¨ur das Ising-Modell). Es gibt Systeme, in denen der Phasen¨ubergang mit der Brechung einer kontinuierlichen Symmetrie einhergeht. In dieser Aufgabe betrachten wir ein Beispiel daf¨ur, die entsprechende Landau-Theorie und einige ihrer Konsequenzen.

(a) Das Landau-Funktional F[~m(~r)] =

Z d^Dr

t

2|m|~ ² +b|m|~ ⁴+K 2

∇m~ _x2

+

∇m~ _y2 ,

~

m= (m_x, m_y), |m|~ ² =m²_x+m²_y t=a(T −T_c), a, b, K > 0. (2) wird durch uniforme Konfigurationen des Ordnungsparameters minimiert,m(~~ r) = konst. Auf Grund der Rotationssymmetrie k¨onnen wir m(~~ r) = (m₀,0) w¨ahlen.

Zeigen Sie, dass f¨ur T > T_c das Landau-Funktional (2) sein Minimum bei m₀ = 0 erreicht, w¨ahrend f¨urT < T_c das Minimum bei m₀ =p

|t|/4b liegt.

L¨osung:

Wir ersetzen m(~~ r) = (m₀,0) in Gl. (2) und minimieren in bezug auf m₀. Die Sattelpunktgleichung ist

m0(t+ 4bm²₀) = 0. (3)

Bei T > T_c (t > 0) erreicht das Landau-Funktional F sein Minimum bei m₀ = 0.

Bei T < T_c (t <0) liegt das Minimum bei m₀ =p

|t|/4b.

(b) Betrachen Sie nun Fluktuationen des Ordnungsparameters δm_x und δm_y in der symmetriegebrochenen Phase, T < T_c. Bestimmen Sie das Landau-Funktional, das

kleine Fluktuationen des Ordnungsparameters in der Gauss’schen N¨aherung be- schreibt. Mit Hilfe der Fourier-Entwickung vonδm_y(~r) (beachten Sie, dass das Feld δmy reell ist) zeigen Sie, dass die Korrelationsfunktionhδmy(0)δmy(~r)i durch

hδm_y(0)δm_y(~r)i= 1 β

Z d^Dq (2π)^D

1

Kq² exp(i ~q·~r) (4) gegeben ist. Vergleichen Sie Gl. (4) mit der Korrelationsfunktion der Ordnungspara- meterfluktuationen in der skalaren Landau-Theorie, die in der Vorlesung diskutiert wurde.

L¨osung:Wir ersetzenm_x =p

|t|/4b+δm_x undm_y =δm_yin Gl. (2) und entwickeln das Landau-Funktional bis zur zweiten Ordnung in Fluktuationen des Ordnungs- parameters. Der Teil des Funktionals ohne Ableitungen enth¨alt dann nur δm_x:

F_tb = Z

d^Dr t

2(m₀+δm_x)²+ t

2(δm_y)²+b[(m₀+δm_x)²+ (δm_y)²]²

' konst + Z

d^Dr









 t

2 + 2bm²₀

| {z }

=0,Gl. (3)

(δm_x)²+ (δm_y)²

+ 4bm²₀

| {z }

=−t, Gl. (3)

(δm_x)²









 .

Mit dem Term, der Ableitungen enth¨alt, F_K=

Z d^Dr

K 2

∇m~ _x2

+

∇m~ _y2

, (5)

erhalten wir in der Gauss’schen N¨aherung:

F ' konst + Z

d^Dr K

2(∇δm~ _x)²+|t|(δm_x)²

+ Z

d^DrK

2(∇δm~ _y)². (6) In der f¨uhrenden N¨aherung, Gl. (6), sind die Fluktuationen δm_x und δm_y un- abh¨angig. Der Teil des Landau-Funktionals, der Fluktuationen vonδm_xbeschreibt, ist ¨ahnlich zu seinem Analogon f¨ur die skalare Landau-Theorie, die in der Vorlesung besprochen wurde.

