- für Werte von e r in der Nähe von 1 kann man schreiben: e
r 1 x 1 x / 2
02 2
2 2 22 2 0 0
2 2
2 0 0
2
/ i
i 1 1 1 /
e
e e
m
V N e m
V N e
r
Fazit der Modellbetrachtung
In diesem Modell werden Dielektrika (nichtleitende Materialien) durch das elektrische Feld einer einlaufenden Welle polarisiert, wobei die Elektronen sich wie gedämpfte harmonische Oszillatoren verhalten. Das Modell beschreibt den Verlauf des Brechungsindex als Funktion der Frequenz, und damit die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in Materie, sowie deren
Dämpfung.
Der Absorptionskoeffizient a = 2·k i hat ein Maximum in der Nähe der Resonanzfrequenz 0 . Weit unterhalb der Resonanzfrequenz steigt der Brechungsindex mit , fällt im Bereich der Resonanzfrequenz unter 1 und steigt dann wieder.
Materialien sind dann durchsichtig, wenn sich im sichtbaren Frequenzbereich keine Resonanzen befinden (Eigenfrequenzen typischerweise im Ultraviolett-Bereich).
Bei Metallen entfällt (für die Leitungselektronen) die Rückstellkraft, d.h. der 0 -Term entfällt.
Die Dämpfungskonstante ist durch die Stöße der Leitungselektronen gegeben. Der komplexe Brechungsindex wird oberhalb der sog. Plasmafrequenz reell, d.h. das Metall wird durchsichtig.
Die Plasmafrequenz ist die Eigenfrequenz, mit der die Leitungselektronen gegen die positiven Ionen des Metalls schwingen (typischerweise bei Frequenz im UV-Bereich).
Anmerkungen:
- für die Aufteilung von er in Realteil und Imaginärteil ist folgende Umformung hilfreich:
2 6.6 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen zwischen Medien
Elektromagnetische Wellen werden an Grenzflächen (z.B. Luft-Glas) - gebrochen
- reflektiert.
Der Brechnugsindex sei vor der Grenzfläche n(1) und hinter der Grenzfläche n(2).
Zerlegung von E- und B-Feld in Komponenten tangential (t=x,z) und normal (y) zur Grenzfläche (s. frühere Abschnitte über E- und B-Feld in Materie):
) 1 2 (
) 1 ( ) 2 (
) 1 1 (
) 2 (
) 1 1 (
) 2 (
) 1 ( )
1 (
) 2 ( ) 1 (
) 2 ( ) 2 (
) 1 (
2 2
r r t
t n
n t
t r
r n
n
n t n
y
B B B
B E
E n
n E
E
B B B E
E E
e
e
Weitere Zerlegung in einfallende (E), reflektierte (R) und gebrochene (B) Welle:
B R
E
Die Frequenz ändert sich bei Übergang nicht. Da sich aber die Ausbreitungsgeschwindigkeit (und damit der Brechungsindex) ändert, muss sich die Wellenlänge ändern ( c = l ·f ). Die Stetigkeit der Tangentialkomponente des E-Felds an der Grenzfläche erfordert Phasengleichheit:
r k r k r k E
E
E
Et Rt Bt
B
R
B
Daraus ergibt sich, dass alle drei Wellenvektoren in einer Ebene liegen und die Komponenten der k-Vektoren untereinander gleich sind, z.B. die tangentialen Komponenten:
a
a
a
a sin sin mit ( 1 ) sin ( 1 ) sin ( 2 ) sin
sin
n n n
n c k v
k k
k
E R BReflexionsgesetz n ( 1 ) sin a n ( 1 ) sin a a a (Einfallswinkel = Reflexionswinkel)
Brechungsgesetz
(Snellius-Gesetz) ( 1 )
) 2 ( sin
sin sin ) 2 ( sin ) 1
( n
n n
n
a
a Anmerkung:
Alle Winkel sind relativ zur Normalen auf die Grenzfläche gemessen.
Willebrord Snell van Royen (1580-1626)
Vom optisch dünneren zum dichteren Medium wird Licht zur Normalen hin gebrochen.
Vom optisch dichteren zum dünneren Medium wird Licht von der Normalen weg gebrochen.
