4.18 Erg¨anzung zu den Grassmannschen Entwicklungss¨atzen 111
4.18 Erg¨ anzung zu den Grassmann schen Entwicklungss¨ atzen
In [19], S. 106f haben wir f¨ur drei beliebige Vektoren −→a, −→
b und −→c des R3 die Gleichung −→a ×−→
b
×−→c =r·
h(−→a ·−→c)·−→ b −
−→ b ·−→c
·−→ai (∗)
mit r ∈R hergeleitet und diesen anschließend dadurch bestimmt, dass wir f¨ur −→a, −→ b und −→
c speziell
−
→a =
1 0 0
, −→ b =
0 1 0
sowie−→ c =−→
a
gew¨ahlt haben (da obige Gleichung ja ohnehin f¨ur beliebige Vektoren −→ a, −→
b und −→ c des R3 gilt), was uns dann zum Resultat r = 1 und dadurch schließlich zum (ersten) Grassmannschen Entwicklungssatz
−→ a ×−→
b
×−→ c = (−→
a ·−→ c)·−→
b − →−
b ·−→ c
·−→ a gef¨uhrt hat.
Nun erhebt sich aber die Frage21, weshalb wir ¨uberhaupt von der Annahme ausgehen d¨urfen, dass r von −→
a, −→
b und −→
c unabh¨angig ist. Immerhin k¨onnte es ja sein, dass r ausgehend von
−
→a =
xa
ya
za
, −→ b =
xb
yb
zb
und −→c =
xc
yc
zc
eine Funktion
r : R9 → R, (xa, ya, za, xb, yb, zb, xc, yc, zc) 7→ r(xa, ya, za, xb, yb, zb, xc, yc, zc) ist.
Dass dies aber de facto nicht der Fall ist, zeigen wir nun wie folgt (wobei inwir - wie in K¨urze ersichtlich sein wird - der werte L e
¨o ser in betr¨achtlichem Ausmaß inkludiert sein wird):
Wir studieren die ¨Anderung sowohl der linken Seite als auch der Klammer auf der rechten Seite von (∗), wennxaauff1(xa) abgebildet wird, wobeif1 : D → W mit sowohlD⊆R als auch W ⊆R eine beliebige Funktion ist:
⇒ −→ d :=
−
→a ×−→ b
×−→c 7→
−→a +
f1(xa)−xa
0 0
×−→ b
×−→c =
=−→ a ×−→
b
×−→
c + [f1(xa)−xa]·
1 0 0
×
xb
yb
zb
×
xc
yc
zc
=
21F¨ur selbige danke ich meinem Sch¨uler P.V.Wetz(geb. 1999), welcher ebenjene im Dezember 2015 im Wahlpflichtfach Mathematik der vorletzten Klassemit Fug und Rechtgestellt hat.
