Taxi fahren in Mannheim Rekursive Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck Dr. Regula Krapf

Taxi fahren in Mannheim

Rekursive Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

Dr. Regula Krapf

Universit¨at Koblenz-Landau, Campus Koblenz

25. Mai 2019

Straßennetze

Das Straßennetz von Koblenz ist sehr unregelm¨aßig. . .

Straßennetze

Das Straßennetz von New York ist allerdings (fast) rechteckig:

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Straßennetze

Das Straßennetz von Mannheim ist sogar fast quadratisch, und gleicht somit einemKoordinatensystem.

Taxi fahren in Mannheim

Die Taxizentrale von Mannheim befindet sich am Rand der Stadt. Wie viele M¨oglichkeiten hat eine Taxifahrerin ohne Umweg zu einer gegebenen Straßenkreuzung zu gelangen?

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

Taxizentrale

Ziel

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Taxi fahren in Mannheim

Wir schreiben ¨uber jeden Punkt im Koordinatensystem die Anzahl

verschiedener Wege von der Taxizentrale zu diesem Punkt. Was f¨allt auf?

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

Taxizentrale

Taxi fahren in Mannheim

Wir schreiben ¨uber jeden Punkt im Koordinatensystem die Anzahl

verschiedener Wege von der Taxizentrale zu diesem Punkt. Was f¨allt auf?

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

1

1 2 3 4 5

1 3 6 10

1 4 10

5 1 1

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Taxifahren in Mannheim

Um zum Ziel zu gelangen, muss man zuerst einer der Punkte A links neben oder B direkt unter dem Ziel erreichen.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

Taxizentrale

B A Ziel

Somit ist die Anzahl M¨oglichkeiten zum Ziel zu gelangen die

Anzahl M¨ogl. nach Azu gelangen + Anzahl M¨ogl. nachB zu gelangen.

Das Pascalsche Dreieck

Wenn man das Dreieck so dreht, dass die Taxizentrale an der Spitze steht, erh¨alt man dasPascalsche Dreieck.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ...

Am Rand stehen Einsen; die anderen Eintr¨age entstehen durch Addition der beiden diagonal dar¨uber liegenden Eintr¨age.

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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

Im Pascalschen Dreieck finden sich in den Diagonalen viele interessante Zahlenfolgen:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ...

In der 1. Diagonale finden sich alle nat¨urlichen Zahlen, also 1, 2, 3, 4,. . .

Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

In der 2. Diagonale befinden sich die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10,. . . 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ...

Es gilt d₁= 1 = 1 d₂= 3 = 1 + 2

d3= 6 = 3 + 3 = 1 + 2 + 3 d4= 10 = 6 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4

...

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Die Dreieckszahlen

Wieso Dreieckszahlen? Sie lassen sich als als Dreiecke aus Kugeln darstellen:

Die Dreieckszahlen

Wie kann man allgemein die n-te Dreieckszahl d_n= 1 + 2 + 3 +. . .+n berechnen?

Es gilt

2d_n=n·(n+ 1)⇒d_n= n(n+ 1)

2 .

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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

In der 3. Diagonale befinden sich die Tetraederzahlen 1, 4, 10, 10,. . . 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ...

Es gilt t1= 1 =d1

t₂= 4 = 1 + 3 =d₁+d₂ t₃= 10 = 4 + 6 =d₁+d₂+d₃

t₄= 20 = 10 + 10 =d₁+d₂+d₃+d₄ ..

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Die Tetraederzahlen

Wieso heißen die Zahlen

t_n=d₁+d₂+d₃+. . .+d_n Tetraederzahlen?

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Die Tetraederzahlen

Wie kann man die Tetraederzahlen berechnen?

Die Tetraederzahlen

Wie kann man die Tetraederzahlen berechnen?

⇒

Es gilt

6t_n=n(n+ 1)(n+ 2)⇒t_n= n(n+ 1)(n+ 2)

6 .

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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

Was erh¨alt man, wenn man alle Zahlen in einer Zeile addiert?

1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 + 1 = 4

1 + 3 + 3 + 1 = 8

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ...

Man erh¨alt dieZweierpotenzen! Wieso?

Zweierpotenzen

Wieso ergibt die Summe der Eintr¨age derselben Zeile eine Zweierpotenz?

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

Taxizentrale

1 5 10 10 5 1

Um zu einem der blauen Punkte zu gelangen, muss man 5-mal ausw¨ahlen, ob man hoch↑ oder nach rechts→ geht.

Es sind also 5 Entscheidungen, bei denen man jeweils 2 M¨oglichkeiten hat, also 2⁵ M¨oglichkeiten.

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Wenn man das Dreieck verzerrt. . .

