Taxi fahren in Mannheim Zahlenspielereien am Pascalschen Dreieck Dr. Regula Krapf

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Taxi fahren in Mannheim

Zahlenspielereien am Pascalschen Dreieck

Dr. Regula Krapf

Universit¨at Koblenz-Landau, Campus Koblenz

14. Dezember 2018

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Straßennetze

Das Straßennetz von Koblenz ist sehr unregelm¨aßig. . .

Dr. Regula Krapf (Universit¨at Koblenz) Taxi fahren in Mannheim 14. Dezember 2018 2 / 29

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Straßennetze

Das Straßennetz von Mannheim ist allerdings (fast) quadratisch, und gleicht somit einem Koordinatensystem.

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Taxifahren in Mannheim

Die Taxizentrale von Mannheim befindet sich am Rand der Stadt. Wie viele M¨oglichkeiten hat eine Taxifahrerin ohne Umweg zu einer gegebenen Straßenkreuzung zu gelangen?

1 2 3 4 5

Taxizentrale

Ziel

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Taxifahren in Mannheim

Wir schreiben ¨uber jeden Punkt im Koordinatensystem die Anzahl

verschiedener Wege von der Taxizentrale zu diesem Punkt. Was f¨allt auf?

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

1

1 2 3 4 5

1 3 6 10

1 4 10

5 1 1

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Taxifahren in Mannheim

Um zum Ziel zu gelangen, muss man zuerst einer der Punkte A links neben oder B direkt unter dem Ziel erreichen.

1 2 3 4 5

Taxizentrale

B A Ziel

Somit ist die Anzahl M¨oglichkeiten zum Ziel zu gelangen die

Anzahl M¨ogl. nach Azu gelangen + Anzahl M¨ogl. nachB zu gelangen.

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Das Pascalsche Dreieck

Wenn man das Dreieck so dreht, dass die Taxizentrale an der Spitze steht, erh¨alt man dasPascalsche Dreieck.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ...

Am Rand stehen Einsen; die anderen Einträge entstehen durch Addition der beiden diagonal darüber liegenden Einträge.

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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

Im Pascalschen Dreieck finden sich in den Diagonalen viele interessante Zahlenfolgen:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ...

In der 1. Diagonale finden sich alle nat¨urlichen Zahlen, also 1, 2, 3, 4,. . .

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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

In der 2. Diagonale befinden sich die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10,. . . 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ...

Es gilt d₁= 1 = 1 d₂= 3 = 1 + 2

d3= 6 = 3 + 3 = 1 + 2 + 3 d4= 10 = 6 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4

...

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Die Dreieckszahlen

Wieso Dreieckszahlen? Sie lassen sich als als Dreiecke aus Kugeln darstellen:

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Die Dreieckszahlen

Wie kann man allgemein die n-te Dreieckszahl d_n= 1 + 2 + 3 +. . .+n berechnen?

Es gilt

2d_n=n·(n+ 1)⇒d_n= n(n+ 1)

2 .

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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

In der 3. Diagonale befinden sich die Tetraederzahlen 1, 4, 10, 10,. . . 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ...

Es gilt t1= 1 =d1

t₂= 4 = 1 + 3 =d₁+d₂ t₃= 10 = 4 + 6 =d₁+d₂+d₃

t₄= 20 = 10 + 10 =d₁+d₂+d₃+d₄ ...

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Die Tetraederzahlen

Wieso heißen die Zahlen

t_n=d₁+d₂+d₃+. . .+d_n Tetraederzahlen?

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Die Tetraederzahlen

Wie kann man die Tetraederzahlen berechnen?

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Die Tetraederzahlen

Wie kann man die Tetraederzahlen berechnen?

⇒

Es gilt

6t_n=n(n+ 1)(n+ 2)⇒t_n= n(n+ 1)(n+ 2)

6 .

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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

Was erh¨alt man, wenn man alle Zahlen in einer Zeile addiert?

1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 + 1 = 4

1 + 3 + 3 + 1 = 8

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ...

Man erh¨alt dieZweierpotenzen! Wieso?

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Zweierpotenzen

Wieso ergibt die Summe der Eintr¨age derselben Zeile eine Zweierpotenz?

1 2 3 4 5

Taxizentrale

1 5 10 10 5 1

Um zu einem der blauen Punkte zu gelangen, muss man 5-mal ausw¨ahlen, ob man hoch↑ oder nach rechts→ geht.

Es sind also 5 Entscheidungen, bei denen man jeweils 2 M¨oglichkeiten hat, also 2⁵ M¨oglichkeiten.

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Weitere Muster im Pascalschen Dreieck

Es finden sich viele weitere spannende Muster im Pascalschen Dreieck...

Was erh¨alt man, wenn man alle geraden Zahlen anmalt?

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

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Das Sierpinski-Dreieck

Man erh¨alt ein besonderes Muster, das sogenannteSierpinski-Dreieck.

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Das Sierpinski-Dreieck

Das Sierpinski-Dreieckist ein Beispiel für einFraktal, ein graphisches Gebilde, das bei Vergrößerung zu sich selbst ähnlich ist.

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Fraktale

Fraktalekommen auch in der Natur vor:

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Weitere Muster im Pascalschen Dreieck

Es finden sich viele weitere spannende Muster im Pascalschen Dreieck...

Was erh¨alt man, wenn man alle geraden Zahlen anmalt?

M¨ogliche Fragestellungen:

Wieso erh¨alt man Dreiecke?

Was passiert, wenn man alle durch 3 teilbaren Zahlen/alle durch 5 teilbaren Zahlen usw. markiert?

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Mathematik an der Uni

Was macht eine Mathematikerin an einer Uni im Arbeitsalltag?

1 Forschung: Neue mathematische S¨atze entdecken, beweisen, ver¨offentlichen,. . .

2 Lehre:Vorlesungen/Seminare etc. halten, ¨Ubungsaufgaben erstellen, Vorlesungsskript schreiben, Abschlussarbeiten betreuen, . . .

3 Administration

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Wie arbeiten Mathematiker. . . ?

Ivory tower = Elfenbeinturm

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Wie Mathematiker wirklich arbeiten. . .

Quelle: Berlin School of Mathematics

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Frauen in der Mathematik

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Forschung in der Mathematik

Was ist mathematische Forschung?

Fragen stellen Muster erkennen Vermutung ¨außern

Vermutung beweisen (oder widerlegen) Anwenden und Verallgemeinern

Dies erfordert vor allem:

Spaß an logischem Denken und Knobeln Kreativit¨at

Ausdauer

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Was kann man sp¨ ater damit anfangen?

Karrierem¨oglichkeiten f¨ur Mathematikerinnen:

Mathematik-Absolventinnen sind sehr gesucht!

Uni-Karriere: Forschung, Lehre Schule: Mathematik unterrichten Versicherungen, Banken,. . . IT-Bereich

...

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Straßennetze

Straßennetze

Taxifahren in Mannheim

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Das Pascalsche Dreieck

Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

Die Dreieckszahlen

Die Dreieckszahlen

Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

Die Tetraederzahlen

Die Tetraederzahlen

Die Tetraederzahlen

Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

Zweierpotenzen

Weitere Muster im Pascalschen Dreieck

Das Sierpinski-Dreieck

Das Sierpinski-Dreieck

Fraktale

Weitere Muster im Pascalschen Dreieck

Mathematik an der Uni

Wie arbeiten Mathematiker. . . ?

Wie Mathematiker wirklich arbeiten. . .

Frauen in der Mathematik

Forschung in der Mathematik

Was kann man sp¨ ater damit anfangen?

Vielen Dank f¨ ur eure Aufmerksamkeit!