Abiturvorbereitung Übungsblatt 3 Analysis S. 1 von 3
Übungsblatt 3 Analysis
Aufgabe 1:
a) Bestimme Stammfunktion von f(x)= 4
√
x +1 2 x3 .
b) Bestimme eine Stammfunktion F(x) von f(x)=4 sin(2x) mit F(π)=7 .
c) Berechne das Integral
∫
0 1
(2x−1)4dx .
d) Berechne das Integral
∫
1
2 1
2x−1 dx .
Rotationskörper
Beispiel
Wir betrachten die (schraffierte) Fläche, die von der x-Achse und der Funktion f(x)=
√
(x) zwischen den Grenzen x=1 und x=4 eingeschlossen wird. Wenn wir diese Fläche um die x-Achse rotieren lassen, erhalten wir einen Körper, der die Form eines Bechers aufweist.Das Volumen des "Bechers" kann man dann so berechnen:
V =
∫
1 4
π⋅(
√
(x))2dx = π⋅∫
1 4
x dx = π ⋅
[
x22]
1 4= π ⋅
(
422 − 122)
= 152Allgemeine Formel:
V = π ⋅
∫
a b
(f(x))2dx
06.01.2016
Abiturvorbereitung Übungsblatt 3 Analysis S. 2 von 3 Aufgabe 2
Gegeben sei das Dreieck, das von der x-Achse und der Geraden y=1
2⋅x in den Grenzen 0 bis 4
eingeschlosssen wird. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, den man erhält, wenn man das Dreieck um die x-Achse rotieren läßt.
06.01.2016
Abiturvorbereitung Übungsblatt 3 Analysis S. 3 von 3
Lösungen
1 a) F(x)=4⋅2⋅
√
x + 18 x4 = 8√
x + 18 x41 b) F(x)=(−4) cos(2x) ⋅1
2 + c
F(π)=7
↔
7 = (−2) ⋅cos(2π ) + c↔
7 = −2+c↔
c=9F(x)=−2cos(2x) + 9
1 c) Eine Stammfunktion ist F(x)=(2x−1)5⋅1 5 ⋅1
2 . Deshalb gilt
∫
0 1
(2x−1)4dx =
[
101 (2x−1)5]
0 1= 1
10−(−1
10) = 2
10 = 1 5
1 d) Eine Stammfunktion ist F(x) = ln(2x−1) ⋅1
2 . Deshalb gilt:
∫
1
2 1
2x−1 dx =
[
ln(2x−1) ⋅12]
1 2= ln(3)
2 − ln(1)
2 = 1
2 ln(3)
2)
V = π ⋅
∫
0 4
(1 2 x)
2
dx = π ⋅
[
12x3]
04 = π ⋅ ( 1243 − 0312) = π ⋅16
3 ≈ 16,8
Das Ergebnis kann man im vorliegenden Fall auch so herleiten:
Der Rotationskörper ist ein Kegel mit Radius r = 2 und der Höhe h = 4.
Das Volumen des eines Kegel mir Radius r und der Höhe h beträgt allgemein V = 1
3⋅π⋅r2⋅h . Hier also V = 1
3 ⋅ π ⋅22⋅4 = 16
3 ≈ 16,8
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