Deutlich interessanter sind die Fluktuationen δm_y mit dem Landau-Funktional F_y =

Z

d^DrK

2 (∇δm~ _y)². (7)

Gem¨aß Gl. (7) sind die Fluktuationen δmy “masselos”: Die Energie f¨ur eine Fluk- tuationδm_y(r) mit gegebener Amplitude kann beliebig klein gemacht werden, wenn δm_y(r) langsam im Raum variiert. Der Grund f¨ur das Auftreten dieser masselosen Mode ist gerade die Brechung einer kontinuierlichen Symmetrie. Die Modeδmy und

¨ahnliche masselose Moden werden Goldstone-Moden genannt.

Wir sind nun in der Lage den Beitrag vonδm_y zu den Fluktuationen des Ordnungs- parameters zu untersuchen. Wir interessieren uns f¨ur

hδm_y(0)δm_y(r)i= 1 Z

Z

(D{δm_y}) δm_y(0)δm_y(r)e^−βFy, (8) Z =

Z

(D{δmy}) e^−βFy. (9)

Dazu m¨ussen wir die Funktionalintegrale in Gln. (8) und (9) ausf¨uhren. Daf¨ur nut- zen wir die Fourier Entwickung vonδm_y(r):

δm_y(r) =X

~ q

a_~q exp(i~q ~r) +a^∗_~q exp(−i~q ~r)

. (10)

Die Summation geht ¨uber den D-dimensionalen Impuls ~q = (q₁, . . . q_D) mitq_i > 0 (das Feld δm_y reell ist). Das Integrationsmaß im Funktionalintegral kann mittels der Fourierkomponenten wir folgt geschrieben werden:

D{δm_y(r)}=Y

~ q

(dIma~q) (dRea~q). (11) Wir schreiben das Landau FunktionalF_y und das Produktδm_y(0)δm_y(~r) mit Hilfe der Fourierkomponentena~q um (L die lineare Gr¨oße des Systems):

F_y =L^DKX

~ q

q²|a_~q|², (12)

δm_y(0)δm_y(~r) =X

~ q1~q2

a_~q1 +a^∗_~q

1

a_~q2 exp(i~q₂~r) +a^∗_~q

2 exp(−i~q₂~r)

. (13) und

Z

(D{δm_y})δm_y(0)δm_y(~r)e^−βFy

= Z

Y

~ q

(dIma_~q) (dRea_~q)X

~ q1~q2

a_~q1 +a^∗_~q1 a_~q2 exp(i~q₂~r) +a^∗_~q2 exp(−i~q₂~r)

e^−βFy. (14)

Da Z

(dIma_~q) (dRea_~q)

a_~q+a^∗_~q

e^LDKq2|^a~q|² = 0, (15) sehen wir, dass nur die Terme in Gl. (13) mit ~q1 = ~q2 zur Korrelationsfunktion beitragen:

hδm_y(0)δm_y(~r)i= 1 Z

Z

(D{δm_y}) δm_y(0)δm_y(~r)e^−βFy

=X

~ q1

R (dIma_~q1) (dRea_~q1) 2 cos(~q₁~r)|a_~q1|²e^−LDKq21|^a~q1|² R (dIma_~q1) (dRea_~q1)e^−LDKq21|^a~q1|²

= 1 L^D

X

~ q1

2 cos(~q₁~r) Kq₁² =

Z d^Dq (2π)^D

1

Kq² exp (i~q ~r). (16) (c) Analysieren Sie die Konvergenz des Integrals (4) bei kleinen ~q und zeigen Sie, dass die spontane Brechung einer kontinuierlichen Symmetrie in D ≤ 2 Dimensionen nicht m¨oglich ist (Mermin-Wagner-Theorem).

L¨osung:

Wir k¨onnen nun die Gr¨oßenordnung der Ordnungsparameterschwankungen absch¨atzen:

hδm²_y(0)i=

Z d^Dq (2π)^D

1

Kq². (17)

Dieses Integral divergiert bei großen Impulsen f¨ur D ≥ 2. Das ist aber kein pro- blem. Die Divergenz kann einfach durch die 1/a regularisiert werden, wobei a der Gitterabstand im anf¨anglichen mikroskopischen Modell ist. In D≤2 divergiert das Integral bei kleinen Impulsen. Diese Divergenz bedeutet, dass die Schwankungen des Ordnungsparameters immer stark sind und keine weitreichende Ordnung f¨ur D≤2 m¨oglich ist.

