Prof. Dr. R. Schrader WS 2003/2004 Ch. Hagemeier
3. ¨ Ubung zur Vorlesung Graphentheorie
Abgabe: 13.–14.11.2003 Besprechung: 20.–21.11.2003 jeweils in Eurer ¨Ubungsgruppe
Aufgabe 10:
Sei D = (V, A) ein gerichteter Graph und s, t ∈ V zwei ausgezeichnete Knoten. Ferner seiW die Kantenmenge vonk kantendisjunkten (s, t)–Wegen undW0 ein augmentierender (s, t)–Weg.
Zeige, dass dann W ⊆(W ∪W0)∩A die Kantenmenge vonk+ 1 kantendisjunkten (s, t)–
Wegen in D ist. (Lemma 2.13 aus der Vorlesung)
Aufgabe 11:
Beweise, dass ein zusammenh¨angender 3–regul¨arer Graph ohne Schnittkante 2–zusammen- h¨angend ist.
Aufgabe 12:
Seien G= (V, E) ein Graph und F ⊆E eine Kantenmenge.
Beweise, dass G(F) genau dann ein aufspannender Wald von G ist, wenn E \ F eine (inklusions–) maximale Kantenmenge ist, die keinen (inklusions–) minimalen Schnitt von G enth¨alt.
Aufgabe 13:
Beweise folgende Eigenschaften:
a) Wenn der Durchschnitt D = (T Vi,T
Ei) einer Menge von Teilb¨aumen {(Vi, Ei)} eines Baumes B nicht leer ist (d.h. D6= (∅,∅)), so istD selbst ein Baum.
b) Sei T eine Menge von Teilb¨aumen eines Baumes B. Wenn je zwei B¨aume aus T einen nichtleeren Durchschnitt haben, so haben alle B¨aume ausT einen gemeinsamen Knoten.
Tipp: Versuche in einer Induktion ¨uber die Anzahl der B¨aume |T| = k die Eigen- schaft aus Aufgabenteil (a) zu verwenden.