1 1

=

@@

1 2

1

= @@

1

= >>

3 5

1

+

@@

2

=

>>

1

=

==

8 13 1

+

@@

3

+

>>

3

=

==

1

= ==

21 1

+

AA

4

+

??

6

+

>>

4

=

==

1

¸ 1

+

@@

5

+

??

10

+

==

10 5 1

1

+

@@

6

+

>>

15 20 15 6 1

Es gilt

13= 1 + 5 + 6 + 1

= 1 + (1 + 4) + (3 + 3) + 1

= (1 + 4 + 3) + (1 + 3 + 1)

=8+5.

Man erh¨alt dieFibonacci-Folge:

F₁ = 1 F₂ = 1

Fn+1 =Fn+Fn−1.

Der Binomische Lehrsatz

Bekannt aus der Schule ist die Binomische Formel (a+b)²=1a²+2ab+1b². Frage.L¨asst sich diese verallgemeinern?

(a+b)³ = (a+b)²(a+b)

= (a²+ 2ab+b²)(a+b)

=a²(a+b) + 2ab(a+b) +b²(a+b)

=a³+ (1 + 2)a²b+ (2 + 1)ab²+b³

=1a³+3a²b+3ab²+1b³. Analog:

(a+b)⁴=1a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+1b⁴.

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Der Binomische Lehrsatz

Man erh¨alt das Pascalsche Dreieck!

(a+b)⁰ = 1a⁰b⁰

{{ ·a _·b ##

(a+b)¹ = 1a¹b⁰

{{ ·a _·b ##

+ 1a⁰b¹

{{ ·a _·b ##

(a+b)² = 1a²b⁰

{{ ·a _·b ##

+ 2a¹b¹

{{ ·a _·b ##

+ 1a⁰b²

{{ ·a _·b ##

(a+b)³ = 1a³b⁰ + 3a²b¹ + 3a¹b² + 1a⁰b³ Wieso? Der Koeffizient von a^n−kb^k, gibt an, wie viele M¨oglichkeiten es gibt aus dem Produkt

(a+b)ⁿ= (a+b)·. . .·(a+b)

| {z }

n-mal

k-malb auszuw¨ahlen.

Weitere Muster im Pascalschen Dreieck

Es finden sich viele weitere spannende Muster im Pascalschen Dreieck...

Was erh¨alt man, wenn man alle geraden Zahlen anmalt?

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

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Das Sierpinski-Dreieck

Man erh¨alt ein besonderes Muster, das sogenannteSierpinski-Dreieck.

Das Sierpinski-Dreieck

Das Sierpinski-Dreieckist ein Beispiel f¨ur einFraktal, ein graphisches Gebilde, das bei Vergr¨oßerung zu sich selbst ¨ahnlich ist.

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Fraktale

Fraktalekommen auch in der Natur vor:

Fraktale und die Fibonacci-Folge

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Weitere Muster im Pascalschen Dreieck

Es finden sich viele weitere spannende Muster im Pascalschen Dreieck...

M¨ogliche weiterf¨uhrende Fragestellungen:

Wieso erh¨alt man Dreiecke?

Was passiert, wenn man alle durch 3 teilbaren Zahlen/alle durch 5 teilbaren Zahlen usw. markiert?

Welches Muster findet man in der vierten Diagonale des Pascalschen Dreiecks?

Kann man eine explizite Darstellung f¨ur die Eintr¨age des Pascalschen Dreiecks angeben?

Wie lassen sich diese Entdeckungen allgemein beweisen?

Mathematik an der Uni

Was machen Mathematiker*innen an einer Uni im Arbeitsalltag?

1 Forschung: Neue mathematische S¨atze entdecken, beweisen, ver¨offentlichen,. . .

2 Lehre:Vorlesungen/Seminare etc. halten, ¨Ubungsaufgaben erstellen, Vorlesungsskript schreiben, Abschlussarbeiten betreuen, . . .

3 Administration

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Wie arbeiten Mathematiker*innen. . . ?

Ivory tower = Elfenbeinturm

Wie Mathematiker*innen wirklich arbeiten. . .

Quelle: Berlin School of Mathematics

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Forschung in der Mathematik

Was ist mathematische Forschung?

Fragen stellen Muster erkennen Vermutung ¨außern

Vermutung beweisen (oder widerlegen) Anwenden und Verallgemeinern

Dies erfordert vor allem:

Spaß an logischem Denken und Knobeln Kreativit¨at

Ausdauer

Was kann man sp¨ ater damit anfangen?

Karrierem¨oglichkeiten f¨ur Mathematiker*innen:

Mathematik-Absolventinnen sind sehr gesucht!

Uni-Karriere: Forschung, Lehre Schule: Mathematik unterrichten Wirtschaft: Versicherungen, Banken,. . . IT-Bereich

...

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Vielen Dank f¨ ur Ihre

Aufmerksamkeit!