π π ⎡⎣⎤⎦ =± , ∈− , 2 2

(1)

Die vivianische Kurve in stereographischer Projektion – die Strophoide Anregung: [Kroll 2007]

1 Die vivianische Kurve

Die vivianische Kurve kann durch φ = ±λ,λ∈ −⎡⎣ ^π₂,^π₂⎤⎦ beschrieben werden.

Die vivianische Kurve Von oben sieht das so aus:

Sicht von oben

Die vivianische Kurve erscheint als Kreis. Tatsächlich kann die vivianische Kurve auch als Schnittfigur der Einheitskugel mit einem stehenden Zylinder durch Kugelmittel- punkt und einen Punkt auf dem Äquator beschrieben werden.

(2)

Von der Seite sieht das so aus:

Sicht von der Seite

Die vivianische Kurve erscheint als liegende Standardparabel. Die vivianische Kurve kann also auch als Schnittfigur der Einheitskugel mit einem liegenden Zylinder mit pa- rabolischem Profil beschrieben werden.

2 Stereografische Projektion

Für die stereographische Projektion (Zentralprojektion vom Nordpol auf die Äquator- ebene) arbeiten wir mit den Abbildungsgleichungen:

x= ^cos( )^φ

1−sin( )φ ^cos

( )

^λ

y= ^cos( )^φ

1−sin( )φ ^sin

( )

^λ

Wir erhalten die folgende Kurve, welche als Strophoide bezeichnet wird.

Link: http://de.wikipedia.org/wiki/Strophoide

(3)

6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

x y

Die vivianische Kurve in stereografischer Projektion – die Strophoide

3 Die Asymptote

Interessant ist die Asymptote der Strophoide bei x=2. Dies kann auf zwei Arten ein- gesehen werden.

3.1 Einsicht durch Rechnen

Für die vivianische Kurve gilt φ = ±λ,λ∈ −⎡⎣ ^π₂,^π₂⎤⎦, somit bis auf Vorzeichen:

x

( )

λ ⁼_1−sin^cos^{( )}^λ_{( )}_λ ^cos

( )

^λ ⁼¹⁺^sin

( )

^λ

y

( )

λ ⁼_1−sin^cos^{( )}^λ_{( )}_λ ^sin

( )

^λ ⁼^tan

( )

^λ

(

¹⁺^sin

( )

^λ

)

Daraus ergibt sich:

(4)

x→lim^π₂

(

x

( )

λ

)

⁼ _x→^lim_π

2

1+sin

( )

λ

( )

⁼²

x→lim^π₂

(

y

( )

λ

)

⁼ ^lim

x→^π₂

(

tan

( )

λ

(

¹⁺^sin

( )

^λ

) )

⁼^∞

3.2 Einsicht durch Geometrie

Wir bringen den Krümmungskreis der vivianischen Kurve im Nordpol ins Spiel. Dieser liegt auf der Kugel, da diese trivialerweise die Schmiegungskugel der vivianischen Kurve ist. Die Schmiegungsebene der vivianischen Kurve im Nordpol erscheint aus Symmetriegründen in der Sicht von der Seite als Tangente an die liegende Standardpa- rabel und schneidet die x-Achse bei x=2. Der Krümmungskreis als Schnittkreis der Schmiegungskugel mit der Schmiegungsebene ist also ein Kleinkreis durch den Nord- pol und erscheint in der stereografischen Projektion als Gerade x=2.

Das stereografische Bild des Krümmungskreises im Südpol entsteht durch Kreisspiege- lung dieser Geraden am Hauptkreis (Bild des Äquators, Einheitskreis).

Kurve, Hauptkreis und Krümmungskreise in den Polen

(5)

4 Planimetrische Konstruktion

Die Strophoide kann rein planimetrisch erzeugt werden:

O B

C

x y

S₁

S₂

Planimetrisches Vorgehen

Auf dem Thaleskreis über O

( )

0, 0 ^B

( )

^{1, 0} wählen wir einen Punkt C und schneiden im Dreieck OBC die innere und äußere Winkelhalbierende des Winkels bei B mit der Ge- genseite von B. Die beiden Schnittpunkte liegen auf der Strophoiden.

Der Beweis sei dem Leser überlassen. Tipp: der Dreieckswinkel bei O ist λ.

Literatur:

ISBN 978-3-00-021836-1

http://www.sciface.com/education/data/more/krollkuf/index.html