Vorlesung Logik

(1)

Logik ^& Berechenbarkeit

2. Vorlesung

& 3 ^.

Vorlesung

Steffen ^Reith

1.11.19

+ 8.11.19

(2)

①

Def

^: ⁱ^, ^Zwei

aussagenlogische

^Formeln ^He ^, ^Hee^La

^heißen

( logisch ⁾ äquivalent

(Schreibweise ^:

He

^± ^Hz

) gdw

¥ ^-

für _jede Interpretation ^I gilt

^: ^ICH

^e)

⁼

^ICH ⁾

i

)

^H

heißt erfüllbar ^gdw

^es ^eine

Interpretation

^I

gebeten ⁷

ICH

) ⁼ ¹

Viii

, H

heißt Tautologie

⁽

allgemeingültig ⁾ gdw falle ^I gilt

ICH

^-1

iy Gilt ^für

^eine

Interpretation ^I

^und ^eine

^Formel

^H

ICH

^-1 _, ^dann

heißt ^I ^Modelle

^von ^H

⁽ Schreibweise

:

E)

Damit ^:

Proposition

^: ^H

^erfüllbar gdu

^IH ^nicht

allgemeingültig

(3)

LEE

^Die

folgenden Aussagen

^sind

äquivalent

^:

^②

%

^He ^±

Hz

! ^! ^! ^! ^:)

^ist

allgemeingültig

Aussagenlogische

^Ausdrücke ^können ^auch

umgeformt

^werden ⁽ ^„

vereinfachen

^"

⁾

Umformungsregeln

• Hartz ⁼ Hze ^He

;

^{Hin (}^Hzrtts⁾ ⁼ ⁽ ^Hin ^Hz⁾ ^htt^}

• Hsv Hz ^± Hzv ^Hr ^Hsv (_Hz ^v_Hs) ⁼ ( _{Hsv Hz}

)

_VHS

• Her ( Hzv Hs

)

⁼ ⁽Hirth⁾ ^v ⁽Hes Hs

)

^°

^Hiv

^Hr ⁼ ^He

° Heilt, ⁼ *

,

} ^Duplizität

• Hiv ⁽Hze Hg⁾ ^± ⁽Hiv Hz) ^s (Hsv Hs

) gesetze

• Hin (Hsv ^Hz) ^± He ^° ⁷ (Heult

)

⁼ ^IHN MHz

• Hiv ⁽

Han

Hz

)

⁼^H_,

} Absorptions _gesetze

^. _z ₍ _He ^, _#

_c)

= *_, v , #_,

}

^de

^Morgan

. → # ^± #

} doppelte Verneinung

(4)

•

Ltte

^→ ^Hz

)

^± nthv Hz ⁽

Auflösung

^d^.

Implikation ⁾ ③

•

Ltte

^⇐ ^H

)

⁼

( (

_Heute

) ^erlitten

^#

d)

⁽^Hilde

^Hütte)

(

Auflösung

^d ^.

Äquivalenz ⁾

• Hi ^→

Hz

⁼

IHZ

^-774 ⁽ ^Kontra

position ⁾

Schnitt

d

*

Komplement

Bei

- Die

gleichen

^Gesetze

gelten ^für

¹ ^, _P^u ^, ^-

Operationen ^auf

Mengen Vereinigung

- Die Konrektoren _„^→ ^" ^und _„ ^A ^" können mit _^ _, v und _>

ausgedrückt

^werden ^.

- Da n ( bzw ^. ^v

)

^kommutativ ^und ^assoziativ sind

Ä

^Hi ⁼ ^deg ⁽ ^Hintze^. ^. ^. ^r ^Hu

⁾

⁼ ⁽^Hes ⁽

^Hehl

^. ^-^-^. ^. ⁽^Hu^.^.

^Ht

^.

₎

¥

^, ^#

i-deglttivttzv.nu/tn)--LHevLHzv...LHn.evHn )

^.^.

)

(5)

Def

^:

^Ht

⁼ ag H

④

Ho ⁼ IH

Eigenschaft

^: ^ICH^a) ⁼ ¹

gdw ^ICH

⁾ ⁼ ^a

für

^ae ^hehe

^}

1.1.2.Normalformeude.fm

^: ^. ^Ein

^Liter

^ist ^eine ^WW^- Variable oder _eine

negierte

^WW ^- ^Variable

Dabei

heißt

^ein ^Literat

^positiv

^{( btw}^.

negativ

⁾^, ^wenn ^die ^Variable

nicht

negiert

⁽ ^bzw ^.

negiert ⁾

^ist ^.

