Vorlesung Logik

Logik

2. Vorlesung

Steffen ^Reith

1. ^11. 19

①

Def^{: i, Zwei} aussagenlogische ^{Formeln He , HeeLa heißen}

(logisch⁾ äquivalent (Schreibweise ^: He ^{± Hz} ) gdw

¥ ^-für _jede Interpretation ^I

gilt

i) ^H heißt erfüllbar ^{gdw es eine} Interpretation ^I

gebeten

ICH) ^{= 1}

Viii

Tautologie

falle

gilt

ICH ^-1

iy Gilt ^{für eine} Interpretation ^{I und eine Formel H}

ICH ^-1 _, ^dann heißt ^{I Modelle von H (} Schreibweise : E)

Damit ^:

Proposition^{: H erfüllbar} gdu ^{IH nicht} allgemeingültig

LEE ^Die folgenden

Aussagen

äquivalent

% ^{He ±} Hz

! ^{! ! ! :)}

allgemeingültig

Aussagenlogische ^{Ausdrücke können auch} umgeformt ^{werden ( „} vereinfachen^")

Umformungsregeln

• Hartz ⁼ Hze ^He

; ^{Hin (Hzrtts) = ( Hin Hz) htt}}

• Hsv Hz ^± Hzv ^{Hr Hsv} (_Hz ^v_Hs) ⁼ ( _{Hsv Hz}) _VHS

• Her ( Hzv Hs) ^{= (}Hirth^{) v (}Hes Hs) ^{° Hiv Hr = He}

° Heilt, ⁼ *

,

}

• Hiv ⁽Hze Hg^{) ± (}Hiv Hz) ^s (Hsv Hs) gesetze

• Hin (Hsv ^{Hz) ±} He ^{° 7} (Heult) ^{= IHN} MHz

• Hiv ⁽Han Hz) ^=H_,

}

}

. → # ^± # } doppelte Verneinung

• Ltte ^{→ Hz}) ^± nthv Hz ⁽ Auflösung ^d. Implikation⁾ ③

• Ltte ^{⇐ H}) ⁼ ((_Heute) ^erlitten#d) ^{(HildeHütte)}

(Auflösung ^{d .} Äquivalenz⁾

• Hi ^→ Hz ⁼ IHZ ^{-774 ( Kontra}position ⁾

Schnitt

d * Komplement

Bei

- Die gleichen ^Gesetze gelten ^{für 1 ,} _P^{u , -} Operationen ^auf

Mengen Vereinigung

- Die Konrektoren _„^{→ " und} _„ ^{A "} können mit _{^ ,} v und _>

ausgedrückt ^{werden .}

- Da n ( bzw ^{. v}) ^{kommutativ und assoziativ} sind

Ä

₎

¥

)

)

Def ^{: Ht =} ag H ④

Ho ⁼ IH

Eigenschaft ^{: ICHa) = 1} gdw ^{ICH) = a} für ^{ae hehe}}

1.1.2.Normalformeude.fm

Dabei heißt ^{ein Literat positiv ( btw.} negativ^{), wenn die Variable}

nicht negiert ^{( bzw .} negiert^{) ist .}

• Eine

Disjunktion

ist derForm ^" (engl^{. Clause)}

LILI

1 Es ie m

• Eine Formel _{H ist in} kajunhtiverNormalform-lk.AE^{), falls sie}

⑤

ein Konjunktion ^{von Klauseln ist :}

H ⁼ (

Ä jÄ

⁾ )

und Lij ^{sind Literaten}

° Eine Formel ^{H ist in} disjunktiver ^{Normalform (} alternativer Normalform)

( ^{kurz : DNF}) _, falls ^{sie eine}

Disjunktion

von Literaten ^{ist :}

H ⁼ (

II

Ä

⁾

mm und Lij ^{sind Liberale}

Bsf^:

KNF ^- Formeln ^: ((_Xvgvz) ⁿ _{( very} ^viz₎) ^, _xvy ^, _xrg ^{, X}

DNF ^- Formeln ^: ( lxnynzz^{) v (} _Xingu⁾) _{, Xvy , xny ,} ×

⑥

Satz ^{Jede Formel H ist} äquivalent ^{zu einer Formel in} disjunktiver Normalform ^.

Es gilt

Hlxe_,^{. ..} _, xn) ^{= ✓}

Aia^{... .a.)=, xi}

"

Beweis

Für jede Interpretation ^I gilt^:

Itf ^¥

^XÖ

ftts ^{( au...., au) =1 und}

II

II ^xii

gdw ^es gibt ^{ein Lae, ... , an) mit} fu ^{(au . .. . au)-1 und} Ilxjt^{) -1 für Hjk}