Bei einem bestimmten Einfallswinkel wird = 90º. Darüber hinaus tritt das Licht nicht durch die Grenzfläche, sondern wird "totalreflektiert"
Versuch: Totalreflexion in einem Plexiglasstab.
4
Amplituden reflektierter und gebrochener Wellen an Grenzflächen Betrachteter Fall: Elektrisches Feld senkrecht zur Einfallsebene Stetigkeitsbedingungen
1) tangentiales E-Feld:
2) tangentiales B-Feld ( ≈ 1):
Bz Rz
Ez
E E
E
e E k E
B k
E k E
k E
k B
B B
k
x B B x R R x E E Bx
Rx Ex
weil 1
x-Komponenten der Kreuzprodukte k
Ey E
Ez k
Ez E
Ey k
Ry E
Rz k
Rz E
Ry k
By E
Bz k
Bz E
By
(alle x- und y-Komponenten des E-Felds sind im betrachteten Fall null, Index z kann entfallen)
E R
E B
B R E
Ry Ey
B B
Ey By R E
B By R Ry E Ey
a E E a
a E E
E E E
k k
E a k E
E k E
E k E k E k
1 und 1
1 Bedingung) 2
(1.
oben s.
weil
a
a
cos ) 1 (
cos ) 2 ( cos
cos
n
n k
k k a k
E B Ey
Wellenzahl ist proportional zum Brechungsindex und damit:
ByErgebnis:
Polarisation senkrecht zur Einfallsebene Polarisation parallel zur Einfallsebene*)
a
a
a
a
a
a
a
a
sin cos 2 sin
cos ) 2 ( cos ) 1 (
cos ) 1 ( 2
sin sin cos
) 2 ( cos ) 1 (
cos ) 2 ( cos ) 1 (
n n
n E
E
n n
n n
E E
E B E
R
a a
a
a
a
a
a
a
a
cos sin
cos 2 sin
cos ) 1 ( cos ) 2 (
cos ) 1 ( 2
tan tan cos
) 1 ( cos ) 2 (
cos ) 1 ( cos ) 2 (
||
||
||
||
n n
n E
E
n n
n n
E E
E B E R
*) ohne Herleitung
Fresnel-Gleichungen
Reflexionsvermögen
als Anwendung der Fresnel-Gleichungen. Verhältnis der Intensitäten:
Polarisation senkrecht zur Einfallsebene
Polarisation parallel zur Einfallsebene
2
E R
E R E
2
||
||
||
E R
E
R E 1 , 5 0 , 04
5 , 5 0
, 1 ) 2 ( , 1 ) 1 ( z.B.
) 2 ( ) 1 (
) 2 ( ) 1 ) (
0 ( ) 0 (
2 2 2
||
R n
n
n n
n R n
R a a
Grenzfläche Luft-Glas
Augustin Jean Fresnel
(1788-1827)
6
) tan(
) tan(
cos ) 1 ( cos ) 2 (
cos ) 1 ( cos ) 2 (
||
||
a
a
a
a
n n
n n
E E
R R
Brewster-Winkel
Reflexion für Polarisation parallel zur Einfallsebene:
Wenn n ( 2 ) cos a n ( 1 ) cos bzw. tan( a ) R
|| 0 a 90
Anwendung: Brewster-Fenster z.B. bei Lasern. Unter dem Brewster-Winkel wird eine Glasscheibe für Polarisation in der Einfallsebene 100%ig durchlässig.
Sir David Brewster (1781-1868)
Polarisation
Unpolarisiertes Licht besteht aus eine Mischung verschiedener Polarisationsrichtungen. Es kann dadurch polarisiert werden, dass man eine Komponente absorbiert
- Grenzfläche unter Brewster-Winkel
- Polarisationsfilter, die anisotrope Kristalle enthalten - Doppelbrechung
Versuch: Doppelbrechung (s. auch nächste Seite). Durch einen Kaltspatkristall
betrachtet erscheint die Schrift doppelt, weil sich Licht in zwei zueinander
senkrecht polarisierte Teilstrahlen aufspaltet. Mit einem Polarisationsfilter kann
man jedes der Bilder (je nach Orientierung des Filters) einzeln sehen.