• Eine

Disjunktion

^von ^Literaten

^heißt

^Klauseln ^, ^d.^h^. ^eine ^Klausel

ist derForm ^" (

engl

^. ^Clause

⁾

LILI

⁼

^llevlzv

^{. .}^. ^. ^vlm

⁾

^,

^wobei ^Li

^liberale ^und

1 Es ie m

• Eine Formel _H _ist _in

kajunhtiverNormalform-lk.AE ⁾

^,

^falls

^sie

(6)

⑤

ein

Konjunktion

^von ^Klauseln ^ist ^:

H ⁼

( Ä jÄ ^Lij ⁾ )

^,

^wobei

^m ^, ^mir^.^.^, ^ma ^EIN

und

Lij

^sind

^Literaten

° Eine Formel ^H ^ist ⁱⁿ

disjunktiver ^Normalform ⁽

alternativer

Normalform )

( ^kurz ^: ^DNF

)

_,

falls

^sie ^eine

Disjunktion

^von

Konjunktionen

von Literaten ^ist ^:

H

⁼

( II ⁽ Ä ^li

^,

^j ⁾ ⁾

^,

^wobei

^m ^, ^mir^.^. ^, ^mne ^IN

mm und

Lij

^sind

^Liberale

Bsf

^:

KNF ^- Formeln ^:

( ( _Xvgvz ₎

ⁿ

₍ _very

^viz

₎ )

^,

_xvy

^,

_xrg

^, ^X

DNF ^- Formeln ^:

( lxnynzz ⁾

^v

⁽ _Xingu ⁾ )

_,

_Xvy

_,

_xny

_, ×

(7)

⑥

Satz

^Jede ^Formel ^{H ist}

äquivalent

^zu ^einer ^Formel ⁱⁿ

disjunktiver Normalform

^.

Es

gilt

Htxu

^. ^- ⁱⁿ

)

⁼

¥

^.^.^.^. ^.^"^" ^×

^!

Beweis

Für

jede Interpretation

^I

gilt

^: ^Sei ^H ^-^He

[ (

Ä

^{. .}^.^.^.^.^" ^"

^XÖÖ ⁾

^-1

^gdw

^es

^gibt

^ein

⁽

^an^.^.^.^. ^au

⁾

^mit

ftts

⁽ ^an^.^.^.^.^, ^au

⁾

⁼¹ ^und

II xii ⁾

⁼ ¹

gdw

^es

gibt

^ein ^Lae^, ^.^.^. ^, ^an

⁾

^mit

fu

⁽âu ^{. .}^. ^. âu⁾^-1 ûnd

Ilxjt ⁾

^-1

^für ^Hjk

(8)

⑦ gdw

^es

gibt

êin ⁽âu ^.^.^. ^, ân

⁾

^mit

fu ⁽

âu^{. .} ^. ^. âu⁾^-1 ûnd

Ilxjt ⁾

^-1

^für ^Hjk gdw

^es

gibt

^{ein (}^au ^. ^.^.^, ^an

⁾

^mit

fulani

^.^.^.^,

^a)

^=L ^und

Ilxjtajfürtej

^"

gdw fiel ^ICH

^,^_ ^,

^Ilxn ⁾ ⁾

⁼ ¹

gdo ^I ⁽ ^Helm

^. ^.^. ^.

^xd ⁾

^-1

h

Also

gilt ^IEH

^,

^geb

^IE

¥4

^.^.^.." ^"

_j ? Xji

^und ^damit

n

Hlxu

^.^.^.^.

a)

^±

^V ¹ ^xii ^#

fttelae

_, ^an⁾ ^-1

_j

⁼ ⁿ ^J

Beni

^Die ^mit

Hilfe

^des

obigen

^Satzes

^haust

^. ^Formel ^hat ^eine ^besondere

Eigenschaft

^. ^In

^jedem koujunht

kommen alle ^Variablen ^vor^,

um

genau

^einmal

solche eine

Normalform heißt kauouiseheD.IN

^.

(9)

• Die KDNF ist bis

auf Unordnung

^der

^koujunhte eindeutig ^⑧

Aber ^: ^:-(

-

xvy

^±

⁽ Xing ⁾

^v ⁽

^Ing ⁾ vlxny ⁾ ^vlxny ⁾

D.^h^. ^es

gibt

^evtl^. verschiedene ^DNFS

.

Satz

^Jede

^Formel

^H ^ist

äquivalent

^zu ^einer

^Formel

ⁱⁿ

Konjunktiv ^Normalform

^. ^Es

gilt

Hfxe

^,^_^. ^.^,

a)

^Es

1 *

Can^.^{. .}_.a)

xiiai

Beweis

^: ^Ganz

analog

^#

Beweis

^:

geht

ⁱⁿ^-5

^Zeilen ^# ⁽ doppelte Negation ⁾

(10)

Ein

wichtiges Berechnungs problem

^{ist das}

sogenannte Erfüllbarkeit ⑨

Probleme

PROBLEM ^: ^SAT

EINGABE ^:

Aussagenlogische

^Formel ^H

FRAGE

^: Hat H ^eine

erfüllende Belegung ^?

Es

ist

^kein

effizienter Algorithmus ^bekannt

^, ^d. ^h^. ^man

maß

^im schlimmsten

Fall

^alle ²^"

Belegungen durchprobieren

^.

Stichwort ^: ^SAT ^ist ^NP^-

vollständig

selbst die

Einschränkung ^auf

^KNF

^Formeln bringt

^nichts ^, ^denn ^KNF^-^SAT

ist _auch NP^-

vollständig

^.

