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Abiturvorbereitung Übungsblatt 3 Analysis S. 1 von 3

Übungsblatt 3 Analysis

Aufgabe 1:

a) Bestimme Stammfunktion von f(x)= 4

x +

1 2 x3 .

b) Bestimme eine Stammfunktion F(x) von f(x)=4 sin(2x) mit F(π)=7 .

c) Berechne das Integral

0 1

(2x−1)4dx .

d) Berechne das Integral

1

2 1

2x−1 dx .

Rotationskörper

Beispiel

Wir betrachten die (schraffierte) Fläche, die von der x-Achse und der Funktion f(x)=

(x) zwischen den Grenzen x=1 und x=4 eingeschlossen wird. Wenn wir diese Fläche um die x-Achse rotieren lassen, erhalten wir einen Körper, der die Form eines Bechers aufweist.

Das Volumen des "Bechers" kann man dann so berechnen:

V =

1 4

π⋅(

(x))2dx = π⋅

1 4

x dx = π ⋅

[

x22

]

1 4

= π ⋅

(

422 122

)

= 152

Allgemeine Formel:

V = π ⋅

a b

(f(x))2dx

06.01.2016

(2)

Abiturvorbereitung Übungsblatt 3 Analysis S. 2 von 3 Aufgabe 2

Gegeben sei das Dreieck, das von der x-Achse und der Geraden y=1

2⋅x in den Grenzen 0 bis 4

eingeschlosssen wird. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, den man erhält, wenn man das Dreieck um die x-Achse rotieren läßt.

06.01.2016

(3)

Abiturvorbereitung Übungsblatt 3 Analysis S. 3 von 3

Lösungen

1 a) F(x)=4⋅2⋅

x + 18 x4 = 8

x + 18 x4

1 b) F(x)=(−4) cos(2x) ⋅1

2 + c

F(π)=7

7 = (−2) ⋅cos(2π ) + c

7 = −2+c

c=9

F(x)=−2cos(2x) + 9

1 c) Eine Stammfunktion ist F(x)=(2x−1)5⋅1 5 ⋅1

2 . Deshalb gilt

0 1

(2x−1)4dx =

[

101 (2x−1)5

]

0 1

= 1

10−(−1

10) = 2

10 = 1 5

1 d) Eine Stammfunktion ist F(x) = ln(2x−1) ⋅1

2 . Deshalb gilt:

1

2 1

2x−1 dx =

[

ln(2x−1) ⋅12

]

1 2

= ln(3)

2 − ln(1)

2 = 1

2 ln(3)

2)

V = π ⋅

0 4

(1 2 x)

2

dx = π ⋅

[

12x3

]

04 = π ⋅ ( 1243 − 03

12) = π ⋅16

3 ≈ 16,8

Das Ergebnis kann man im vorliegenden Fall auch so herleiten:

Der Rotationskörper ist ein Kegel mit Radius r = 2 und der Höhe h = 4.

Das Volumen des eines Kegel mir Radius r und der Höhe h beträgt allgemein V = 1

3⋅π⋅r2⋅h . Hier also V = 1

3 ⋅ π ⋅22⋅4 = 16

3 ≈ 16,8

06.01.2016 1

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