Doppelbrechung
In anisotropen Materialien hängt der Brechungsindex von der Ausbreitungsrichtung und von der Polarisation des einfallenden Lichtstrahls ab. Das Standardbeispiel ist der Kalkspat-Kristall (Ca CO 3 ).
Es gibt eine ausgezeichnete Symmetrieachse ("optische Achse"), für die der Brechungsindex von der Polarisationsrichtung unabhängig ist. Für alle anderen Einfallsrichtungen gibt, dass das einfallende Licht sich in zwei Komponenten teilt, die senkrecht zueinander polarisiert sind:
- der "ordentliche Strahl" verhält sich gemäß dem Brechungsgesetz (bei senkrechtem Einfall geradeaus) - der "außerordentliche Strahl" wird auch bei senkrechtem Einfall gebrochen.
Man kann dies nach dem Huygensschen Prinzip so deuten, dass die Elementarwellen nicht
halbkugelförmig, sondern Ellipsoide um die optische Achse darstellen. Kristalle können uniaxial oder biaxial sein, d.h. zwei optische Achsen besitzen.
Die Anisotropie kann auch durch Verformung erzeugt werden, so dass der Effekt der Doppelbrechung
orts- und richtungsabhängig ist. Dies wird als Methode der Materialprüfung eingesetzt (Polarimetrie).
8
l/2 und l/4-Platten
Aus doppelbrechenden Kristallen werden Verzögerungsplatten hergestellt, in denen Lichtstrahlen zweier Polarisationsrichtungen zwar parallel, aber mit unterschiedlicher Geschwindigkeit laufen.
Beträgt der Unterschied eine halbe Wellenlänge (plus ein ganzahliges Vielfaches), so wird die lineare Polarisationsrichtung gedreht.
Beträgt der Unterschied ein/drei Viertel der Wellenlänge (plus ein ganzahliges Vielfaches), entsteht elliptisch bzw. zirkular polarisiertes Licht.
Versuch: Je nach relativer Orientierung von linear polarisiertem Licht und einer l/4-Platte erzeugt man:
- elliptisch polarisiertes Licht: die Intensität des Laserflecks hat ein Minimum > 0, wenn man einen Polarisationsfilter dreht.
- zirkular polarisiertes Licht: die Intensität des Laserflecks ändert sich nicht, wenn man den Polarisationsfilter dreht.
- linear polarisiertes Licht: die Intensität wird bei einer bestimmten Stellung des Polarisationsfilters null.
Versuch: Anisotropie durch Verformung eines Objekts aus Kunstharz bewirkt orts- und wellenlängenabhängige Doppelbrechung, hier mit zirkular polarisiertem Licht dargestellt.
Aufbau:
Lampe, Polarisator, l/4-Platte, Gegenstand, l/4-Platte, Polarisator.
Optische Aktivität
Manche Stoffe (Quarzkristalle, Zuckerlösungen) drehen die Polarisationsrichtung pro durchstrahlte Länge um einen bestimmten Winkel (spezifisches Drehvermögen a s ):
Andere Materialien werden nur unter bestimmten Bedingungen optisch aktiv (z.B. Anlegen eines E- oder B-Felds (s. unten). Man kann sich eine linear polarisierte Wellen aus zwei zirkular polarisierten Wellen zusammengesetzt denken.
Werden die Phasen der zirkularen Wellen gegeneinander verschoben, weil sich ihre Phasengeschwindigkeit (Brechungsindex) im betreffenden Material unterscheidet, so dreht sich die Polarisationsebene der linear polarisierten Welle. Die Beschreibung des atomaren Mechanismus ist nur im Rahmen der
Quantenmechanik möglich.
s
d
a a
i t k z
e E
z k t i e
E e E z
k t e
E e E E
E E
c c z k t E
z k t E
E
c c z k t E
z k t E
E E
x x
y y x
x y
y x
x
x y
y
x x
x
exp
exp 2 i
i 1 exp 2 i
1
. . i
2 exp oder i
sin
. . i
2 exp oder 1
cos
0
0 0
0 0
0 0
0 0