Ähnlich ^:

Tautologie

^-

^Problem ⁽

^leider ^ähnlich

schwierig

co NP^-

vollständig ⁾

(11)

-3in ⑨

Idee^: Suche eine Formel klasse mit der ^man

praktische Dinge

^tun

kann und

für

^die ^das ^SAT^-

^Problem einfach

^ist^.

Def

^: ^Eine ^KNF ^- ^Formel

^heißt Hornfonne.lu

^, ^wenn

jede

^ihrer

Klauseln ^höchstens ^eine

uunegiote

^Variable ^enthält ^,

Bsf

^H ⁼

⁽

⁷^Xiv ⁷ ^Xzv ^Xs⁾ ⁿ ⁽ ^Xzv ^7×3 ^VIXYVIXG ⁾ ⁿ

^(7×54×6)

^ (_Xy

)

ⁿ ⁽ ^IXs vxgv ^I Xy ) ⁿ ⁽ Xiv 744) ^h ⁽ _Xi _vs _Xs

)

Bei

^Horn

_formeln

^sind ^nach

Alfred

Horn benannt.

Det

^Die ^Klausel ^, ^die ^kein Literat enthält _nennen wir

teeren

( Schreibweise:

l ) )

^.

^Die ^Formel

^ohne ^Klauseln

heißt

leere Formel

-

°

(12)

Horn

formeln

^sind

wichtig

^weil ^:

①

( _Herz _Xzv ^-^-^{- -} ^VI _Xn ^V _Xu

)

⁼

(

^I ⁽^{Xin xzn}^.^.^- ^s ^Xu) ^v _Xu

)

=

(

^Xanten ^. ^.^. ^Nu ⁾ ^→ Xm

Anwendungen

^:

Datenbanken

_, _KI ^und

PROLOG

Prolog

^: ^„

Spass

^:^- ^Witz ^,

lustig

^"

Bspw

^: ^Wir ^verwenden ^hier ^zusätzlich ^die ^konstanten ^{0 und} ¹^.

Für

jede Interpretation gilt

^:

^Ilo ⁾

⁼âeg Ô ûnd ÎCH

^auf

¹ ^.

Jetzt kann man die Horn

formel

^aus ^dem

Bsp ^schreiben

^als

H ^±

( Lxenxz ⁾

^→ Xs

)

^s

((

_Xs _1×4 _No

)

^→ ^Xz ⁾ ^{^}

( ₍

_Xsn _!

)

^→ ^O

)

^ (

1-7×4 ⁾

ⁿ

Uxmal

^→ xs

)

ⁿ

⁽

Xy ^→ _xe

)

ⁿ

G-

^→ ^xe

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Logik & Berechenbarkeit

2. Vorlesung

Vorlesung

Steffen Reith

①

Def

aussagenlogische

heißen

( logisch ) äquivalent

He

) gdw

für jede Interpretation I gilt

e)

ICH )

)

heißt erfüllbar gdw

Interpretation

gebeten 7

ICH

Viii

heißt Tautologie

allgemeingültig ) gdw falle I gilt

ICH

iy Gilt für

Interpretation I

Formel

ICH

heißt I Modelle

( Schreibweise

E)

Proposition

erfüllbar gdu

allgemeingültig

LEE

folgenden Aussagen

äquivalent

②

%

Hz

! ! ! ! :)

allgemeingültig

Aussagenlogische

umgeformt

vereinfachen

)

Umformungsregeln

;

)

)

)

Hiv

} Duplizität

) gesetze

)

Han

)

} Absorptions gesetze

c)

}

Morgan

} doppelte Verneinung

Ltte

)

Auflösung

Implikation ) ③

Ltte

)

( (

) erlitten

d)

Hütte)

Auflösung

Äquivalenz )

Hz

IHZ

position )

d

Komplement

Bei

Logik ^& Berechenbarkeit

Steffen ^Reith

^heißen

( logisch ⁾ äquivalent

für _jede Interpretation ^I gilt

^e)

^ICH ⁾

heißt erfüllbar ^gdw

gebeten ⁷

allgemeingültig ⁾ gdw falle ^I gilt

iy Gilt ^für

Interpretation ^I

^Formel

heißt ^I ^Modelle

⁽ Schreibweise

^erfüllbar gdu

^②

! ^! ^! ^! ^:)

⁾

^Hiv

} ^Duplizität

} Absorptions _gesetze

_c)

^Morgan

Implikation ⁾ ③

) ^erlitten

^Hütte)

Äquivalenz ⁾

position ⁾

gelten ^für

Operationen ^auf

⁾

^Hehl

^Ht

₎

^Ht

gdw ^ICH

^}

^Liter

^positiv

negiert ⁾

^heißt

⁾

^llevlzv

⁾

^wobei ^Li

kajunhtiverNormalform-lk.AE ⁾

^falls

( Ä jÄ ^Lij ⁾ )

^wobei

^Literaten

disjunktiver ^Normalform ⁽

( II ⁽ Ä ^li

^j ⁾ ⁾

^wobei

^Liberale

( ( _Xvgvz ₎

₍ _very

₎ )

_xvy

_xrg

( lxnynzz ⁾

⁽ _Xingu ⁾ )

_Xvy

_xny