Dr. F. Mefo Kue, Dr. M. Ensenbach Siegen, den 27. Juni 2019 Department Mathematik
Universität Siegen
Übungsblatt 14 zur Analysis I
SS 2019 Aufgabe 1 (4 Punkte)
Seif:D→Rgleichmäßig stetig undM⊆Dbeschränkt. Man zeige, daßf(M)beschränkt ist.
Aufgabe 2 (2+2+2 Punkte)
Man untersuche jeweils den Funktionsgrenzwert auf Existenz und bestimme ihn gegebenenfalls.
(a) lim
x→1
xm−1
xn−1 fürm,n∈N, (b) lim
x→∞(x−√
x2−x), (c) lim
x→0
exp(x)−1 x Aufgabe 3 (4 Punkte)
SeienL,M ⊆Rnichtleer, und seid=inf{|x−y| |x∈L, y∈M}derAbstand vonLundM. Man zeige: Sind L und M kompakt und disjunkt, so gilt d > 0. Man gebe ein Beispiel dafür, daß die Aussage ohne Voraussetzung der Kompaktheit falsch ist.
Aufgabe 4 (2+3 Punkte)
(a) Seienx,y>0. Zeigen Sie, daß
logx+logy
2 6log
(x+y 2
) .
(b) Seif: [0,1]→Rstetig mitf(0) = f(1). Man beweise, daß es zu jedemn ∈Neinxn ∈[0,n−1n ] mitf(xn) = f(xn+1n)gibt.
Aufgabe 5 (3 Punkte)
Man gebe (mit Beweis) eine Funktionf:R →Rund Mengen A,B ⊆Ran, so daßf|Aundf|Bin0 gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren.
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