Prof. Dr. R. Schrader WS 2003/2004 Ch. Hagemeier
Weihnachts¨ ubung zur Vorlesung Graphentheorie
Abgabe: bis 02.01.2004 im entspr. Briefkasten Weyertal 80 Besprechung: 08.–09.01.2004 in Eurer ¨Ubungsgruppe
Aufgabe 33:
Jedes Jahr kurz vor Weihnachten beauftragt der Weihnachtsmann Rudolf das Rentier mit der Planung der Geschenkauslieferung. Rudolf hat ein Verzeichnis in dem die Entfernungen aller m¨oglichen Wege zwischen den Auslieferungsorten eingetragen sind. Da Rudolf sehr geschickt ist, kennt er auch Wege, die negative Entfernungen haben (ansonsten w¨are eine termingerechte Auslieferung am Weihnachtsabend ja auch gar nicht m¨oglich!). In keinem Fall kennt er aber negative Verbindungen zu mehreren Orten, so dass diese zusammenge- nommen einen Kreis mit negativer Entfernung bilden. Da die Auslieferungsorte so gew¨ahlt sind, dass genau eine Schlittenlieferung pro Ort n¨otig ist, m¨ochte Rudolf ein Verfahren verwenden, das ihm — ausgehend vom Haus des Weihnachtsmanns — die k¨urzesten We- ge zu allen zu beliefernden Orten liefert. Er hat in diesem Zusammenhang schon vom Bellman–Ford–Verfahren geh¨ort, ist sich aber nicht sicher, ob das Verfahren ¨uberhaupt so funktioniert wie versprochen.
Uberzeuge Rudolf von der Korrektheit des Bellman–Ford–Verfahrens mittels eines Korrekt-¨ heitsbeweises. Zeige dabei, dass das Verfahren nach einer endlichen Anzahl an Schritten stoppt, und dass danach distn−1(t) die L¨ange eines k¨urzesten (s, t)–Weges ist.
Aufgabe 34:
Kurz vor Weihnachten hat der Weihnachtsmann alle Wunschlisten der Kinder eingesam- melt. Er wertet sie wie folgt aus: Als erstes schreibt er die Namen aller Kinder in einer Liste untereinander. Daneben vermerkt er in
einer zweiten Liste die Bezeichnung aller W¨unsche. Er verbindet dann einen Namen mit einem Geschenk, wenn das entsprechende Kind sich dieses Geschenk gew¨unscht hat. Da er keine Geschenke doppelt besorgen m¨ochte, kann er jedes Geschenk h¨ochstens einmal zuordnen. Außerdem m¨ochte er auch jedem Kind h¨ochstens ein Geschenk zuordnen.
Rudolf hat in einem ersten Schritt schon zwei Zuordnungen vorge- nommen, verr¨at aber dem Weihnachtsmann nur die Kinder, die von seiner ersten Zuordnung abgedeckt werden. Von der zweiten Zu- ordnung verr¨at er nur die Geschenke, die besorgt werden m¨ussen.
Kann der Weihnachtsmann in jedem Fall zu diesen beiden Zuordnungen eine gemeinsame Zuordnung finden, die mindestens die vorgegebenen Kinder und Geschenke ¨uberdeckt?
Aufgabe 35:
Auch hier geht es wieder um die Geschenkzuordnung des Weihnachtsmanns wie in Auf- gabe 34. Nun weiß er aber noch, dass sich jedes Kind mindestens k Geschenke w¨unscht, und umgedreht, dass sich die Kinder recht ¨ahnliche Geschenke w¨unschen: jeder Wunsch kommt auf mindestensk Wunschzetteln vor. Das Gef¨uhl vom Weihnachtsmann verr¨at ihm, dass er dann eine Zuordnung erstellen kann, in der er mindestens k Kinder beschenkt — vorausgesetzt es gibt ¨uberhaupt so viele Kinder und Geschenke.
Best¨atige den Weihnachtsmann in dieser Annahme.
Aufgabe 36:
Zum dritten Mal besch¨aftigt sich der Weihnachtsmann mit der Geschenkzuordnung. Dies- mal m¨ochte er von Grund auf eine eigene Zuordnung erstellen. Hierzu geht er jedoch sehr willk¨urlich vor: er w¨ahlt einfach ein beliebiges Kind–Geschenk–Paar und streicht sowohl das Kind als auch das Geschenk aus der Liste. Diesen Schritt f¨uhrt er solange durch, bis er kein neues Paar mehr finden kann.
Best¨atige den Weihnachtsmann in seiner Strategie (in dem Sinne, dass sie nicht allzu schlecht ist), indem Du zeigst dass die bestm¨ogliche L¨osung h¨ochstens doppelt so viele Kinder begl¨uckt wie die von ihm erstellte.