Satz von Mermin und Wagner:Kontinuierliche Symmetrien k¨onnen in ein und zwei Dimensionen nicht in Systemen mit gen¨ugend kurzreichweitigen Wechselwir- kungen bei endlicher Temperatur spontan gebrochen sein.

2. Fl¨ussigkristall: (6+6=12 Punkte + 8 Bonuspunkte) In dieser Aufgabe diskutieren wir Landau-Theorie f¨ur Phasen¨uberg¨ange erster Ord- nung. Fl¨ussigkristalle sind Materialien die aus stabf¨ormigen Molek¨ulen bestehen, die eine (langreichweitige) Ordnung in der Orientierung zeigen k¨onnen ohne in einem fe- sten Zustand zu sein. Der Ordnungsparameter φ = h3 cos²θ −1i ist ein Maß f¨ur die Ordnung in der Orientierung der Molek¨ule, die den Winkelθrelativ zu einer bevorzugen Achse einnehmen. Da es (im Gegensatz zum ferromagnetischen Fall) keine Symmetrie φ ↔ −φ gibt, m¨ussen wir im Landau-Funktional f¨ur den Ordnungsparameter φ den kubischen Term in der Entwicklung mitnehmen:

F[φ(~r)] = Z

d³r t

2φ²(~r)−v φ³(~r) +b φ⁴(~r) + K 2

∇φ(~~ r)

2

, (18)

wobei t=a·(T −T₀) unda, b, v, K > 0.

(a) Skizzieren Sie die Freie-Energiedichte als Funktion von φ f¨ur verschiedene Tempe- raturen T. Bestimmen Sie die ¨Ubergangstemperatur T_c und den Wert von φ bei T =Tc.

L¨osung:

Freie-Energiedichte f¨urφ =konst.:

f(φ) = a(T −T₀)

2 φ²−vφ³+bφ⁴. Extrema:

∂f

∂φ =a(T −T₀)φ−3vφ²+ 4bφ³ = 0 ⇒ φ= 0 und φ=φ±, (19) a(T −T₀)−3vφ+ 4bφ² = 0 ⇒ φ± = 3v±p

9v²−16ab(T −T₀)

8b .

(20) F¨ur

T < T₀+ 9v² 16ab =T₁

sind die L¨osungen φ± reell. Bei der Temperatur T₁ ist φ₁ = 3v/(8b).

Zweite Ableitung:

∂²f

∂φ² φ=0

= a(T −T₀) = 0 ⇒ Minimum f¨urT > T₀, (21)

∂²f

∂φ² φ±

= a(T −T₀)−6vφ_±+ 12bφ²_± =−2a(T −T₀) + 3vφ_±. (22)

Phasen¨ubergang:f(φ₊) =f(0) = 0 ⇒ a(T −T₀)

2 −vφ₊−a(T −T₀)−3vφ₊ 4

| {z }

=bφ²₊ aus Gl. (20)

= a(T −T₀)−vφ₊

4 = 0

⇒T_c=T₀+ v²

2ab. (23)

Sobald die kritische TemperaturTcerreicht ist, erhalten wir sofort einen geordneten Zustand mit φ = φ₊. Wie wir unten sehen werden, gibt es bei T = T_c einen endlichen Sprung in der Entropie (erste Ableitung der freien Energie), da es mehrere degenerierte Minima gibt. So ist es ein Phasen¨ubergang erster Ordnung.

Wert von φ bei T =T_c:

φ_c =φ₊(T_c) = 3v 8b

"

1 + r

1− 16ab

9v² (T_c−T₀)

#

= v

2b. (24)

Weiterhin ist interessant, dass bei T =T₀ folgende Werte annimmt φ₋(T =T₀) = 0, φ₊(T =T₀) = φ₀ = 3v²

4b (25)

Verlauf von f(φ):

(a) beschreibt das Verhalten f¨urT > T_c, (b) f¨urT =T_c und (c) f¨ur T < T_c (b) Bei einem Phasen¨ubergang 1. Ordnung ist die Entropie bei der kritischen Tempera-

tur diskontinuierlich. Berechnen Sie die EntropieS f¨urT unmittelbar oberhalb bzw.

unterhalbT_c. Bestimmen Sie die latente W¨arme Q_l =T∆S des Phasen¨ubergangs.

