Vorlesung Logik

(1)

Logik ^& Berechenbarkeit

11 ^.

Vorlesung

17.1.20

Steffen ^Reith

(2)

①

Satz (Satz ^von Henlein

)

^Sei

ÄELAL

_, ^dann

OI

^ist

^konsistent gdw ^E

^hat ^ein ^Modell

„

Syntax

^" ^„ ^Semantik^"

Beweis ^:

„⇐ ^" Wenn

Ä

^nicht

^konsistent

^ist _, ^dann

gibt

^es ^ein ^Helm

mit

Hilfe Ä

^" ^.

Aufgrund

^d^. Korrektheitssatzes

gilt

auch H_,

IHEÄF

Angenommen

^:

^Ä

^hat êin ^{Modell I} ^, ^dann ÎCH⁾ ⁼ ¹ ⁼ ÎGH

⁾

Widerspruch ^§

§

^hat ^kein

^Modell

^.

„

"

sei

§

^konsistent ^. ^Nun ^wird

⁵

^zu ^der

vollständigen

und konsistenten

Menge

⁴ ^erweitert^.

(3)

Seien _Ho_, _He

, Hz_,^.^.^. ^. ^alle Formeln ^aus

LAL

^. ^Nun ^werden

②

induktiv ^die konsistenten

Mengen ^Eu ^definiert

^:

KA ⁾ ^Ä

^. ⁼ _auf

^Ä

(

^Is⁾

In

_,

_auf { ^Änuhttn ^Eu

^oh

^Hus ^}

^, ^,

^falls ^sonst ^Änu ^{

^Hu

^}

^konsistent

- * ÷

?

Klar ^:

E-

^-

Ä

. E

DIE _DIE

^. ^.^. ^.^. ^E

% ^In

^=P

Bek^: 4 ^ist

vollständig

Beweis

^: Die induktive

Definition sorgt dafür

^, ^dass

entweder Hue ^{4 oder}

IHN

^C-⁴ ^. ⁰

(4)

Bek

^: 4 ^ist

konsistent ③

Beweis

^:

Angenommen

⁴ ^ist ^nicht ^konsistent^, ^dann

gibt

^es

ein HELAL ^mit ^H_, ^IH ^E 44.

Nach Endlichkeitssatz ^ex^. eine endliche

Menge ^4.

^E ⁴

mit Hilfe ⁴.

"

. Da 4_. endlich ist

,

gibt

^es ^ein

u_. >_, 0 mit Yo ^E

EIN

. ^.

Also

gilt

^H^, ^IHE

⁴ ^!

^- ^E

^ÄNF

^, ^d. ^h ^.

Ä !

^ist ^nicht

konsistent ^.

Widerspruch ^Gp ⁴

^ist ^konsistent ⁰

Wir

definieren

Iy

⁽ ^Xi

⁾

⁼ ^auf

{

^{^}⁰^'^,

^falls

^sonst^Xie ⁴

BI ^HEY gdw ^IYLHI

⁼ ¹

(5)

Klar^:

Iy

^ist ^ein ^Modell ^von

JE

⁴

④

Beweis

^:

KAI

^H ⁼ ^xi _, ^dann

gilt

^{Xie 4}

^gdw ^Iylxi ⁾

^-1

nach

Def

^von

^Iy

^.

④ ECHT

^'^: ^Dann

gilt

7h44 gdw

^H^'

^¢

⁴ ⁽

^letzter

^Satz ⁱⁱ^,

⁾

gdo IYLH

^'

⁾

⁼ ⁰

⁽

^nach

Induktionsvoraussetzung ⁾

gdw Iy ⁽

^IH^'

⁾

⁼ ¹

Falltt-CHHT-a.ES gilt

( _Hsv ^Hz) ^e- 4

gdw ^Hat

⁴ ^oder ^Hze ^{4 (} ^letzter ^Satz ⁱⁱ

⁾ ) gdo Iy

^Ltte⁾ ^-1 ^oder

^Id ^Hd

^-1

⁽

^nach

)

gdw Iy

⁽ ^Hiv

^Hd

^-1

(6)

Dann

gilt ⑤

(Hin^Hz) ^E ⁴

gdw

^Hee ⁴ ^und

^Hzf

⁴ ⁽^nach ^letztem ^Satz

W)

)

gdw ^Iy

^Ltte

⁾

⁼

^Iq ^Hd

^-1 ⁽ ^nach

^Kr ⁾ ⁾

gdw Iyltteettz ⁾

^> ¹

*

Satz (

Vollständig

^Leitsatz

)

^Sei

ÄELAL

, dann

ÄEOI !

Beweis

^: _sei _HE

Ä und I

^ein ^bd^.

Interpretation

^.

Wenn

ILEI

^- ¹ _, dann

ILHI

^-1

, d.h.

IGH )

^=D

und damit

ICÄULHS )

^> ⁰ _, ^d.^h^.

^Äu ^KAS

^hat

kein

Modell

^.

Nach Satz ^von Henlein _ist

OIULZHS

^nicht ^konsistent ^.

Also ex. ein # ^'ELA_, mit HI

,

IHIE

⁽

Eu

²⁷⁴⁹

) ^!

(7)

Mit ^der

Regel

des indirekten Beweises

gilt

^dann

^HEOI

^" ^#

^⑥

Folgerung

^Sei

^ÄELAL

^, ^dann ^-

^oft

⁼ -

^OIF

F

Vorlesung Logik

Logik & Berechenbarkeit

Vorlesung

Steffen Reith

①

)

ÄELAL

OI

konsistent gdw E

Syntax

Ä

konsistent

gibt

Hilfe Ä

Aufgrund

gilt

IHEÄF

Angenommen

Ä

)

Widerspruch §

§

Modell

§

5

vollständigen

Menge

LAL

②

Mengen Eu definiert

KA ) Ä

Ä

(

In

auf { Änuhttn Eu

Hus }

falls sonst Änu {

}

- * ÷

E-

Ä

DIE DIE

% In

vollständig

Beweis

Definition sorgt dafür

IHN

Bek

konsistent ③

Beweis

Angenommen

gibt

Menge 4.

gibt

EIN

gilt

4 !

ÄNF

Ä !

Widerspruch Gp 4

definieren

Iy

)

{

falls

BI HEY gdw IYLHI

Iy

JE

④

Beweis

KAI

gilt

gdw Iylxi )

Def

Iy

④ ECHT

gilt

7h44 gdw

¢

letzter

Logik ^& Berechenbarkeit

Steffen ^Reith

^konsistent gdw ^E

^konsistent

^Ä

⁾

Widerspruch ^§

^Modell

⁵

Mengen ^Eu ^definiert

KA ⁾ ^Ä

^Ä

_auf { ^Änuhttn ^Eu

^Hus ^}

^falls ^sonst ^Änu ^{

^}

DIE _DIE

% ^In

Menge ^4.

⁴ ^!

^ÄNF

Widerspruch ^Gp ⁴

⁾

^falls

BI ^HEY gdw ^IYLHI

^gdw ^Iylxi ⁾

^Iy

^¢

^letzter

⁾

⁾

⁽

Induktionsvoraussetzung ⁾

gdw Iy ⁽

⁾

gdw ^Hat

⁾ ) gdo Iy

^Id ^Hd

⁽

^Hd

^Hzf

gdw ^Iy

⁾

^Iq ^Hd

^Kr ⁾ ⁾

gdw Iyltteettz ⁾

^Äu ^KAS

) ^!

^HEOI

^⑥

^ÄELAL

^oft

^OIF