L¨osung:

Latente W¨arme:

Q_l =T ∆S , ∆S =S(T =T_c+δ)−S(T =T_c−δ)≡S_>−S_<

Die T-Abh¨angigkeit des Ordnungsparameters φ muss mitgenommen werden, denn aus dem Funktional der freien Energiedichte wird die physikalische freie Energie F(T) = V f(T, φ(T)) im Gleichgewicht erst durch Einsetzen des Gleichgewichts- wertes φ(T) bestimmt.

Entropie:

S

V =−1 V

∂F

∂T =− ∂f

∂φ

T

∂φ

∂T − ∂f

∂T

φ

,

T =T_c+δ : φ(T) = 0, ∂φ(T)

∂T = 0 f¨ur alleT > T_c → S_>= 0, T =T_c−δ:

∂f

∂φ

T

= ∂f

∂φ φ+

= 0 , ∂f

∂T

φ

= ∂f

∂T φ+

= V a 2 φ²₊ Damit folgt

Q_l=−T_cS_< = 1

2V T_ca φ²₊(T_c) = V av² 8b²

T₀+ v² 2ab

. (26)

(c) Nehmen Sie an, dass das System nur geringf¨ugig unterseiner ¨Ubergangstemperatur liegt. Betrachten Sie ein Tr¨opfchen der Gr¨oße L und der Breite der Grenzfl¨achel₀, mit der geordneten Phase innen und der metastabilen Phase draußen. Bestimmen Sie den kritischen Keimbildungsradius und die Energie eines Keimbildungstr¨opf- chens. (8 Bonuspunkte).

L¨osung:

Unter der Annahme, dass das System nur minimal unter seiner ¨Ubergangstempera- tur liegt, ist die ungeordnete Phase bereits metastabil (besitzt ein lokales Minimum).

Der Ordnungsparameter nimmt sowohl den Wertφ(T_c⁺) = 0 ¨uber als auch den Wert φ T_c⁻

=φ_c unter der ¨Ubergangstemperatur an.

Das Problem vereinfacht sich, wenn man die Variablen mit φ=ψ+ v

4b

verschiebt. Dies eliminiert einen kubischen Term ∝ ψ³ in f(ψ). F¨ur T nahe T_c erhalten wir

f(ψ) = konst + K 2

∇ψ~ 2

−hψ− ˜a

2ψ²+bψ⁴ (27)

mit

˜ a= v²

4b, h= av

4b (T_c−T).

Wir gehen von einem Tr¨opfchen der Gr¨oße L aus mit einer Grenzfl¨achenbreite l₀, wobei sich innerhalb des Tr¨opfchens die stabile L¨osung mit φ =φ₊ und außerhalb die metastabile L¨osung φ = 0 befindet. F¨ur kleine Felder h representieren die zwei Ordnungsparameter

ψ_G ≈ψ_c =φ_c− v 4b =

r ˜a 4b

und

ψU = 0− v 4b =−

r˜a 4b

die geordneten (G) bzw. die ungeordneten (U) Zust¨ande bei T < T_c.

Um ein geordnetes Tr¨opfchen (“Bubble”) innerhalb des ungeordneten Zustandes zu bilden kostet dies Oberfl¨achenenergie. Unter der Annahme einer kontinuierli- chen Ver¨anderung des Ordnungsparameters von ψ_G zu ψ_U = −ψ_G innerhalb der Grenzfl¨ache kann die Grenzfl¨achenenergie wie folgt approximiert werden:

E_surf∼L^D−1l₀

"

K ψ_G

l0

2

+ ˜aψ_G²

#

. (28)

Hier istL^D−1l₀ das Volumen der Grenzfl¨ache, der TermKψ_G²/l²₀ kommt von (∇ψ)², und ˜aψ_G² ergibt sich aus den quadratischen und quartischen Termen der freien Ener- gie und beschreibt die zwischen 0 und φ+ befindliche Barriere, s. Abbildung (b).

Die Oberfl¨achenenergie ist die Differenz zwischen der Energien der Grenzfl¨ache mit ver¨anderlichem ψ und der Energie der homogenen geordneten Phase innerhalb des gleichen VolumensL^D−1l0. Unter Minimierung der Oberfl¨achenenergie bez¨uglich l0

erhalten wir

l₀ ∼ K

˜ a

1/2

. (29)

Ersetzen dieses Wertes in der Oberfl¨achenenergie ergibt E_surf∼L^D−1˜a^3/2

b . (30)

Der Term, der die Energie im Inneren des Tr¨opfchens beschreibt, ist um den Betrag des linearen Terms inf(ψ) kleiner als die Energie des gleichen Volumens gef¨ullt mit einer geordnetet Phase:

E_bulk =−L^Dψ_Gh. (31)

Die Gesamtenergie des Tr¨opfchens ergibt sich aus der Summe des Oberfl¨achenterms und des Terms im Inneren:

E_bubble =E_surf+E_bulk ∼L^D−1 r˜a

b ˜a

√b −Lh

. (32)

Durch Maximieren der Gesamtenergie bez¨uglich der Tr¨opfchengr¨oße L (die zweite Ableitung ist negativ), ergibt sich

L∼ a˜

√

bh. (33)

Dies bedeutet, dass sobald das Tr¨opfchen die Gr¨oße ˜a/(√

bh) erreicht hat, wird es sich immer weiter ausbreiten (wie kleine Eiskristalle in gefrierendem Wasser).

Schließlich k¨onnen wir die erhaltene Tr¨opfchengr¨oße in die Gesamtenergie einsetzen und erhalten

Ebubble ∼ a˜^D

b^D/2h^D h˜a^1/2

b^1/2 ∼ ˜a^D+1/2

b^D/2+1/2h^D−1. (34)

Indem wirhund ain Abh¨angigkeit der urspr¨unglichen Parameter ausdr¨ucken f¨uhrt dies zu:

E_bubble ∼ v^D+2

b^D/2+2a^D−1(Tc−T)^D−1. (35)

3. Ferroelektrisches Kristall: (10+10+5=25 Punkte) In einem ferroelektrischen Kristall entsteht unterhalb einer ¨Ubergangstemperatur T_c eine spontane Verzerrung ψ der Einheitszelle, verbunden mit einem Dipolmoment P~. Das Freie-Energiedichte-Funktional f¨ur die beiden Ordnungsparameter η =|P~| und ψ lautet

f(η, ψ) =a(T −T₀)η²+b η⁴+c η⁶+d ψ η² +g

2ψ², T₀, a, b, c, d, g > 0.

(a) Bestimmen Sie den Gleichgewichtswertψ =ψG(η) und damit das Freie-Energiedichte- Funktional ˜f(η) =f(η, ψ_G(η)). Skizzieren Sie den Verlauf von ˜f(η) f¨ur verschiedene Temperaturen T in drei F¨allen: ˜b >0, ˜b= 0 und ˜b <0, wobei

˜b =b− d² 2g.

Begr¨unden Sie, dass ein Phasen¨ubergang 1. Ordnung auftreten kann.

L¨osung: Zun¨achst wird der Gleichgewichtswert von ψ bestimmt (Gleichgewicht eigentlich nur, wenn auchη bestimmt und eingesetzt wird ...) und damit das Funk- tional ˜f(η):

∂f

∂ψ = 0 =dη²+gψ ⇒ ψ =−d gη²

⇒ f˜(η) =a(T −T₀)η²+

b− d² 2g

| {z }

= ˜b

η⁴+cη⁶. (36)

Qualitativer Verlauf von ˜f(η) :

(a) ˜b >0, (b) ˜b = 0 und (c) ˜b <0

˜b≥0: F¨ur große Temperatur gibt es ein Minimum beiη= 0 , f¨ur kleine T unter einer bestimmten TemperaturT_cein Minimum bei endlichenη₀ (η₀ →0 f¨urT →T_c) und ein Maximum beiη= 0

⇒Phasen¨ubergang 2. Ordnung bei T_c

˜b <0: F¨ur große Temperatur gibt es ein Minimum beiη = 0 , f¨urT →0 ein Minimum bei endlichenη, und bei einer bestimmten Temperatur T_c dazwischen entarten gerade die Minima, ˜f(ηc) = ˜f(0) = 0 . Von T > Tc kommend wird also der Ordnungsparameterη von η = 0 zuη =η_c springen

⇒Phasen¨ubergang 1. Ordnung bei T_c.

(b) Berechnen Sie die kritische Temperatur Tc, bei der dieser ¨Ubergang 1. Ordnung stattfindet. Bestimmen Sie n¨aherungsweise η(T) und ψ(T) in der N¨ahe von T_c. Finden Sie die latente W¨arme des ¨Ubergangs.

L¨osung:

Kritische Temperatur T_c:

F¨ur T_c bei ˜b < 0 brauchen wir den Wert η_c des Ordnungsparameters, also die Position des Minimums:

∂f˜

∂η = 2η[a(T −T₀) + 2˜bη²+ 3cη⁴] ⇒ η= 0 : Extremum, (37) 0 = a(T −T₀) + 2˜bη²+ 3cη⁴ ⇒ η_±² = − ˜b

3c

!

| {z }

>0

"

1± r

1− 3ac

˜b² (T −T₀)

# .

(38) F¨ur T > T₀+ ˜b²/(3ac) hat ˜f(η) nur ein Extremum bei η= 0.

F¨ur T₀ < T < T₀+ ˜b²/(3ac) haben wir drei Extrema: η= 0 undη±. F¨ur T < T₀ von η± ist nur η₊ reell ⇒η₀ =η₊.

Zweite Ableitung:

∂²f˜

∂²η η=0

= 2a(T −T₀) ⇒ η = 0 Minimum f¨ur T > T₀. (39) F¨urT₀ < T < T₀+ ˜b²/(3ac) ist die zweite Ableitung positiv (Minimum) f¨urη =η₊ und negativ (Maximum) f¨ur η=η₋:

∂²f˜

∂²η η±

= 8˜b² 3c

"

1− 3ac

˜b² (T −T₀)± r

1− 3ac

˜b² (T −T₀)

#

. (40)

D.h.,η₊ ist der Gleichgewichtswert, den η f¨ur T < T_c annimmt.

Der Wert von T_c folgt nun aus der Bedingung, dass die beiden Minima bei η = 0 und η=η+ energetisch entartet sind bzw. eine zweite Nullstelle ˜f(η+) erscheint:

0 = f˜(0) = ˜f(η₊) =−( ˜b+ 2cη₊² )η₊⁴ ⇒ − ˜b

2c =η₊²(T_c). (41) Einsetzen vonη₊ aus Gl. (38) :

⇒ T_c=T₀+

˜b²

4ac =T₀+ 1 4ac

b− d²

2g 2

. (42)

Verlauf von η(T) bei T ≈Tc:

T =T_c−δ : η(T) =η₊(T_c) T =Tc+δ : η(T) = 0

→

η_c = η(T)|_T'T

c =η₊(T_c) Θ(T_c−T) = s

|˜b|

2cΘ(T_c−T).

Verlauf von ψ(T) bei T ≈Tc: ψ =−d

gη² → ψ_c= ψ(T)|_T'T

c =−d· |˜b|

2cg Θ(T_c−T).

Latente W¨arme :

Entropie (analog zu Aufgabe 2b):

S

V =−2ηh

a(T −T₀)−2˜bη²+ 3cη⁴i ∂η

∂T −aη², T =T_c+δ : S_> = 0,

T =T_c−δ: η(T) =η₊(T), S_< =V aη²₊ Damit folgt Q_l =−T_cS_< =V T_ca η²₊(T_c),

η₊²(T_c) = |˜b|

2c von oben ⇒ Q_l=V T_c a 2c

d² 2g −b

.

(c) Berechnen Sie den kritischen Exponenten β in hηi ∝(T_c−T)^β f¨ur den Fall ˜b= 0.

L¨osung:

F¨ur ˜b= 0 lautet das Freie-Energiedichte

f˜(η) =a(T −T₀)η² +cη⁶. (43) Die Position des Minimums:

∂f(η)˜

∂η = 2η

a(T −T₀) + 3cη⁴

= 0. (44)

F¨urT > T₀ gibt es nur ein Extremum (Minimum beiη= 0). F¨urT < T₀ haben wir zwei Extrema (Maximum beiη= 0 und Minimum bei η=η₀), wobei

η₀ =h a

3c(T₀−T)i1/4

. Damit folgt T_c=T₀ und

β = 1/4. (45)